2025-2026学年九年级上学期数学期末自编模拟卷03 (福建厦门专用)

九年级数学上学期期末模拟卷03（练习卷） （福建厦门专用，九年级上册全册） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试时间：90分钟；命题人：学科网 冬鞠制作 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．测试范围：九年级上册全册（一元二次方程-概率）+相似+反比例函数 4．注：本卷以去年质检卷为母题，利用各地真题重组而成，难度系数0.65，贴合去年质检真题 一、单选题 1．下列事件属于不可能事件（　　） A．买一张彩票刮中一等奖 B．地球绕着太阳转 C．水中捞月 D．三角形的内角和为 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的定义和判定方法，根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义进行判断即可． 【详解】解：买一张彩票刮中一等奖，可能中奖，也可能不中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意； 地球绕着太阳转是必然事件，因此选项B不符合题意； 水中捞月是不可能事件，因此选项C符合题意； 在平面内，任意三角形的内角和都是是必然事件，因此选项D不符合题意； 故选：C． 2．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】设，等式两边平方得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：设， 两边平方得， 整理得， 解得，（舍去）， 即则． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法． 3．如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 4．一元二次方程经过配方变形为，则m的值（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，从而求出m的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方：， 即， ∴． 故选：D． 5．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设，对于所在的曲线，；对于所在的曲线，；数形结合得到矩形的面积，即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，即可得到答案．熟记反比例函数的几何意义，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，设， 对于所在的曲线，；对于所在的曲线，； 矩形的面积， 即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值， 故选：B． 6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】根据中位线定理可得，即可得到解答． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， 即为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 7．如图，等边三角形的三个顶点均在上，，为的直径，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】连接，如图．根据是等边三角形，得出，根据垂径定理和圆周角定理得出，，即可得，根据直角三角形的性质得出，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图． ∵是等边三角形，， ， ∵为的直径， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】该题考查了勾股定理，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 8．如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角函数等. 连接，过作交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得，结合三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作交于点， 正八边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 解得：， 的半径为； 故选：B． 9．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数．当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（   ） A． B． C．3.14 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了利用圆内接正多边形的面积估算圆周率（割圆术）的方法，涉及等腰三角形面积计算及圆的面积公式；解题的关键是将圆内接正十二边形分割成12个全等的等腰三角形，利用三角形面积公式（两边及其夹角的正弦）求出每个三角形的面积，再求和得到正十二边形的面积，最后令其近似等于圆的面积，从而估算的值． 【详解】解：将图中的一个等腰三角形抽离出来，如图，作于， ∵， ∴，即，， ∴， 则十二个三角形面积为：， ， 则，即， 故选：D． 10．我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度（如图）： （1）测量者在水平线上的处竖立一根竹竿，沿射线方向走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （2）将该竹竿竖立在射线上的处，沿原方向继续走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （3）设竹竿与，的长分别为，，，可得公式：． 则上述公式中，表示的是（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【难度】0.4 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质． 根据相似三角形的判定与性质证明，经过计算即可得出答案． 【详解】解：如图： 由题意可得：， 四边形，四边形，四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12．二次函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【难度】0.94 【分析】直接利用二次函数顶点式的特点即可解答． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，理解掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键． 13．如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 14．如图，的半径OC垂直于弦，D是优弧上的一点（不与点A，B重合），若，则等于 ． 【答案】/度 【难度】0.85 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，关键在于正确的作出辅助线，熟练应用垂径定理和圆周角定理．连接，根据垂径定理即可推出，然后根据圆周角定理即可推出的度数． 【详解】解：连接， 的半径垂直于弦，， ， ． 故答案为． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点，且与边交于点．若点的坐标为，则的值为 ． 【答案】8 【难度】0.85 【分析】由D的坐标，可求出菱形的边长，进而求出B，A的坐标，则可以确定反比例函数的关系式． 【详解】O点的坐标为（0，0），D点的坐标为（3,4） 在菱形OBCD中，OB=OD=5 B点的坐标为（5，0） A为BD的中点， A点的坐标为（4，2） 把（4，2）代入中，得，解得k=8 故答案为8． 【点睛】考查反比例函数的图形和性质，一次函数以及菱形的性质等知识，根据点的坐标求出反比例函数的关系式是解决问题的关键． 16．如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以为边作平行四边形，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.15 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、最值问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 延长交于点，连接，证明，得出对应边相等，，根据勾股定理求出，根据直角确定点共圆，且直径为线段，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接，连接并延长交于点，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最大值，判定四边形为正方形，最后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，当点位于内部时，延长交于点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴点共圆，且直径为线段， 如图所示，假设该四点所在圆为，点为线段的中点，连接，则，， 作线段的垂直平分线，在垂直平分线上找一点，以点为圆心，长为半径画圆，连接，连接并延长交于点， ∵， ∴点E的运动轨迹为圆， 则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最大值， ∵当点位于内部时，， ∴当点位于外部时，即为点时，根据圆内接四边形的性质得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 【答案】x1＝1+，x2＝1﹣ 【难度】0.85 【分析】用配方法解，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5， 配方，得（x﹣1）2＝5， ∴x＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【难度】0.85 【分析】首先把除法转化为乘法，进行分式的化简，再代入x的值求出结果． 【详解】解：原式= = ， 当x=时， 原式= ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的步骤是先化简、再代入求值． 19．（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 20．如图，在中，，点、、在同一直线上，． (1)在图中作，使得圆心落在边上，且经过、两点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与相切，理由见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了作垂直平分线，切线的判定． （1）根据题意作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解； （2）连接，首先根据三角形的外角的性质可得，根据邻补角的定义可得，根据等边对等角可得，进而得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示， （2）与相切，理由如下， 如图，连接 ∵，点、、在同一直线上，． ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即 ∴与相切， 21．如图，抛物线（b，c是常数）与y轴交于点A，已知点B和点C分别是抛物线和x轴上的点，四边形是正方形且边长为2． (1)求b，c的值； (2)若将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键； （1）由题意易得点，，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知抛物线为，则有抛物线的顶点为，然后根据题意可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为2，即． ∴点，． 把点A，B的坐标代入，得： ， 解得． （2）解：由（1）可知抛物线为． ∵， ∴抛物线的顶点为． 又∵正方形的边长为2，且将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上）， ∴． ∴m的取值范围是． 22．“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，为正整数）中的元素满足，则称为“平衡集合”． (1)是否存在实数，使得集合为“平衡集合”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，请用反证法证明：、至少有一个大于2． 【答案】(1)存在， (2)见解析 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、反证法、规律型：数字的变化类，解题时要熟练掌握并能灵活运用新定义进行计算是关键． （1）依据题意，由求解后再结合 “平衡集合”的定义可以判断得解； （2）依据题意，，是平衡集合，且、为不同正数，则，可得，故，又设，，则，从而若且，则且，此时．等号成立当且仅当，即，这与不同矛盾，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：存在， 由题意得： 即， 解得或． 当时，集合为不满足集合元素的互异性，舍去． 当时，， 此时集合为，满足“平衡集合”的定义． 综上，存在实数，使得集合为“平衡集合”． （2）证明：，是平衡集合，且、为不同正数， ． ． ． ． 又设，， ． 又若且， 且，此时．等号成立当且仅当，即，这与是两个不同的正数矛盾． 、至少有一个大于2． 23．实践课上，同学们利用量角器、三角尺进行实践操作，其中，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图①，小明将三角尺放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为． 问题1：求点对应的刻度． 问题2；将三角尺绕点顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图②，小华把斜边的三角尺叠放在量角器上，且，点，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点的对应刻度为，与外弧交于点． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 【答案】问题1：；问题2：将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切，理由见解析；问题3：． 【难度】0.4 【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，求扇形弧长等．作出辅助线，结合图形求解是解题关键． 问题1：连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 问题2：过点O作于点E，然后由正弦函数得出，即可判断； 问题3：连接，设与交于点F，根据平行线的性质得出，再由等边三角形的判定和性质得出，然后利用解三角形求解即可 【详解】解：问题1：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 问题2：将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切，理由如下： 过点O作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴O到的距离小于圆的半径， ∴将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切； 问题3：连接，设与交于点F，如图所示： ∵点A的对应刻度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：． 24．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点P往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的C点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分．在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网．建立如图2的平面直角坐标系，已知点P坐标为，点C坐标为，秋千绳长为，与y轴形成的夹角为．      (1)某次表演中，当时，演员甲在点B处接住了演员乙． ①点B的坐标为________； ②若点D坐标为，抛物线经过点B、C、D，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； (3)在长期的训练过程中，演员乙从点C抛出（抛射点C坐标不变）的运动路径都可近似看作的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网．若点F在抛物线y的对称轴上，则线段的长度至少为________米． 【答案】(1)①② (2)米 (3)米 【难度】0.4 【分析】（1）①先得出，得，再结合点坐标为，求出，故点的坐标为； ②理解题意，把，，分别代入，进行计算，即可作答． （2）先根据，得出开口方向向下，在对称轴处取得最大值，求出对称轴直线，代入，进行计算，即可作答． （3）理解题意，则把代入，得，即，因为主办方设置高为3米的保护网，得，整理得，结合，故，又因为，则，因为点在抛物线的对称轴上，则，即，考虑安全问题，即至少为米． 【详解】（1）解：①过点B分别作轴，作轴，如图所示： ∵绳长为，与轴形成的夹角为，且， ∴， ∴，即， 则， ∵点坐标为， ∴， 则， 即， ∴点的坐标为； ②设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点、、，且点坐标为，点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在（1）的条件下，抛物线的解析式为； ∵， ∴开口方向向下，在对称轴处取得最大值， 则对称轴为直线， 把代入，得， 即演员乙能达到的最高高度是米； （3）解：∵演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，且点坐标为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵主办方设置高为3米的保护网， ∴， ∴， ∴， 则， ， 令，则在中，随着的增大而减小， ∴当时，则；当时，则， 即， 故， ∴， ∴， ∴， ∵若点在抛物线的对称轴上， ∴， 即． ∵预防表演时演员乙出现失误，安全问题， ∴至少为米． 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，二次函数的解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25．综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【难度】0.65 【分析】（1）在中，分别令，，计算即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由题意得，则，求出，得到，计算即可得解； （3）设，且，则，分两种情况：当点在正方形的边上时，设边交轴于；当点在正方形的边上时；分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 令，则，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：，则， ∵轴， ∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点， 如图， ， ∵交直线于点F，且， ∴当时，，即， ∴， 解得：， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解：设，且，则， ∵，， ∴，， 如图，当点在正方形的边上时，设边交轴于， ， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去），， ∴； 如图，当点在正方形的边上时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期末模拟卷03（练习卷） （福建厦门专用，九年级上册全册） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试时间：90分钟；命题人：学科网 冬鞠制作 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．测试范围：九年级上册全册（一元二次方程-概率）+相似+反比例函数 4．注：本卷以去年质检卷为母题，利用各地真题重组而成，难度系数0.65，贴合去年质检真题 一、单选题 1．下列事件属于不可能事件（　　） A．买一张彩票刮中一等奖 B．地球绕着太阳转 C．水中捞月 D．三角形的内角和为 2．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（　　） A．3 B． C． D． 3．如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 4．一元二次方程经过配方变形为，则m的值（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（    ）    A． B． C． D． 7．如图，等边三角形的三个顶点均在上，，为的直径，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 8．如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 9．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数．当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（   ） A． B． C．3.14 D．3 10．我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度（如图）： （1）测量者在水平线上的处竖立一根竹竿，沿射线方向走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （2）将该竹竿竖立在射线上的处，沿原方向继续走到处，测得山顶、竹竿顶端及在一条直线上； （3）设竹竿与，的长分别为，，，可得公式：． 则上述公式中，表示的是（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 二、填空题 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 12．二次函数图象的顶点坐标为 ． 13．如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 ． 14．如图，的半径OC垂直于弦，D是优弧上的一点（不与点A，B重合），若，则等于 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点，且与边交于点．若点的坐标为，则的值为 ． 16．如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以为边作平行四边形，则的最大值为 ． 三、解答题 17．解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 18．先化简，再求值：，其中． 19．（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 20．如图，在中，，点、、在同一直线上，． (1)在图中作，使得圆心落在边上，且经过、两点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 21．如图，抛物线（b，c是常数）与y轴交于点A，已知点B和点C分别是抛物线和x轴上的点，四边形是正方形且边长为2． (1)求b，c的值； (2)若将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围． 22．“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，为正整数）中的元素满足，则称为“平衡集合”． (1)是否存在实数，使得集合为“平衡集合”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，请用反证法证明：、至少有一个大于2． 23．实践课上，同学们利用量角器、三角尺进行实践操作，其中，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图①，小明将三角尺放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为． 问题1：求点对应的刻度． 问题2；将三角尺绕点顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图②，小华把斜边的三角尺叠放在量角器上，且，点，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点的对应刻度为，与外弧交于点． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 24．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点P往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的C点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分．在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网．建立如图2的平面直角坐标系，已知点P坐标为，点C坐标为，秋千绳长为，与y轴形成的夹角为．      (1)某次表演中，当时，演员甲在点B处接住了演员乙． ①点B的坐标为________； ②若点D坐标为，抛物线经过点B、C、D，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； (3)在长期的训练过程中，演员乙从点C抛出（抛射点C坐标不变）的运动路径都可近似看作的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网．若点F在抛物线y的对称轴上，则线段的长度至少为________米． 25．综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $