6.7用相似三角形解决问题 导学案2025-2026学年 苏科版数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦“用相似三角形解决问题”，核心知识点为平行投影的意义及物高与影长成正比的性质。通过“同一时刻甲杆影长画乙丙杆影长”的问题导入，衔接相似三角形判定与性质，搭建从理论到实际测量的学习支架。 特色在于情境化例题设计，如古埃及金字塔测量、旗杆影长（地面与墙面结合）等，培养学生用数学眼光观察现实世界。分层练习涵盖画图、计算、镜面反射等，通过逻辑推理（如延长线构造相似）和模型应用，发展推理意识与模型意识，提升解决实际问题的能力。

6.7用相似三角形解决问题(1) 【学习目标】 1. 了解平行投影的意义； 2. 知道在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例，会利用平行投影画出图形并 能利用其原理测量物体的高度. 【学习过程】 问题在同一时刻，甲杆在阳光下的影长如图，你能画出此时乙、丙两根木杆的影长吗?说说 你的看法. 数学认识： 什么是平行投影 例1古埃及测量金字塔的问题，古埃及国王为了知道金字塔(底边是正方形的高度，请一位 学者来解决这个问题.在阳光下，当这位学者确定他的影长等于他的身高时，要求他的 助手立即测得金字塔的阴影DB 的长，这样他就十分准确地算出了金字塔的高度，如果 测得金字塔的阴影DB的长为32m, 金字塔底边的长为230m, 请计算出这座金字塔的 高度. (注：此时他的影长等于他的身高) 例2在阳光下，身高1.6m 的小强在地面上的影长为2m, 在同一时刻，测得旗杆在地面上 的影长为18m. 求旗杆的高度. 137 学科网（北京）股份有限公司 例3如图，在阳光下，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的端 面上，小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为20m, 在墙面上的影长CD为 4m. 同一 时刻，小明又测得竖立地长1m 的标杆的影长为0.8m. 求旗杆AB 的高度 课时练习 1. 已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱.AB=5m, 某一时刻AB 在阳光下的 投影BC=3m. (1)请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影； (2)在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m, 请你计算DE 的长. 2. 利用镜面反射可以计算旗杆的高度，如图，一名同学(用AB 表示),站在阳光下，通过 镜子C 恰好看到旗杆ED 的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到镜子的距离是2 米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高。 学科网（北京）股份有限公司 课后作业 1.填空题： (1)如图，斜坡长OA=30m, 若沿斜坡向上走5m 时上升了1m, 则到达坡顶点A时上升了_ m; (2)在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m, 同时测得一幢高楼的影长为90m, 这幢高楼的 高度是 m. 2.如图，为了测量山脚B、C 之间的距离，选定一点O, 量得OB=120 步，OC=80 步，在BO 的延长线上取点 D, 使OD=60 步，在CO的延长线上取点A, 使OA=40 步，量得AD=68 步.你知道B 、C之间相距多少步 吗? 3.如图，在阳光下，身高165 cm的小军测得自己的影长为0.9m, 同时还测得教学楼的影长为8.1m, 求该教学楼的高度. 小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中 看到建筑物的顶端.如果此时小明与镜子的距离是1.6m, 镜子与建筑物的距离是20m, 他的眼睛距地面1.4 m, 那么该建筑物有多高? 小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图),当1m 长的直立竹竿的影长为1.5m 时，测量旗杆落在地 上的影长为21m, 落在墙上的影长为2m, 求旗杆的高度. 一、核心概念（数学认识） 平行投影：由平行光线（如太阳光）照射在物体上形成的投影叫做平行投影。 关键性质：同一时刻，平行光线照射下，不同直立物体的物高与影长成正比。 二、例题答案 例1 答案：147m** 解析： ∵学者的影长等于他的身高，∴ 此时直立物体的物高与影长的比为1:1（太阳光线与地面成45°角）。 ∵ 金字塔底边是正方形，边长230m，∴ 金字塔顶端在地面的投影是底边中心，中心到底边端点的距离为230÷2=115m。 ∵ 金字塔的阴影DB长32m（底边端点到影子顶端的距离），∴ 金字塔的影长=DB + 中心到端点的距离=32+115=147m。 ∵ 物高=影长，∴ 金字塔的高度=147m。 例2 答案：14.4m** 解析： ∵ 同一时刻平行投影下，物高与影长成正比。 设旗杆高度为H， ∴ 小强身高/小强影长=旗杆高度/旗杆影长，即。 解得H=1.6×18÷2=14.4m。 例3 答案：29m 解析： ∵ 同一时刻平行投影下，物高与影长成正比，标杆1m对应影长0.8m，∴ 。 延长AD交BC的延长线于E，墙面影长CD=4m，CD垂直地面，∴ CD的影长为CE。 ∴ ，解得CE=3.2m。 ∴ 旗杆的总影长BE=BC+CE=20+3.2=23.2m。 设旗杆高度为AB， ∴ ，即AB=23.2÷0.8=29m。 三、课时练习答案 1. (1) 画图方法： 过点D作光线AC的平行线（平行投影光线平行），交地面于点F，连接EF，EF即为DE在阳光下的投影。 (2) 答案：10m** 解析： ∵ 同一时刻平行投影下，物高与影长成正比。 ∴ ，已知AB=5m，BC=3m，EF=6m，∴ 5/3=DE/6。 解得DE=5×6÷3=10m。 2. 答案：6.4m** 解析： ∵ 镜面反射中，入射角等于反射角， ∴ ∠ACB=∠ECD。 又∵ AB⊥BD，ED⊥BD，∴ ∠ABC=∠EDC=90°。 ∴ △ABC∽△EDC（两角分别相等）， ∴ 。 已知AB=1.6m，BC=2m，CD=8m，∴ 1.6/ED=2/8。 解得ED=1.6×8÷2=6.4m。 课后作业 1. (1) 答案：6** 解析： ∵ 沿斜坡走5m上升1m，∴ 上升高度与斜坡长度的比为1:5。 斜坡OA=30m，∴ 到达A点的上升高度=30×(1/5)=6m。 (2) 答案：54 解析： ∵ 同一时刻平行投影下，物高与影长成正比。 设高楼高度为H， ∴ ，解得H=1.8×90÷3=54m。 2. 答案：136步** 解析： ∵ OB=120步，OD=60步，OC=80步，OA=40步， ∴ 。 ∴， 又∵ ∠BOC=∠DOA（对顶角相等），∴ △BOC∽△DOA（两边成比例且夹角相等）。 ∴ ，已知AD=68步，∴ BC=2×68=136步。 3. 答案：14.85m** 解析： ∵ 小军身高165cm=1.65m，影长0.9m，同一时刻物高与影长成正比。 设教学楼高度为H，∴ ，解得H=1.65×8.1÷0.9=14.85m。 4. 答案：17.5m** 解析： ∵ 镜面反射中，∠ACB=∠ECD，且∠ABC=∠EDC=90°， ∴ △ABC∽△EDC。 ∴ 眼睛高度/建筑物高度=小明到镜子距离/镜子到建筑物距离，即。 解得H=1.4×20÷1.6=17.5m。 5. 答案：16m 解析： ∵ 同一时刻平行投影下，物高与影长成正比，竹竿1m对应影长1.5m， ∴ 。 延长AD交BC的延长线于E，墙面影长2m对应的影长CE=2×1.5=3m。 ∴ 旗杆总影长BE=21+3=24m，设旗杆高度为AB，∴ 。 解得AB=24÷1.5=16m。 $