1.2.1.2 平行四边形对角线的性质课件2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形对角线的性质，通过回顾平行四边形对边相等、对角相等的旧知，以“两条对角线有什么性质”的问题导入，引导学生经历猜想、证明过程，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以“思考-猜想-证明”的探究流程培养学生推理意识，通过例3周长计算、例4中点证明及变式练习，提升应用意识。学生能深化性质理解与推理能力，教师可借助完整的探究-例题-练习体系高效教学。

湘教版(新教材）数学8年级下册公开课精做课件 第1章 四边形 1.2.1.2 平行四边形对角线的性质 平行四边形的对边相等， 平行四边形的对角相等. 平行四边形的两条对角线有什么性质呢？ 情景导入 如图，点 O 是 ABCD 两条对角线的交点，分别比较 OA 与 OC ，OB 与 OD 的长度，它们分别相等吗？为什么？ 猜想：OA=OC，OB=OD 如何证明？ 探究新知 证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AD // BC，AD = BC， 从而∠1 =∠2，∠3 =∠4， 因此△OAD ≌ △OCB(角边角)， 从而 OA = OC，OD = OB． 平行四边形的性质定理2： 平行四边形的对角线互相平分. A B D C O 1 4 3 2 探究新知 例3 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC = 6，BD = 10，CD = 4.8 . 试求 △COD 的周长. 所以 因为 AC，BD为□ ABCD的对角线， 解 又因为 CD = 4.8， 于是，△COD的周长为 3 + 5 + 4.8 = 12.8. 探究新知 例4 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作一条直线 MN，分别交 AD，BC 于点 M，N. 求证：点 O 是线段 MN 的中点. 证明 因为 AC，BD为□ ABCD 的对角线，且相交于点 O， 所以 OA = OC . 因为AD // BC，所以∠MAO =∠NCO. 又∠AOM =∠CON， 所以△AOM≌△CON(角边角). 于是 OM = ON. 所以点 O 是线段 MN 的中点. A B D C O M N 探究新知 我们证明了平行四边形具有以下性质：（1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分. 归 纳 小 结 探究新知 如图所示，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作一条直线 MN，分别交BA，DC的延长线于点M，N. 点 O 是线段 MN 的中点吗？为什么？ 探究新知 ∵ AC，BD为□ ABCD 的对角线，且相交于点 O， ∴ OA = OC . ∵ AB // CD， ∴ ∠AMO =∠CNO，∠MAO =∠NCO. ∴ △AOM≌△CON(角角边). ∴ OM = ON. ∴ 点 O 是线段 MN 的中点. 解：点 O 是线段 MN 的中点. 证明如下： 探究新知 1.在 □ ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O，BC=10 cm，AC=8cm，BD=14cm . （1）求△AOD的周长. （2）△ABC与△BCD的周长哪个长？长多少？ 【选自教材P12 练习 第1题】 课堂练习 解:（1）如图所示， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC. 又∵BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm， ∴ OA=4cm，OD=7cm，AD=10cm. ∴ OA+OD+AD=4+7+10=21(cm). ∴ △AOD的周长为21cm. 课堂练习 （2）∵ △ABC的周长=AB+BC+AC，△BCD的周长=BD+CD+BC，又∵AB=CD， ∴ △BCD的周长－△ABC的周长=BD－AC=14－8=6(cm). ∴ △BCD的周长长，△BCD的周长比△ABC的周长长6cm. 课堂练习 2. 平行四边形一条对角线的两个端点到另一条 对角线的距离相等吗？为什么？ 相等. 证明：如右图所示，在□ ABCD 中， DM⊥AC 于点 M，BN⊥AC 于点 N . ∵ AC，BD 为 □ ABCD 的对角线， 且相交于点 O，∴ OB = OD . 又 ∠AOD=∠COB，∠DMO=∠BNO=90°， ∴ △DOM ≌ △BON(角角边). ∴ DM = BN. M N 【选自教材P12 练习 第2题】 课堂练习 3.如果平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形的两条邻边有什么关系？为什么？ 相等. 证明：如右图所示，在□ ABCD 中， AC⊥BD 于点 O. ∵ AC，BD 为 □ ABCD 的对角线， 且相交于点 O，∴ AO = CO . 又 ∠AOB=∠COB=90°，BO = BO， ∴ △AOB ≌ △COB(边角边). ∴ AB = CB. 【选自教材P12 练习 第3题】 A B C D O 课堂练习 C 返回 1． 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是(　　) A．AC⊥BD B．AC＝BD C．OB＝OD D．∠ABC＝∠BAC 考试考法 15 返回 C 2． 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线， BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为(　　) A．8 B．10 C．15 D．30 考试考法 16 16 (答案不唯一) 返回 3． 已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10， BD＝8，则△OCD的周长可能为________．(写出一个即可) 考试考法 17 4． 返回 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝________. 【点拨】 考试考法 18 5． 返回 8 cm 已知▱ABCD的周长为26 cm，对角线AC，BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长多3 cm，则BC的长度为________. 考试考法 19 6． 返回 30 如图，P是▱ABCD内部的任意一点，连接AP，DP，BP，CP.若△PAB的面积为S1，△PDC的面积为S2，且S1＋S2＝15，则▱ABCD的面积是________. 考试考法 20 7． 【证明】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC，OA＝OC. 所以∠EAO＝∠FCO. 又因为∠AOE＝∠COF，所以△AEO≌△CFO. 所以OE＝OF. [教材P11例4] 如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直AD于点E，交BC于点F. (1)求证：OE＝OF； 考试考法 21 (2)若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长. 【解】因为OE＝OF，OE＝3.5，所以EF＝2OE＝7. 又因为EF⊥AD，S▱ABCD＝63， 所以AD·EF＝63，所以AD＝9. 返回 考试考法 8． 返回 C 如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考试考法 23 9． 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E，F分别是OC，AB的中点，连接BE，FE，若∠ABE＝42°，则∠AEF＝(　　) A．42° B．45° C．46° D．48° 考试考法 24 【点拨】 【答案】D 返回 考试考法 10． 4 考试考法 26 【点拨】 返回 考试考法 11． 考试考法 12． 45° 考试考法 平行四边形具有以下性质： （1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分. 课堂小结 谢谢观看！ 4 因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC.因为AC⊥BC，所以AC＝＝8.所以OC＝4.所以OB＝＝2.所以BD＝2OB＝4. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB＝BD，AD＝BC.因为BD＝2AD，所以OB＝BC.因为点E是OC的中点，所以BE⊥OC.所以∠ABE＋∠BAE＝90°.因为∠ABE＝42°，所以∠BAE＝48°.因为点F是AB的中点，BE⊥OC，所以AF＝AB＝EF.所以∠AEF＝∠BAE＝48°. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为________. 如图，设PQ与AC交于点O，过点O作OP′⊥BC于点P′.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4，所以易得AC＝4.因为四边形PAQC是平行四边形，所以OA＝OC＝AC＝2.所以OP′＝2.当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，所以PQ的最小值为2OP′＝4. 或2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝12，BC＝5，点P从点B出发，沿着边BC运动到点C停止，在点P运动的过程中，若△OPC是直角三角形，则BP的长是____________. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝α. (1)当α为________时，EF⊥AC． $