精品解析：江西省新余市第一中学2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题

2025-2026年学年上学期初二年级第二次段考数学试卷 时间：2025年12月 注意事项： 1．满分120分，考试时间120分钟 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查轴对称图形的识别．轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形，据此解答即可． 【分析】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选D． 2. 一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：根据三角形的稳定性可固定窗户． 故选：A． 3. 若点，关于y轴对称，则（ ） A. 8 B. C. 1 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】∵点，关于y轴对称， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 4. “囧（jiǒng）”本义为光明，后来在网络上成为一种流行的表情符号，被赋予“郁闷、悲伤、无奈、尴尬、困窘”之意．如图，一张边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．用含有x、y的式子表示图中“囧”（阴影部分）字的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、代数式的求值，理解题意正确列出代数式是解题的关键． 根据题意即可表示出图中“囧”字的面积． 【详解】解：由题意得，图中“囧”字的面积， 图中“囧”字的面积为， 故选：A． 5. 如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形. 先求出，通过含的直角三角形性质得，，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤根据，可得，进而可得，故当时结论成立，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取， ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于， ，， ， ， ， . 故④正确. ∵，， ∴， ∴， ∴当时结论才成立， ∴不一定等于，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 二、填空题 7. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为2或腰长为4两种情况． 【详解】解∶当腰长是2时，则三角形的三边是2，2，4，不满足三角形的三边关系； 当腰长是4时，三角形的三边是4，4，2，，能构成三角形，此时三角形的周长， 故答案为∶． 8. 若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算， 利用同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：2． 9. 如果是一个完全平方式，那么_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或． 故答案为：3或． 10. 在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长到E，使，连接，证明，得到，在中，，即可求出答案． 此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，在三角形中，若，，延长到E，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 11. 如图，已知，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得是的垂直平分线， ， ， 的周长． 故答案为：． 12. 如图，是平分线上的一点，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，分类讨论若，若，若，三种情况即可求解； 【详解】解：由题意得：； 若，如图所示： 则， ∴； 若，如图所示： 则； 若，如图所示： 则， ∴； 故答案为：或或 三、解答题 13. （1）分解因式：； （2）计算：． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解、整式的混合运算等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）直接提取公因式即可解答； （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2） ． 14. 滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已知，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， 所以． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用“边角边”证明三角形全等是解题的关键． 直接运用“边角边”证明三角形全等即可． 【详解】略 15. 下面是琪琪化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第一步 · 第二步 （1）琪琪的化简过程从第___________步开始出现错误； （2）请对原整式进行化简，并求当时原整式的值． 【答案】（1）一 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法运算，完全平方公式，求代数式的值； （1）根据单项式乘多项式法则、完全平方公式、去括号及合并同类项法则进行检查即可作出判断； （2）由单项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项即可，最后代值计算． 【小问1详解】 解：检查知，在第一步去括号时，没有变号，导致错误； 故答案为：一； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 16. 已知和都为等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，当时，作的中线； （2）如图2，当是的中点时，作的中线． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2） 如图：即为所求． ， 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形的中线等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接相交于点D，连接交于E，即是的中线； （2）如图：连接相交于点G，连接交于F，即是的中线； 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线为的垂直平分线，即是的中线． 【小问2详解】 解：如图：设与相交于H， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴是的中线， 由三角形三条中线在三角形内相交于一点，即是的中线． 17. 如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E． 求证：DE=EF． 【答案】 证明：∵AD是△ABC的角平分线，AF平分△ABC的外角， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵DF∥BA， ∴∠4=∠ADE，∠1=∠F， ∴∠3=∠ADE，∠2=∠F， ∴DE=EA ，EF=EA， ∴DE=EF. 【解析】 【详解】试题分析：根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠3=∠ADE、∠2=∠F，然后得到DE=EA、EF=EA，从而证得结论． 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． （3）在轴上作出一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1） 即为所求；，，． （2） （3）如图，点P即为所求 ； 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、点的坐标、割补法求三角形的面积、两点之间线段最短等知识点，根据成轴对称图形的特征进行求解是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定的对应点、、的位置，再依次连接即可得出；然后写出、、的坐标即可； （2）运用割补法列式计算即可； （3）如图：连接交y轴于一点，即为点P，此时最小，再观察坐标系，写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，； 【小问3详解】 解：因为， 所以连接交y轴于点P，此时最小，点P即为所求， 观察平面直角坐标系可得． 19. 规定两数、之间的一种运算，记作，；如果，那么，，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①___________， ___________； ②若，则=___________； （2）若，试证明： 【答案】（1）①2，5；②2 （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题目所给新定义的运算法则，即可进行解答； （2）根据题意可得，结合同底数幂的乘法运算法则，即可求证． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，， 故答案为：2，5； ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，乘方的意义，同底数幂的乘法，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则． 20. 【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第49页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，，点在上，，，垂足分别为，，求证：． 【定理证明】结合图1，写出“角平分线的性质定理”的证明过程． 【定理应用】（1）如图2，的周长是12，分别平分和，于点，若，则的面积为_____． （2）如图3，，点在上，点、分别在和上，连接和，若，求证：； 【答案】 定理证明：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 定理应用：（1）12； （2）证明：过点P作于点D，于点E， 则， ∵ ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】定理证明：由垂直可得，然后证明，进而问题可求证； 定理应用： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解； （2）过点P作于点D，于点E，则，，由已知与平角性质可得，即得，． 【详解】[定理证明]：略 [定理应用]： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，如图所示： ∵，分别平分和，于点D， ， ∴， ∴ ， ∵的周长是12， 即， ∴； 故答案为：12；　 （2）略 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．熟练掌握全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理证明和运用，三角形面积公式，平角性质，是解题的关键． 21. “手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形．如图，，，， （1）如图①求证：； （2）如图②，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中，， ； （2） 解：是等腰直角三角形， 理由如下： ， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质． (1)根据可证，利用可证； (2)根据可证，，根据中点的定义可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片______张，号卡片______张，号卡片_____张． （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求，求的值． （3）两个正方形，如图3摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1）3，2，7 （2）， （3）8 【解析】 【分析】（1）计算，再根据三个纸片的面积可求解； （2）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出三者的关系；设，，则，，利用等量关系求出即可求解； （3）根据图形得到，,利用完全平方公式分别求得和即可求解. 【小问1详解】 解： ， 又种纸片的面积为，种纸片的面积为，种纸片的面积为， ∴需种纸片3张，种纸片2张，种纸片7张， 故答案为：3，2，7； 【小问2详解】 解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ∴， 故答案为：； 设，， 则，， ∵，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意和图形知，，则， 则，则， ∴， ∴或（舍去）， 阴影部分的面积和为 ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． 23. （1）观察推理：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，、，垂足分别为点、．求证：． （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至（即，），连接，求的面积 （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（即，），设点运动的时间为秒． ①当__________秒时，． ②若要使点恰好落在射线上，请在备用图中画出符合要求的图，并求点运动的时间 【答案】 （1）证明：∵、， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）8； （3）①1； ②如图， 4 【解析】 【分析】（1）先利用等角的余角相等得到 ，则可根据“”证明 ； （2）过点作于D，如图，先证明得到，然后根据三角形面积公式计算； （3）①证明出是等边三角形，得到，，是等边三角形，，即可求解； ②如图，利用旋转的性质得 ， ，再证明 得到，则，然后计算点P运动的时间t． 【详解】（1）略 （2）过点作于D，如图， ∵将斜边绕点逆时针旋转至， ∴，， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，由题意得：，则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； ②∵， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P运动的时间． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的全等的判定和性质，等边三角形的性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年学年上学期初二年级第二次段考数学试卷 时间：2025年12月 注意事项： 1．满分120分，考试时间120分钟 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业 2. 一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 3. 若点，关于y轴对称，则（ ） A. 8 B. C. 1 D. 7 4. “囧（jiǒng）”本义为光明，后来在网络上成为一种流行的表情符号，被赋予“郁闷、悲伤、无奈、尴尬、困窘”之意．如图，一张边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．用含有x、y的式子表示图中“囧”（阴影部分）字的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题 7. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为_________． 8. 若，，则_____． 9. 如果是一个完全平方式，那么_____． 10. 在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 11. 如图，已知，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，则的周长为______． 12. 如图，是平分线上的一点，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为___________． 三、解答题 13. （1）分解因式：； （2）计算：． 14. 滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已知，．求证：． 15. 下面是琪琪化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第一步 · 第二步 （1）琪琪的化简过程从第___________步开始出现错误； （2）请对原整式进行化简，并求当时原整式的值． 16. 已知和都为等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，当时，作的中线； （2）如图2，当是的中点时，作的中线． 17. 如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E． 求证：DE=EF． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． （3）在轴上作出一点，使最小，并写出点的坐标． 19. 规定两数、之间的一种运算，记作，；如果，那么，，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①___________， ___________； ②若，则=___________； （2）若，试证明： 20. 【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第49页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，，点在上，，，垂足分别为，，求证：． 【定理证明】结合图1，写出“角平分线的性质定理”的证明过程． 【定理应用】（1）如图2，的周长是12，分别平分和，于点，若，则的面积为_____． （2）如图3，，点在上，点、分别在和上，连接和，若，求证：； 21. “手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形．如图，，，， （1）如图①求证：； （2）如图②，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 22. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片______张，号卡片______张，号卡片_____张． （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求，求的值． （3）两个正方形，如图3摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和． 23. （1）观察推理：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，、，垂足分别为点、．求证：． （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至（即，），连接，求的面积 （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（即，），设点运动的时间为秒． ①当__________秒时，． ②若要使点恰好落在射线上，请在备用图中画出符合要求的图，并求点运动的时间 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $