精品解析：四川省自贡市富顺县学区联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度上期定时作业 九年级《数学学科》 满分150分 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣ B. m≥﹣ C. m＞﹣且m≠0 D. m≥﹣且m≠0 3. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. y有最大值，最大值为 D. 将该函数向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到 4. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件.如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. x(x+1)=132 B. x(x-1)=132 C. x(x+1)=132× D. x(x-1)=132×2 5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( ) A. 15° B. 28° C. 29° D. 34° 6. “正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O的对应点C落在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ） A. 13 B. 14 C. 12 D. 28 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A=__________°． 13. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 14. 已知二次函数的解析式为（），若函数过和两点，则a的取值范围______． 15. 如图，已知点，的半径为2，点P为上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段．连接，当点P在上运动时，的最大值为______． 三、解答题（共3小题，每题8分，共24分） 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中a是方程的解． 18. 如图，中，，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接相交于点D． （1）求证：； （2）若，求的长． 四、解答题（共4小题，每题10分，共40分） 19. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 20. 如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1； （2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2； （3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长． 21. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝，求⊙O的半径． 22. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 五、解答题（共2小题，23题12分，24题14分） 23. 《桥梁的设计》 问题的驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽（如图），称为跨度，桥面最高点到的距离称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 （1）如图，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． （2）如图，设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 （3）如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁． 24. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线于点M． ①当时，点P为抛物线上一动点，作平行于y轴交直线于点Q，若满足，求点P的横坐标； ②连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上期定时作业 九年级《数学学科》 满分150分 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义及识别，“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心”，掌握中心对称图形的定义即可求解． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选A． 2. 已知二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣ B. m≥﹣ C. m＞﹣且m≠0 D. m≥﹣且m≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，可得△＝12﹣4m×（﹣1）＞0且m≠0． 【详解】解：∵原函数是二次函数， ∴m≠0． ∵二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则 △＝b2﹣4ac＞0， △＝12﹣4m×（﹣1）＞0， ∴m＞﹣． 综上所述，m的取值范围是：m＞﹣且m≠0， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟记当△=b2-4ac＞0时图象与x轴有两个交点；当△=b2-4ac=0时图象与x轴有一个交点；当△=b2-4ac＜0时图象与x轴没有交点． 3. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. y有最大值，最大值为 D. 将该函数向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．根据二次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：A、对于，因为，所以图象开口向上，所以选项A错误，不符合题意； B、因为二次函数的图象的顶点坐标为，选项B错误，不符合题意； C、因为二次函数的图象的开口向上，顶点坐标为，所以函数有最小值，没有最大值，所以选项C错误，不符合题意； D、将该函数向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数，所以选项 D正确，符合题意． 故选：D． 4. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件.如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. x(x+1)=132 B. x(x-1)=132 C. x(x+1)=132× D. x(x-1)=132×2 【答案】B 【解析】 【详解】全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件， 那么x名同学共赠：x（x-1）件， 所以，x（x-1）=132， 故选B． 5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( ) A. 15° B. 28° C. 29° D. 34° 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果． 【详解】 由题意得∠AOB=86°-30°=56° 则∠ACB=∠AOB=28° 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角的性质是解题关键． 6. “正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，进而可得六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点， ∴中心角， ∵正六边形的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正六边形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握：正六边形的边长等于半径． 7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 8. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O的对应点C落在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明是等边三角形，则，，如图，过作轴于，则，，则，，由勾股定理得，，进而可求点D的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，过作轴于，则， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴点D的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，点坐标等知识．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，点坐标是解题的关键． 9. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数与一元二次方程的关系． 根据抛物线的图象特征，结合二次函数的性质，分别对四个说法进行判断即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴a，b同号， ∴， 根据图象可得当时，， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴， ∴，故①错误； ②当时，， 当时，， ∴， ∴，即，故②错误； ③∵， ∴， 根据图象可得当时，， ∴， ∴，即，故③正确； ④根据图象可知，抛物线上的点到对称轴直线的距离越近，函数值越大， ∵和为图象上两点，且， ∴，即，解得，故④正确． 综上所述，正确的有③④，共2个． 故选：B． 10. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ） A. 13 B. 14 C. 12 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 12. 如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A=__________°． 【答案】35 【解析】 【分析】连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且，可求得的度数，又由圆周角定理，即可求得结果． 【详解】解：连接OC， ∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：35． 【点睛】题目主要考查了切线的性质及圆周角定理，作出辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键． 13. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 14. 已知二次函数的解析式为（），若函数过和两点，则a的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，理解二次函数性质利用数形结合思想解题是关键． 由抛物线解析式可得，然后求得当时，y取最小值，再由函数经过和两点可得当时，y取最小值，从而得到，然后结合题意列不等式求解． 【详解】解：由可得： ∴当时，y取最小值 又∵函数过和两点 ∴当时，y取最小值 ∴， 解得： ∵ ∴， 解得： 故答案为：． 15. 如图，已知点，的半径为2，点P为上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段．连接，当点P在上运动时，的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、点与圆上一点的最值问题、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确理解题意，作出辅助图形是解题关键． 将绕点A顺时针旋转得到，则，，证明，可得，易知点Q在以点为圆心，2为半径的上，当点在的延长线上时，最大，即为的长度，然后求解即可． 【详解】解：∵点，的半径为2，点P为上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴，， 如图所示，将绕点A顺时针旋转得到， 则，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点Q在以点为圆心，2为半径的上， 如图所示，当点在的延长线上时，最大，即为的长度， 根据勾股定理，得， ∴，即最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共3小题，每题8分，共24分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程， 原方程运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ∴，． 17. 先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，一元二次方程的解的概念，掌握分式的性质，一元二次方程的解的运用是解题的关键． 根据分式的性质、完全平方公式和平方差公式，将式子化简，再根据一元二次方程的解可得，即可求解． 【详解】解： ， 是方程的解， ， 即， 原式． 18. 如图，中，，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接相交于点D． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由绕点按顺时针方向旋转得到， ，，， ，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合旋转的性质可得，，，进而证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）首先证明四边形为菱形，易得，再证明为等腰直角三角形，然后由勾股定理解得，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形， ， ， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ． 四、解答题（共4小题，每题10分，共40分） 19. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）结合题意可得该方程为一元二次方程，故，根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于列出关于的不等式，求解即可得出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入方程得出关于的方程，求出的值，注意结合题意，取符合要求的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， 整理得：， 解得：； ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：、为方程的两个不等实数根， ∴，， ∵， 整理得：， 将，代入，得： ， 解得：，， 经检验均为方程的解， ∵，故不符合题意，舍去； ∴的值为． 20. 如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1； （2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2； （3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长． 【答案】 （1）如答图，连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且A1C1=AC，同理找到点B1，分别连接三点，△A1B1C1即为所求． （2）如答图，分别将A1B1，A1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到B2，C2，连接B2C2，△A1B2C2即为所求． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离． （2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度． （3）利用勾股定理和弧长公式求点B经过（1）、（2）变换的路径总长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵，， ∴点B所走的路径总长=． 【点睛】本题考查了网格作图和勾股定理、弧长计算，解题关键是准确作图，熟练计算． 21. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：连接OC，如图， ∵， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC//AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接OC，由根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC//AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连接BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠BOC=×180°=60°， ∴∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，CD=， ∴AC=2CD=， 在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2， 即（）2+（AB）2=AB2， ∴AB=8， ∴⊙O的半径为4． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系，熟练掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 22. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【答案】（1）y=﹣20x+1600； （2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）超市每天至少销售粽子440盒． 【解析】 【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，==； （2）P===， ∵x≥45，a=﹣20＜0， ∴当x=60时，P最大值=8000元， 即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）由题意，得=6000， 解得，， ∵抛物线P=的开口向下， ∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润， 又∵x≤58， ∴50≤x≤58， ∵在中，＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒． 【点睛】考点：二次函数的应用． 五、解答题（共2小题，23题12分，24题14分） 23. 《桥梁的设计》 问题的驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽（如图），称为跨度，桥面最高点到的距离称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 （1）如图，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． （2）如图，设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 （3）如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁． 【答案】任务一：（1）该圆弧所在圆的半径为米； （2）； 任务二：（3）能顺利通过圆弧型拱桥，货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由： 设计成抛物线型， 以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，如图所示， ， 设抛物线的解析式为， 将抛物线经过点和点代入解析式， 可得 解得 抛物线的解析式为； 任务二：在圆弧形状的拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，如图所示， ， 连接，则， ， 在中， ， ， 货船能顺利通过圆弧型拱桥； 在抛物线型拱桥中， 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 答：能顺利通过圆弧型拱桥，货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． 任务一：方案一，设弧所在的圆心为，为弧的中点于点，延长经过点，设的半径为米，利用勾股定理求出即可； 方案二，设抛物线的解析式为，把点和点，代入即可求出抛物线式； 任务二：在圆弧型拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，然后由勾股定理求出，即可判断；在抛物线型拱桥中，把代入式求出的值即可判断． 【详解】解：任务一：设计成圆弧型， 设弧所在的圆心为，为弧的中点于点，延长经过点，设的半径为米， 方案一，， ， 在中， ， 即， 解得， 该圆弧所在圆的半径为米； 方案二，略 24. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线于点M． ①当时，点P为抛物线上一动点，作平行于y轴交直线于点Q，若满足，求点P的横坐标； ②连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）①点的横坐标为或或1或4；②点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先确定点，的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）①首先根据点，的坐标，易得是等腰直角三角形，即，进而证明为等腰直角三角形，可知，故，再设，则，然后结合求解即可；②首先利用待定系数法确定直线的解析式；过点A作于，过点N作轴于H，作的垂直平分线交于，交于E，交轴于点F，结合①易得为等腰直角三角形，再证明，利用相似三角形的性质解得，进一步确定点坐标，利用待定系数法确定直线的解析式，联立直线和直线的解析式并求解，可得的坐标；然后在直线上作点关于点的对称点，易知，设，进一步确定的坐标即可． 【小问1详解】 解：对于直线， 当时，可知，则， 当时，可知，解得，则， 把，代入， 可得，解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 ①，， ， 是等腰直角三角形，则， 抛物线的对称轴为直线， ， ∴， 于点，如下图， 为等腰直角三角形， ， ， 设，则， ， 或， 解得，或，， 点的横坐标为或或1或4； ②设直线的解析式为, 将点,代入， 可得,解得， ∴直线的解析式为， 过点A作于，过点N作轴于H，作的垂直平分线交于，交于E，交轴于点F，如下图， 则， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵,，点E为线段中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式，可得， 解得，则； 在直线上作点关于点的对称点，如图所示， 则，设， ∵， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，正确理解题意，利用分情况讨论的思想分析问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $