精品解析：福建省福州第十六中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

福州第十六中学教育集团 2025-2026学年第一学期九年级12月份适应性练习 （满分：150分 完成时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 北京时间月日时分，经过约小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，圆满完成既定任务．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 2. 下列诗词中所描述的现象属于不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 汗滴禾下土 C. 黄河入海流 D. 大漠孤烟直 3. 抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（　　） A. 向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B. 向右平移3个单位，再向上平移4个单位 C. 向左平移3个单位，再向下平移4个单位 D. 向左平移3个单位，再向上平移4个单位 4. 下列立体图形中，俯视图与主视图形状相同是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数y=，关于其函数图象下列说法错误的是（ ） A. 位于第二、四象限 B. 图象过点（-1,3） C. 关于原点成中心对称 D. y随x的增大而增大 6. 如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 9. 以为根的一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 如图，．若，，则______． 12. 如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是_____．（精确到0.001） 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 14. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 15. 如图，在中，，D为边上的一点，，，．则_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数（，）的图像同时经过顶点，若点的横坐标为，，则的值为_______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （）解方程：． （）计算：． 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论何值时，方程总有两个实数根． 19. 如图，在等腰直角，，，点在上． （1）尺规作图：作出将绕点顺时针方向旋转后得到的；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：． 20. 某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中的一个类别．根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图．请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 热学 光学 电学 合计 （1） ， ； （2）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图，电路图上有四个开关和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，小灯泡发光的概率是多少？请你利用树状图或列表的方法解答． 21. 如图，现利用一面长度为的墙，以及长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在边上开了一个宽度为的小门． （1）能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出的长；若不能，说明理由； （2）当为多少米时，矩形面积最大，最大面积是多少？ 22. 如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）抛物线若经过点，已知和是抛物线上不同的两点，求证：． 24. 阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则______，______； （2）已知实数满足，，求的值． （3）已知实数满足、，且，求c的最大值． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N，若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，已知面积为4，D为上一点，且，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十六中学教育集团 2025-2026学年第一学期九年级12月份适应性练习 （满分：150分 完成时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 北京时间月日时分，经过约小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，圆满完成既定任务．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，识别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合即可．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到一个点，使图形绕该点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B ． 2. 下列诗词中所描述的现象属于不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 汗滴禾下土 C. 黄河入海流 D. 大漠孤烟直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件类型的判断，理解不可能事件的含义是关键． 根据不可能事件的定义（在任何情况下都不会发生的事件），判断各选项诗句描述的现象是否可能发生． 【详解】∵ A. 描述手可摘星辰，这在现实中不可能发生，∴ A是不可能事件； ∵ B. 描述加汗滴禾下土是可能发生的随机事件，∴ B不是不可能事件； ∵ C. 描述黄河入海流，是必然发生的必然事件，∴ C不是不可能事件； ∵ D. 描述大漠孤烟直，是可能发生的随机事件，∴ D不是不可能事件； 故选A． 3. 抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（　　） A. 向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B. 向右平移3个单位，再向上平移4个单位 C. 向左平移3个单位，再向下平移4个单位 D. 向左平移3个单位，再向上平移4个单位 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4），根据顶点坐标的变化寻找平移方法． 【详解】解：根据抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0）， 而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4）， ∴平移方法为：向左平移3个单位，再向下平移4个单位． 故选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握相关概念是解题关键． 4. 下列立体图形中，俯视图与主视图形状相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图． 【详解】解：A、俯视图圆，主视图是矩形，故A不符合题意； B、俯视图是不带圆心的两个同心圆，主视图是梯形，故B不符合题意； C、俯视图与主视图都是正方形，故C符合题意； D、俯视图带圆心的圆，主视图是三角形，故D不符合题意 故选：C． 5. 反比例函数y=，关于其函数图象下列说法错误的是（ ） A. 位于第二、四象限 B. 图象过点（-1,3） C. 关于原点成中心对称 D. y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象是双曲线、反比例函数图象的增减性以及反比例函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、反比例函数中的，则该函数图象经过第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； B、反比例函数，当时，正确，故本选项不符合题意； C、反比例函数的图象关于原点对称，正确，故本选项不符合题意； D、反比例函数中的，则在每个象限内，随的增大而增大，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】考查了反比例函数的性质，解题的关键是了解反比例函数的性质，属于反比例函数的基础性题目，比较简单． 6. 如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，然后由旋转的性质得到． 【详解】解：根据旋转的性质，可得，， ， 由旋转的性质得，． 故选：D． 7. 如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H， ∵的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴剪下的三角形的周长为， 故选：C． 8. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 以为根的一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】设x1，x2是一元二次方程的两个根， ∵ ∴x1+x2=3，x1∙x2=-c， ∴该一元二次方程为：，即 故选A. 【点睛】此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 对于①，由抛物线的开口向下，得，由对称轴为直线，可得，再由图象可知，当时，，根据对称性可知，当时，，即可判断； 对于②，由抛物线的对称轴为直线，可知当时，y取最大值，所以（t为全体实数）时，，即可判断； 对于③，根据图象可知，当时，，由对称性可知，当时，，再将代入求解即可； 对于④，根据图象可知，抛物线上的点到对称轴（直线）的距离越近，函数值越大，即可列出不等式求解． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 根据图象可知，当时，， 对称轴为直线， 当时，， ， ， 故①正确； 对称轴为直线， 时，y取最大值， （t为全体实数）时，， ， ， 即， ②错误； 根据图象可知，当时，， 对称轴为直线， 当时，， ， ， ， ③正确； 根据图象可知，抛物线上的点到对称轴（直线）的距离越近，函数值越大， 和为图象上两点，且， ， 解得， ④正确； 正确的是①③④． 故选：C． 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 如图，．若，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12. 如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是_____．（精确到0.001） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可． 【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是， 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积(底面半径，母线长)，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 14. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出． 15. 如图，在中，，D为边上的一点，，，．则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数（，）的图像同时经过顶点，若点的横坐标为，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，由题意得，设，则，，利用勾股定理可得，即得∴，，设，则，由反比例函数图像上点的坐标特征可得，求出的值即可求解，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 解得(不合，舍去)或， ∴，， 设，则， ∵反比例函数的图像同时经过顶点， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （）解方程：． （）计算：． 【答案】（），；（） 【解析】 分析】（）利用公式法解答即可求解； （）根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，再相加减即可求解； 本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（） ，，， ∵， ∴， ∴，； （） ． 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】（1），另一个根为2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【小问1详解】 解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； 【小问2详解】 ，，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 19. 如图，在等腰直角，，，点在上． （1）尺规作图：作出将绕点顺时针方向旋转后得到的；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）分别以点和点为圆心,和的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，易证，得到，即得到，故即为所求； （）利用旋转性质可得，，，即得，再根据相似三角形的判定定理即可证明； 本题考查了旋转作图，相似三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：由旋转得，，，， ∵，， ∴． 20. 某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中的一个类别．根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图．请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 热学 光学 电学 合计 （1） ， ； （2）参与“电学”实验同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图，电路图上有四个开关和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，小灯泡发光的概率是多少？请你利用树状图或列表的方法解答． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）用光学的频数除以它的频率可求出的值，进而可求出的值； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了频数与频率，用树状图或列表法求概率，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的情况有种， ∴小灯泡发光的概率是． 21. 如图，现利用一面长度为的墙，以及长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在边上开了一个宽度为的小门． （1）能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出的长；若不能，说明理由； （2）当为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）能围出一个面积为的矩形菜园，的长为； （2）当为时，矩形面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）设所围矩形的边长为x米，则边为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可； （2）设矩形的面积为S，由矩形的面积公式可以得出S与x的关系，由二次函数的性质就可以得出结论． 【小问1详解】 解：设所围矩形的边长为x米，则边为，根据题意得， ， 整理得， 解得：，， ∵墙的长度为， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为， 所以，能围出一个面积为的矩形菜园，的长为； 【小问2详解】 解：设矩形面积为，则， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，S取得最大值，为， 所以，当为时，矩形面积最大，最大面积为． 22. 如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． （2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， 设的半径为， ， ， ∵， ∴阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）抛物线若经过点，已知和是抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为10 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）把代入抛物线得：，再利用配方法将二次函数解析式写成顶点式，即可得顶点坐标； （2）先根据平移变换得到新的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求最小值和最大值即可； （3）将代入抛物线解析式，求得a，即可得出抛物线解析式，依题意得：，则，它的两个根为，，根据根的定义及根与系数的关系得，，，，再化简求的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：把代入抛物线得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵将二次函数向左移动1个单位， ∴，此时对称轴为， 当时，范围在对称轴的右侧，y值随x的增加而增加， ∴当时，； 当时，； 【小问3详解】 证明：将代入抛物线得： ， ∴， 依题意得：， ∴，它的两个根为，， ∴，， ，， ， ∴． 24. 阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则______，______； （2）已知实数满足，，求的值． （3）已知实数满足、，且，求c的最大值． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到△，所以，解得，从而得到的最大值． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两根，， ，； 【小问2详解】 解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当，则原式； 综上所述，原式的值为或2； 【小问3详解】 解：，， 将、看作是方程的两实数根， △，，即， ， ，即， 的最大值为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了一元二次方程根的判别式，灵活应用根与系数的关系是解决关键． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N，若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，已知的面积为4，D为上一点，且，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明详见解析 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，证明即可； （2）连接，证明，得到，计算出答案； （3）作，垂足为E，设，则．由锐角三角函数的定义可得，，，由三角形面积公式可得x与的关系．利用勾股定理表示出，化简换元后得到一个一元二次方程，用判别式求出的最小值． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分和，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为E，设， ∵， ∴，， 在直角中，，， ∴，化简得，， 在直角中， ， ∵， ∴，化简得，， 将①和③代入②，得， ， 设，，则原方程为：， 化简得，，将它看作关于k的一元二次方程，则其判别式， ∴， 化简得，，即， 两边开方得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，，，，符合题意， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用与锐角三角函数的应用，掌握好相似三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $