专题31 统计案例和回归方程、独立性检验 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦统计案例与回归方程、独立性检验核心考点，按“变量相关关系-回归模型构建-独立性检验”逻辑架构知识点，通过考点梳理明确考查要求，结合方法总结（如回归方程求解步骤）和真题训练（2024天津卷、上海卷等），配合分层变式练习，帮助学生系统突破数据建模与统计推断难点。 资料突出新课标核心素养导向，以数学眼光分析散点图相关性（如例1直观判断相关系数），用数学思维推导回归方程参数（例2样本相关系数计算），通过“真题精讲-方法提炼-变式巩固”三步教学法，在有限时间内强化统计应用能力，既助力学生提升数据处理与模型构建能力，也为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

专题31 统计案例和回归方程、独立性检验 知识点一、一元线性回归模型及其应用 一、变量的相关关系 1.相关关系：若两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,则称这种关系为相关关系. 2.相关关系的分类：正相关和负相关. 3.线性相关：一般地,若两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,则称这两个变量线性相关. 二、样本相关系数 1.样本相关系数 2.样本相关系数的取值范围为,是一个描述成对样本数据的数字特征,它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征,它的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度. （1）当时,成对样本数据正相关; （2）当时,成对样本数据负相关; （3）当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强; （4）当越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 三、经验回归模型 对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的中心． 四、对模型刻画数据效果的分析 1.残差图法 在残差图中,若残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内,则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量之间的关系. 2.残差平方和法 残差平方和  越小,模型的拟合效果越好. 3.决定系数法 用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：． 越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好． 考点一 成对数据的相关性 【例1】(2024·天津卷)在下列图中，样本相关系数最大的是（ ）. A. B. C. D. 【变式1-1】以下是标号分别为①、②、③、④的四幅散点图，它们的样本相关系数分别为,,,，那么样本相关系数的大小关系为 （按由小到大的顺序排列）. 考点二 回归模型及其应用 【例2】某市逐渐加大充电基础设施的建设,并统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个）,得到如下数据： 年份编号 1 2 3 4 5 年份 2020 2021 2022 2023 2024 数量个 37 104 147 196 226 （1）已知可用经验回归模型拟合与的关系,请用样本相关系数加以说明; （2）求关于的经验回归方程,并预测2026年该市新能源汽车充电站的数量. 参考数据：,,,. 参考公式：样本相关系数,经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,. 方法总结 求经验回归方程的步骤 【变式2-1】为研究混凝土的抗震强度与抗压强度的关系,某研究部门得到下表的样本数据： 140 150 170 180 195 23 26 28 28 若与线性相关,且经验回归方程为,则下列说法正确的是（ ）. A. B. 与正相关 C. 与的样本相关系数为负数 D. 若,则 知识点二、列联表与独立性检验 一、分类变量 为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 二、列联表与独立性检验 1、列联表 合计 合计 像这种形式的数据统计表称为列联表. 2、独立性检验 （1）定义：利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验,读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. （2） ，其中. 提醒 常用的小概率值和相应的临界值如表所示. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 考点一 分类变量与列联表 【例3】为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查,得到了列联表如表所示： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为，则, . 【例4】为了获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况,某地研究机构将“90后与00后”作为A组,将“70后与80后”作为B组,并从A,B两组中各随机选取了100人进行问卷调查,整理数据后获得列联表如表所示： 年龄段 认知情况 合计 知晓 不知晓 A组（90后与00后） 75 25 100 B组（70后与80后） 45 55 100 合计 120 80 200 （1）若从样本中知晓“绿色消费”意义的120人中用按比例分配的分层随机抽样方法随机抽取16人,求应在A组、B组中分别抽取的人数; （2）能否依据小概率值的独立性检验,认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关? 方法总结 独立性检验的一般步骤 （1）根据样本数据制成列联表. （2）提出假设. （3）根据公式计算的值. （4）比较与临界值 的大小关系,作出统计推断. 【变式4-1】清明节,又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等,是传统的重大春祭节日.扫墓祭祀、缅怀祖先,是中华民族自古以来的优良传统.某社区进行流动人口统计,随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖,得到如下不完整的列联表： 年龄 是否回老家情况 合计 回老家 不回老家 50周岁及以下 55 50周岁以上 15 40 合计 100 （1）根据统计完成以上列联表,并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率; （2）依据小概率值的独立性检验,能否认为是否回老家祭祖与年龄有关? 【变式4-2】(2024·上海卷)为了了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29 000名学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单位:小时）与学业成绩的数据如表所示： 时间范围 学业成绩 优秀 不优秀 5 134 44 147 42 137 3 40 1 27 （1）该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1小时）. （3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 附：,，. 专题31 统计案例和回归方程、独立性检验 例1【解析】观察4幅图可知，图的散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，的值相比于其他3幅图更接近1.故选. 变式1-1【解析】根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关， ,,,. 又图①②的散点图近似在一条直线上， 图①②中两变量的线性相关程度比较高. 图③④的散点图比较分散，故图③④中两变量的线性相关程度比较低. 故. 例2【解析】（1）由已知数据得, , , , 所以. 因为 与 的样本相关系数近似为,接近1,说明 与 的线性相关程度相当高,所以可以用经验回归模型拟合 与 的关系. （2）由（1）得,则, 故所求经验回归方程为. 将2026年对应的年份编号代入经验回归方程，得,故预测2026年该市新能源汽车充电站的数量为330. 变式2-1【解析】依题意,得,, 由,解得,故 正确; 因为在经验回归方程 中 的系数为正数,所以 与 正相关,且样本相关系数为正数,故 正确,错误; 当 时,的值约为,故 错误. 故选. 例3【解析】在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为,故喜爱打篮球的学生共有（人）.因为喜爱打篮球的女生有10人,所以喜爱打篮球的男生有22人,即.结合题意可知不喜爱打篮球的女生有（人）,即. 例4【解析】（1）由题意知,在 组中抽取的人数为,在 组中抽取的人数为. （2）零假设为 对“绿色消费”意义的认知情况与年龄无关. 由题意得,, 故依据小概率值的独立性检验,推断不成立,即认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关. 变式4-1【解析】（1）补全表格如下： 年龄 是否回老家情况 合计 回老家 不回老家 50周岁及以下 5 55 60 50周岁以上 15 25 40 合计 20 80 100 该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为. （2）因为, 所以依据小概率值的独立性检验,可以认为是否回老家祭祖与年龄有关. 变式4-2【解析】（1）由表可知日均锻炼时长不小于1小时的人数占比为，则估计该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为. （2）因为， 所以估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题可得列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 零假设为该地区成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关. 其中，，则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关. 1 学科网（北京）股份有限公司 $