山东省济宁市第一中学2025-2026学年高三上学期11月学情检测数学试题

2025年济宁市第一中学高三11月学情检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则　　 A． B． C． D． 2．下列关于复数的说法，正确的是　　 A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数，满足，则，均为实数 3．已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为　　 A． B． C． D． 4．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．已知△的内角，，所对的边分别为，，，若，则　　 A． B． C． D． 6．如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为　　 A． B． C． D． 7．已知平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则“”是“是第四象限角”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，在四面体中，平面平面，侧面△是等边三角形，底面△是等腰直角三角形，，，则四面体的外接球的体积是　　 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．（6分）已知随机变量服从正态分布，，则下列选项正确的是　　 （参考数值：随机变量服从正态分布，则，， A． B． C． D． （多选）10．（6分）已知函数且，则　　 A．是周期函数 B．的图象是轴对称图形 C．的图象关于点对称 D． （多选）11．（6分）已知函数，则　　 A．的极小值是1 B．恰有2个零点 C．方程恰有1个实根 D．对任意的，，，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．安排4位顾客去，，三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有　　 种． 13．已知双曲线的右焦点为，直线经过点与的左、右两支各有一个交点，若与的其中一条渐近线垂直，则的离心率的取值范围为　　 ． 14．已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 　　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的苹果树上随机摘下100个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间，内，并绘制了如图所示的频率分布直方图： （1）按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间，，，的苹果中随机抽取5个，再从这5个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果质量均小于200克的概率； （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有50000个苹果待出售，某电商提出两种收购方案： ．所有苹果均以4元千克收购； ．低于225克的苹果以0.8元个的价格收购，高于或等于225克的苹果以1元个的价格收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案． 16．（15分）如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点在棱上． （1）若为的中点，证明：； （2）若两条异面直线，所成角的余弦值为，求的值． 17．（15分）设函数． （1）求的图象在，处的切线方程； （2）记，若，试讨论在上的零点个数． 18．（17分）如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，直线，，分别与轴交于点，，，记△的面积为，△的面积为． （1）若的焦点为，且的最小值为，求的值； （2）若存在点，使得，求的取值范围． 19．（17分）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列． （1）已知数列满足：，，，判断是否是纯周期数列，并求； （2）记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足 ①若，证明：数列是纯周期数列； ②证明：不论为何值，总存在，，使得． 2025年济宁市第一中学高三11月学情检测数学试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B D A C C 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ABC AB ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则　　 A． B． C． D． 解：由解得，所以， 由可得，解得， 所以， 则． 故选：． 2．下列关于复数的说法，正确的是　　 A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数，满足，则，均为实数 解：由虚数单位，可得错误； 若，那么，所以错误； 虚轴上的点对应复数，所以错误； 虚数不能比较大小，若复数，满足，则，均为实数，正确． 故选：． 3．已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为　　 A． B． C． D． 解：由点题意可得，且， 所以与向量同向的单位向量为． 故选：． 4．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 解：根据题意可知，由点在椭圆的内部， 可得：，且，， 解得：或， 所以实数的取值范围为． 故选：． 5．已知△的内角，，所对的边分别为，，，若，则　　 A． B． C． D． 解：根据，由正弦定理得，即，可得． 根据，由余弦定理得， 化简得，所以，结合且，可得． 故选：． 6．如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为　　 A． B． C． D． 解：在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点， 设平面分别交棱、于点、， 如下图所示： 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可知， 则，即，故， 故， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可得， 所以，即，所以， 所以，故． 因此，平面与侧面的交线长为． 故选：． 7．已知平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则“”是“是第四象限角”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：显然在第二象限和第三象限不等式均不成立， 若在第一象限，则，，， 因为，所以， 可知，即，故不成立； 若在第四象限，则，，， 因为，所以， 可知，即，即成立； 由上可知，必要性成立； 若，则可知不在第二象限和第三象限； 当在第一象限时，不妨取，则，不合题意； 所以只能是第四象限角； 由上可知，充分性成立． 综上可知，“”是“是第四象限角”的充要条件． 故选：． 8．如图，在四面体中，平面平面，侧面△是等边三角形，底面△是等腰直角三角形，，，则四面体的外接球的体积是　　 A． B． C． D． 解：因为在四面体中，平面平面， 又侧面△是等边三角形，底面△是等腰直角三角形，，， 所以作出示意图如下： 易知，， 所以△的外接圆半径， 因为侧面△是等边三角形，设其外接圆半径为， 由正弦定理可得，解得， 设△外接圆圆心为，△外接圆的圆心为， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于△的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．（6分）已知随机变量服从正态分布，，则下列选项正确的是　　 （参考数值：随机变量服从正态分布，则，， A． B． C． D． 解：随机变量服从正态分布，， 曲线关于对称， 根据题意可得，，， ，故正确； ．，故错误． 而，都正确． 故选：． （多选）10．（6分）已知函数且，则　　 A．是周期函数 B．的图象是轴对称图形 C．的图象关于点对称 D． 解：由于，所以是周期函数，故选项正确； 定义域为，， 从而为偶函数，其图象关于轴对称，故选项正确； 由于， 从而当为奇数时，的图象不一定关于点对称，故选项错误； 当时，，令，则此时，故选项错误． 故选：． （多选）11．（6分）已知函数，则　　 A．的极小值是1 B．恰有2个零点 C．方程恰有1个实根 D．对任意的，，，都有 解：对于，因为， 所以， 令，可得，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，且极小值（1），故正确； 对于，由得在上单调递减，上单调递增，且（1）， 所以（1）， 所以无零点，故错误； 对于，令、， 则，即， 令， ， 令，则， 令，得或， 所以当时，， 当，时，， 所以在上单调递增，上单调递减， ， 故， 则，单调递减， 当趋于0时，趋于，当趋于时，趋于0， 所以和两条曲线有且只有一个交点， 即方程恰有1个实根，故正确； 对于，由可知， 令， ， 当时，， 所以的图象在上为凹的， 所以对任意的，，， 都有，故正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．安排4位顾客去，，三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有　27　 种． 解：安排4位顾客去，，三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆， 则剩下3位顾客每人就餐餐馆有3种安排方案，故不同的安排方案共有种． 故答案为：27． 13．已知双曲线的右焦点为，直线经过点与的左、右两支各有一个交点，若与的其中一条渐近线垂直，则的离心率的取值范围为　　 ． 解：双曲线的两渐近线方程为， 由对称性不妨设直线与渐近线垂直时，由题意可得直线的斜率为， 又直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则， 所以，所以，所以，所以，即，解得， 所以的离心率的取值范围为． 故答案为：． 14．已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 　　 ． 解：因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，在上单调递增， 根据奇函数的对称性可得，函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 解得：， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的苹果树上随机摘下100个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间，内，并绘制了如图所示的频率分布直方图： （1）按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间，，，的苹果中随机抽取5个，再从这5个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果质量均小于200克的概率； （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有50000个苹果待出售，某电商提出两种收购方案： ．所有苹果均以4元千克收购； ．低于225克的苹果以0.8元个的价格收购，高于或等于225克的苹果以1元个的价格收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案． 解：（1）因为，和，的频率之比为， 所以应分别在，，，中抽取2个和3个， 所以所求概率为； （2）因为频率依次为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05， 若按方案收购： 总收益为：（元． 若按方案收购：由题意知苹果质量低于225克的个数为， 苹果质量高于或等于225克的个数为， 所以总收益为（元． 因为，所以方案的收益比方案的收益高，应该选择方案． 16．（15分）如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点在棱上． （1）若为的中点，证明：； （2）若两条异面直线，所成角的余弦值为，求的值． 【解答】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由，，可得， 因为、是平面内的相交直线， 所以平面，结合平面，可得， 因为，为的中点，所以， 又因为、平面，， 所以平面，结合平面，可得． （2）如图，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，3，，，0，，，3，，，0，， ，0，，，3，，，3，， 设，则，0，，，，，． 设异面直线与所成角为， 则，， 整理得，解得或（舍去），可得，所以． 17．（15分）设函数． （1）求的图象在，处的切线方程； （2）记，若，试讨论在上的零点个数． 解：（1）导函数，因此，又， 因此函数的图象在，处的切线方程为． （2）根据已知得函数，因此导函数， 令，那么导函数． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以导函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 因此存在，使得， 当，时，；当时，， 因此在，上单调递减，在上单调递增， 由于，，因此在上无零点， 又由于，根据零点存在定理可得函数在，上有且只有一个零点． 综上所述，当时，在上的零点个数为1． 18．（17分）如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，直线，，分别与轴交于点，，，记△的面积为，△的面积为． （1）若的焦点为，且的最小值为，求的值； （2）若存在点，使得，求的取值范围． 解：（1）因为是抛物线的焦点， 所以，设，，那么且， 所以， 由于，因此当时，有最小值，解得． （2）根据抛物线方程，得，因此导函数， 设，，，，因此，， 因此，又因为，化简得， 因此过点的切线方程为，因此， 同理可得过点的切线方程为，因此． 由于点，在两条切线上，因此， 可得，为，因此． 所以， 因此，因此． 因此点，所以点的轨迹方程为， 根据题意与半圆有交点， 令函数，那么可得， 又由于，解得，所以，． 19．（17分）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列． （1）已知数列满足：，，，判断是否是纯周期数列，并求； （2）记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足 ①若，证明：数列是纯周期数列； ②证明：不论为何值，总存在，，使得． 解：（1）无穷数列，若存在常数，使得对任意的正整数，恒有成立，称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列． 故写出数列的前几项：1，3，2，，，，1，3，2，，，，， 数列是周期为6的纯周期数列，． （2）证明：①时，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 时，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 时，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 根据上述计算得出猜想： 当时，数列为常数列也是纯周期数列． 下面进行验证：当时，， 此时数列为常数列，也是纯周期数列． ②首先，根据①的分析，发现当时，数列为常数列， 也是纯周期数列，满足题意； 接下来证明，当时，也存在，，使得， 因为，所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可． 当时，显然存在值为1的项， 当时，有或， 若为偶数，则，若为奇数时， 则， ， 所以，即无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且， 类似的，可得无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且取得等号）； 所以无论为奇数还是偶数，均有； 若，则恒为奇数且，取得等号）； 于是，假设数列的且， 所以恒为奇数且， 由于，中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数． 设为第一个值为的项，而， 故， 这与“是第一个值为的项”相矛盾， 所以数列除第一项外，还存在不属于区间，的项． 假设这些不属于区间，的项全部属于区间，，那么也会出现类似的矛盾， 所以数列除第一项外，存在不属于区间，和，的项， 以此类推，数列一定存在小于值为2的正整数的项，即存在值为1的项，得证． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $