精品解析：新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州且末县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

且末县第一中学2025－2026学年第一学期12月考 高二数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线的倾斜角与斜率有关，先求直线斜率，再得到倾斜角. 【详解】直线，直线斜率为0，所以直线倾斜角为. 故选：D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 3. 若直线经过点，，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D 4. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交， 故选：D 6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 7. 椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点关于直线对称点，且A在椭圆上，得，即得椭圆C的离心率； 【详解】∵点关于直线的对称点A为，且A在椭圆上， 即，∴， ∴椭圆C的离心率． 故选A． 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题． 8. 已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得，代入可得选项. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以， 设，由抛物线的性质得：， ∴，故到的距离为4. 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，属于基础题. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的一个焦点为 C. 椭圆的短半轴长为6 D. 椭圆的离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解. 【详解】因为，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为，焦点坐标为，短半轴长为3，离心率． 故选：AD. 10. 过点作圆的切线，所得切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】应用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设. 故答案为： 13. 双曲线的右焦点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 详解】由已知，， 所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 直线被圆截得的弦长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求得弦长. 【详解】因为圆C的圆心为，半径r为， 圆心到直线l距离， 故直线l被圆C截得的弦长为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，，； （2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； （3）经过点的抛物线的标准方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程； （2）根据双曲线的焦点位置可直接得出双曲线的标准方程； （3）对抛物线的焦点位置进行分类讨论，设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数的值，即可得出抛物线的标准方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 又因为椭圆的焦点在轴上，因此，所求椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 焦点在轴上，，的双曲线的标准方程为. 【小问3详解】 若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 此时，抛物线的标准方程为； 若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程为，解得， 此时，抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为或. 16. 已知圆的圆心，且点在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）求圆过点的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）分析可知，切线的斜率不存在，设所求切线的方程为，利用点到直线的距离等于圆的半径可求出的值，由此可得出所求切线的方程. 【小问1详解】 由题意额可知，圆的半径为， 因此，圆标准方程为. 【小问2详解】 若切线的斜率不存在时，切线的方程为，此时直线过圆心，不合乎题意， 所以，切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由题意可知，圆心到直线的距离等于， 所以，，解得， 所以，所求切线的方程为或， 即所求切线的方程为或. 17. 已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B. （1）求抛物线C的方程； （2）若，求k的值. 【答案】（1）；（2）1或. 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB 【详解】（1）抛物线C：的准线为， 由得：，得. 所以抛物线方程为. （2）设，，由， ， ∴， ∵直线l经过抛物线C的焦点F， ∴ 解得：， 所以k的值为1或. 【点睛】考核抛物线的定义及过焦点弦的求法 18. 已知椭圆离心率，且过点 （1）求椭圆的标准方程. （2）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点.求弦长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求得的值. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，椭圆的左焦点为， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，其方程为， 联立消去可得， ，设点、， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得. 19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像，利用线面关系即可得解； （2）要求线面角的正弦值，先确定线面角，然后解三角形即可. 【详解】（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形， ∴AB1⊥BA1. 由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1. 又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1， ∴A1C1⊥平面AA1B1B. 又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1. 又∵BA1∩A1C1＝A1， ∴AB1⊥平面A1BC1. （2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝. 在Rt△A1DA中，AD＝. ∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查了立体几何的线面垂直的证明，考查了几何法求线面角的大小，有一定的计算量属于中档题，本题的关键有： （1）通过线面垂直关系得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）几何法求线面角的关键是先确定线面角，进而解三角形计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 且末县第一中学2025－2026学年第一学期12月考 高二数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线经过点，，则直线的斜率是（ ） A B. C. D. 4. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 7. 椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 8. 已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ） A 4 B. C. 8 D. 16 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的一个焦点为 C. 椭圆短半轴长为6 D. 椭圆的离心率为 10. 过点作圆的切线，所得切线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则___________. 13. 双曲线的右焦点到直线的距离为________． 14. 直线被圆截得的弦长为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，，； （2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； （3）经过点的抛物线的标准方程. 16. 已知圆的圆心，且点在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）求圆过点的切线方程. 17. 已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B. （1）求抛物线C的方程； （2）若，求k值. 18. 已知椭圆离心率，且过点 （1）求椭圆的标准方程. （2）过椭圆左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点.求弦长； 19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $