精品解析：北京市顺义区牛山第二中学2024-2025学年八年级数学上学期期中试卷

北京市顺义区牛山第二中学2024-2025学年度 第一学期期中检测八年级数学 一、选择题（下列各题四个选项中只有一个符合题意，共8道小题，每题2分，共16分） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. =0 B. =4 C. ≠0 D. ≠4 2. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 16的平方根是（ ） A. ±8 B. ±4 C. 4 D. －4 4. 下列分式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. = B. C. = －1 D. 6. 把分式中的、都扩大倍，则分式的值（ ） A 不变 B. 扩大倍 C. 扩大倍 D. 缩小倍 7. 最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（ ） A. 2 B. 7 C. D. 8. 已知，那么化简的结果是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 10. 写出一个比2大且比3小无理数：______． 11. 若一个数平方等于，则这个数是__________． 12. 比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 13. 甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为______． 14. 当__________时，分式的值等于零． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 16. 如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么＝_____． 三、解答题（共68分，17—23题，每题5分，第24—26题，每题6分，第27题7分，第28题8分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：． 22. 解分式方程：． 23 先化简，再求值：，其中． 24 列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 25. 已知、为实数，且满足 求的值 26. 若关于x的分式方程＝1的解为正数，求m的取值范围． 27. 已知，求的值. 28. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市顺义区牛山第二中学2024-2025学年度 第一学期期中检测八年级数学 一、选择题（下列各题四个选项中只有一个符合题意，共8道小题，每题2分，共16分） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. =0 B. =4 C. ≠0 D. ≠4 【答案】D 【解析】 【详解】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4， 故选D. 2. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D错误． 故选：B． 3. 16的平方根是（ ） A. ±8 B. ±4 C. 4 D. －4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解： 16的平方根是±4 故选B 【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根． 4. 下列分式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】A、该分式的分子、分母中含有公因数2，则它不是最简分式．故本选项错误； B、分母为a（b+1），所以该分式的分子、分母中含有公因式（b+1），则它不是最简分式．故本选项错误； C、分母为（a+b）（a-b），所以该分式的分子、分母中含有公因式（a+b），则它不是最简分式．故本选项错误； D、该分式符合最简分式的定义．故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了对最简分式，约分的应用，关键是理解最简分式的定义． 5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. = B. C. = －1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质和代数式的变形，掌握相关知识是解决问题的关键．选项A和B的变形不符合分式的基本性质（分子分母必须同时乘以或除以同一个非零整式），选项D运算错误，选项C通过提取负号简化后成立． 【详解】解：A．此项不符合分式的基本性质，∴该选项错误， B．此项不符合分式的基本性质，∴该选项错误， C．∵（当时），∴该选项正确， D．∵，∴该选项错误． 故选：C． 6. 把分式中的、都扩大倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 扩大倍 D. 缩小倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键．将分式中的 和 都扩大 3 倍后代入，约分后与原式比较． 【详解】解：∵ 和 都扩大 3 倍， ∴ 新分式为 ， ∴ 分式的值不变． 故选：A． 7. 最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（ ） A. 2 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ． ∴． 故选：A． 8. 已知，那么化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．将根号内的式子化为完全平方形式，再利用二次根式的性质及已知条件进行化简即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 10. 写出一个比2大且比3小的无理数：______． 【答案】答案不唯一：如只要即可． 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义有，这样就可得到满足条件的无理数． 【详解】解：∵， ∵一个比2大且比3小的无理数， ∴只要满足即可； ∴如； 故答案为： 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 11. 若一个数的平方等于，则这个数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平方根的定义，一个数的平方等于 ，则这个数是 的平方根． 【详解】解：∵ ， ∴ 这个数是 ． 故答案为 ． 12. 比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方法比较两个数的大小，对于带根号的实数的大小关系的比较，平方法是比较常用的一个技巧．只需比较与的大小关系，即可得到与的大小关系，然后再进行判断． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 13. 甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作2.4小时清点完另一半图书”列出方程． 【详解】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得， 故答案为：． 14. 当__________时，分式的值等于零． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零． 【详解】解：由分式的值为零，得 ： 且 ， ∴． 故答案为：9． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可 【详解】解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0， 解得：m＝1， 故答案：1． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 16. 如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么＝_____． 【答案】2b-a 【解析】 【分析】由数轴知a＜0＜b且|a|＜|b|，据此得a-b＜0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简可得． 【详解】由数轴知a＜0＜b，且|a|＜|b|， 则a-b＜0， ∴+=|a-b|+|b| =b-a+b =2b-a， 故答案为2b-a． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、绝对值的性质． 三、解答题（共68分，17—23题，每题5分，第24—26题，每题6分，第27题7分，第28题8分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，立方根，零指数幂的意义，二次根式的化简，正确使用上述运算法则是解题关键 【详解】解：原式 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】把分子、分母因式分解，把除法变成乘法计算即可． 详解】解： 原式＝ ＝． 【点睛】本题考查的是分式的乘除运算，熟知分式的乘法及除法法则是解答此题的关键． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．正确的计算是关键． 【详解】解：原式． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先将括号内式子通分，再将分子、分母因式分解，变分式除法为分式乘法，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】解： ． 22. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：， 检验，经检验，是原方程的解． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】a+1； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式= ． 当时，原式=． 24. 列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【答案】件 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键． 设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：，解得：． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹件． 25. 已知、为实数，且满足 求的值 【答案】2 【解析】 【详解】根据题意得：， 解得：， ∴， 又∵ ∴原式= 26. 若关于x的分式方程＝1的解为正数，求m的取值范围． 【答案】m＞2且m≠3． 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可． 【详解】解：去分母得：m﹣3＝x﹣1， 解得：x＝m﹣2， 由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1， 解得：m＞2且m≠3， 故答案为：m＞2且m≠3． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 27. 已知，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 左边=， 右边= 所以 解得：. 把，代入，． 【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 28. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 “差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】（1） （2）①；②，则；，则； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； 【小问3详解】 解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $