精品解析：江西省宜春市奉新县第四中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

高一年级第二次月考试卷 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知且，则的最小值为（ ） A. 3+ B. 4 C. 2 D. 6 4. 华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是不等式的解集，则（ ） A. 1 B. C. -5 D. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”源于《增广贤文》，《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把式子中的看作是每天的“进步”率，一年后的值是；而把式子中的看作是每天的“退步”率，一年后的值是．照此计算，大约经过多少天“进步”后的值是“退步”后的值的10倍？ （ ）（参考数据：，） A. 100天 B. 108天 C. 115天 D. 124天 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 选出下列正确的不等式（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B.  图象关于点成中心对称 C.  的最大值为 D. 幂函数在上为减函数，则的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝________. 14. 若函数的值域为R，则实数m的取值范围是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. （1）已知，求函数的最大值和最小值. （2）解关于的不等式（）. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式： （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： （3）求不等式的解集. 18. 已知 ⑴若，求函数的定义域； ⑵当时，函数有意义，求实数的取值范围. 19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” （1）已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第二次月考试卷 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合A，再根据交集运算求解. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：B. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知且，则的最小值为（ ） A. 3+ B. 4 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由题意等式两边同除，将等式转化为，利用展开结合基本不等式可求出最小值. 【详解】解：因为，且，所以， 则，当且仅当，时等号成立. 故选：A 4. 华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解. 【详解】由题意，根据函数的图象，可得， 根据指数函数的图象与性质， 结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合. 故选：C. 5. 已知是不等式的解集，则（ ） A. 1 B. C. -5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意可得，1为方程0的根，由韦达定理可得解得故. 故选：D. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 7. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小关系，即可得到结果． 【详解】因为函数为偶函数，，， 当时，是增函数，又， 所以，即. 故选：A. 8. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”源于《增广贤文》，《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把式子中的看作是每天的“进步”率，一年后的值是；而把式子中的看作是每天的“退步”率，一年后的值是．照此计算，大约经过多少天“进步”后的值是“退步”后的值的10倍？ （ ）（参考数据：，） A. 100天 B. 108天 C. 115天 D. 124天 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，然后由指数，对数的运算，即可得到结果. 【详解】假设经过天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍， 则可得， 所以，所以， 即经过天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍， 故选:C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 选出下列正确的不等式（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由指数函数在上为单调递增函数，可判定A正确；由指数函数在上为递减函数，可判定B不正确；由对数函数在为递增函数，可判定C正确；由对数函数在为递减函数，可判定D正确. 【详解】对于A中，由指数函数在上为单调递增函数，可得，所以A正确； 对于B中，由指数函数在上为递减函数，可得，所以B不正确； 对于C中，由对数函数在为递增函数，可得，所以C正确； 对于D中，由对数函数在为递减函数，可得，所以D正确. 故选：ACD. 10. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数定义域，利用奇偶函数的定义判断AB；判断指定区间上的单调性判断CD. 【详解】函数的定义域为R， ，则是奇函数，不是偶函数，A正确，B错误； 对于C，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，因此在上单调递减，C正确； 对于D，当时，在上单调递增，D错误. 故选：AC 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B.  图象关于点成中心对称 C.  的最大值为 D. 幂函数在上为减函数，则的值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值. 【详解】对于A，函数的定义域为，由得， 则函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的图象的对称中心为， 将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象， 则函数的图象的对称中心为，B正确； 对于C，函数在R上单调递减，且， 则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误； 对于D，因为函数为幂函数， 所以， 解得，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据对数的运算法则和性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：6. 13. 已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝________. 【答案】2x－－ (x≠0) 【解析】 【分析】由可得，联立即可求出答案 【详解】已知，① 以代替①式中的，得 ，② ①②得 故 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解及其常用方法，掌握解方程组法来求解函数解析式是解题的关键，属于基础题． 14. 若函数的值域为R，则实数m的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的值域列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，函数的值域为R， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案. （2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案. 【小问1详解】 ，因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 因为是成立的必要不充分条件，所以⫋， 当时，，得 当时，． 解得 ， 所以实数的取值范围是 16. （1）已知，求函数的最大值和最小值. （2）解关于的不等式（）. 【答案】（1），； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为， 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）对求解可得，再令，则，再结合一元二次函数即可求其最值； （2）由题可分当，，三种情况讨论，从而求出相应的解集. 【详解】（1）由，得， 解得，则. 令，则，. 当，即，；当，即时，. （2）（）. ①当时，，解集为， ②当时，， 方程的两个根为，，， 不等式的解集为. ③当时， （ⅰ）当时，，解集为； （ⅱ）当时，，解集为； （ⅲ）当时，，解集为. 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为， 当时，解集为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式： （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： （3）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 函数在上单调递增. 在内任取，令， 则 由，得，，， ，，则，即， 因此，所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出即可得解. （2）判断单调性，再利用单调性定义推理论证. （3）利用单调性脱去法则“f”，再解不等式组即得答案. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 由，得，解得，， 所以函数的解析式，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，，原不等式化为， 由（2）知在上单调递增，则，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 18. 已知 ⑴若，求函数的定义域； ⑵当时，函数有意义，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据对数函数的定义，以及复合函数，求得的范围，进而得定义域， （2）函数有意义，即在上恒成立，分离参数，构造函数，求出函数的最值即可， 试题解析： (1)当 则要 解得 即 所以 的定义域为 (2)当 时,令 则有意义, 即在上恒成立 即在上恒成立. 因为 当时，所以 所以 点睛：恒成立的问题常用方法： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立； （3）若 恒成立，可转化为（最值需同时取到） . 19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” （1）已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 【答案】（1）①或；② 0或1. （2） 【解析】 【分析】（1）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （2）由二次函数的性质可知当时，函数G为增函数，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 ① 因二次函数的对称轴为直线， 当时，，当时，. （Ⅰ）当时，则当时，函数G为增函数， 依题意，由，解得； （Ⅱ）当时，则当时，函数G为减函数， 依题意，由，解得. 综上，或； ② 当时，函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，. (Ⅰ)若，则由，解得（舍去）； （Ⅱ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅲ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅳ）若，则由，解得（舍去）. 综上，t的值为0或1； 【小问2详解】 因二次函数的对称轴为直线， 又，则，于是， 故当时，函数为增函数， 即当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 于是，， 因为整数，且，则，即， 又因，即，解得. 【点睛】方法点睛：当二次函数对称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $