第1章 四边形【章末复习】 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件系统梳理了四边形单元核心知识，涵盖多边形、平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质、判定，通过知识框架图、性质判定对比表及图形关系转化图，构建知识点间逻辑联系，形成完整知识网络。 其亮点在于设计动手操作（如折纸验证等边三角形）、例题变式（如正方形旋转中线段关系证明）等活动，结合几何直观与推理意识，辅以分层课堂练习（基础填空到综合证明），帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

湘教版(新教材）数学8年级下册公开课精做课件 第1章 四边形 章末复习 知识结构 图形与几何 图形的性质 图形的变化 图形与坐标 点、线、面、角 相交线与平行线 三角形 四边形 圆 定义、命题、定理 中心对称和中心对称图形 三角形的中位线 多边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 概念 内角和、外角和 性质 判定 探究新知 1. （1） n 边形的内角和公式是什么？ 这个公式是 如何推导出来的？ (n – 2)·180° 将 n 边形转化成三角形进行推导 思考回顾 探究新知 1. （2）任意多边形的外角和等于多少？ 由于多边形的外角和等于360°，是一个固定的值，求多边形的边数和内角和往往可以从外角和入手，使计算更简便. n 边形的外角和等于 360°. 探究新知 2. （1）平行四边形有哪些性质？ 平行四边形的对边相等、对角相等.（性质定理1） 平行四边形的对角线互相平分.（性质定理2） 平行四边形是中心对称图形. 探究新知 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.（定义） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（判定定理1） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（判定定理2） 对角线互相平分的四边形是平行四边形.（判定定理3） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 2. （2）如何判定一个四边形是平行四边形？ 探究新知 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形 3. 梯形的定义是什么？ A B C D 互相平行的两边叫作梯形的____. 底 不平行的两边叫作梯形的_____. 腰 两底的公垂线段叫作梯形的_______. 高 通常把较短的底叫作_______，较长的底叫作_____. 上底 下底 上底 下底 腰 腰 高 探究新知 4. （1）中心对称的基本性质是什么？ 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 平行四边形、正方形都是中心对称图形. 它们的对称中心是对角线的交点. （2）平行四边形、正方形是中心对称图形吗？它们的对称中心是什么？ 探究新知 5. 三角形的中位线定理是什么？ 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 如图，△ABC中，AD = DB，AE = EC， 则有__________，____________. A B C D E DE // BC DE = BC 1 2 探究新知 6. 矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些特殊性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？ 探究新知 边 角 对角线 对称性 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行 且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称 对边平行 且相等 四个角 都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称 中心对称 对边平行， 四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角 轴对称 中心对称 几种特殊四边形的性质 对边平行， 四条边都相等 四个角 都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等， 每条对角线平分一组对角 轴对称 中心对称 探究新知 特殊四边形的常用判定方法 平行 四边形 （1）两组对边分别平行； （2）两组对边分别相等； （4）两条对角线互相平分； （5）两组对角分别相等 矩形 （1）有三个角是直角； （2）有一个角是直角的平行四边形； （3）两条对角线相等的平行四边形 菱形 （1）四条边都相等； （2）有一组邻边相等的平行四边形； （3） 两条对角线互相垂直的平行四边形 正方形 （2）有一组邻边相等的矩形； （3）有一个角是直角的菱形 平行且相等； （1）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形； （3）一组对边 探究新知 平行四 边形 　 矩形 　 菱形 　 正方形　 四边形 a b c c b a.两组对边分别平行 b.有一个角是直角 c.一组邻边相等 探究新知 7. 矩形、菱形、正方形是轴对称图形吗？若是，它们的对称轴是什么？ 它们都是轴对称图形. 过每一组对边中点的直线是矩形的对称轴； 两条对角线所在的直线是菱形的对称轴； 两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是正方形的对称轴. 探究新知 巩固复习 1. 作出菱形 ABCD 关于 C 点成中心对称的图形. 作法：（1）延长 DC 到点 D′， 使 D′C = DC ， 延长 AC 到 A′ 使 A′C = AC ， 延长 BC 到 B′C，使B′C = BC. （2）连接 A′B′ ， A′D′ ， 则菱形 A′B′CD′ 就是所求作的图形. 探究新知 2.设矩形的一条对角线长为2cm，在由两条对角线组成的对顶角中，有一组是120°，求矩形的周长. 解：如图，在矩形 ABCD 中，AC = 2 cm，∴AO = 1 cm. ∵∠BOC = 120°，∴∠AOB = 180°–∠BOC = 60°. ∵ AC = BD， OA = AC， OB = BD， ∴ OA = OB，∴△AOB 是等边三角形. ∴ BO = AO = AB = 1 cm. ∵∠ABC = 90°，∴在 Rt△ABC 中， 由勾股定理，得 BC = ∴矩形 ABCD 的周长为 探究新知 3. 如图，两个边长为 2 的正方形重叠在一起，O 是其中一个正方形的中心，求阴影部分的面积. 解：如图所示，连接 AC，BD 交于点 O. 在正方形 ABCD 中， ∵∠DOC = 90°， ∴∠COF +∠DOF = 90°. 在正方形 A′OC′D′ 中，∠A′OC′ = 90°， ∴ ∠DOE +∠DOF = 90°. ∴ ∠COF =∠DOE. 又∠OCF =∠ODE = 45°，OC = OD， ∴ △OCF ≌△ODE (ASA)， 探究新知 4. 准备一张A4纸，按下图操作： 你能说出按上述步骤可以折出一个等边三角形的道理吗？ （1）把矩形ABCD对折，得折痕MN. （2）把A折向MN，得Rt△AEB. （3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得等边三角形EBF. 探究新知 解：∵ DE // BC， ∴ ∠DEF =∠EFB. ∵ M，N 是矩形 ABCD 的边 AB， CD 的中点， ∴ EA = AF. ∵ ∠BAE = 90°，∴ ∠BAF = ∠BAE = 90°. 在△BAE 和△BAF 中 ， AE = AF，∠BAE = ∠BAF ， AB = AB. ∴ △BAE≌△BAF(SAS). ∴ ∠BEA = ∠BFE. 又∠DEF =∠EFB ， ∴ ∠BEA = ∠DEA. 由于以 E 为顶点在 ED 边及 ED 边的反向延长线上的三个角构成一个平角且这三个角相等， ∴这三个角均为60°，∴△EBF 为等边三角形. 探究新知 1.（1）是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的 4 倍？ （2）是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的 4 倍？ 解：（1）设这个多边形的边数为 n. 根据题意，得 解得 n = 10. 所以正十边形的每个内角都等于相邻外角的4倍. 【选自教材P47 复习题1 第1题】 （2）不存在. 课堂练习 【选自教材P47 复习题1 第2题】 2. 填写下表，在空格中用“√”表示图形具有的性质. 性质 对边相等 对边平行 四边相等 对角相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 对角线相等 平行四边形 矩形 菱形 正方形 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 课堂练习 3. 点 E，F 是 □ ABCD 的对角线 AC 上的不同两点， CE = AF，线段 BE 与 DF 有怎样的关系？ 解：如图所示， BE // DF 且 BE = DF. 【选自教材P48 复习题1 第3题】 课堂练习 4. 如图，□ ABCD 的对角线相交于点 O，EF 经过点 O，分别与边 AD，BC 相交于点 E，F，点 M，N 分别是线段 OB，OD 的中点．求证： 四边形 EMFN 是平行四边形. 证明：在 △AOE 和△COF 中， ∵AO = CO，∠EAO = ∠FCO，∠AOE = ∠COF， ∴△AOE ≌ △COF . ∴OE = OF. 又 OM = OB，ON = OD，OB = OD， ∴OM = ON. ∵ MN，EF 是四边形 EMFN 的对角线， ∴ 四边形 EMFN 为平行四边形. 【选自教材P48 复习题1 第4题】 课堂练习 5. 下列图形中不是中心对称图形的有（ ） 【教材P48 复习题1 第5题】 C 课堂练习 6. 如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 AC 的中点，E，F 分别是 AD，BC 的中点，AB = DC，∠PEF = 18°，求∠EPF 的度数. 解：∵E，P 分别是△ACD 的边 AD，AC 的中点， ∴ PE = CD. 同理 PF = AB. 又 AB = CD，∴PE = PF. ∴ ∠PFE = ∠PEF = 18°. ∴∠EPF = 180°– 2×18°= 144°. 【选自教材P48 复习题1 第6题】 课堂练习 7. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 O 是 AC 的中点，点 E，F 在 AC 上，且 AE = CF，DF // EB. （1）求证：△BOE≌△DOF. 解：（1）∵O 是 AC 的中点， ∴AO = AC. ∵AE = CF，∴OE = OF. 又∵DF // BE，∴∠ODF =∠OBE. 在△BOE 与△DOF 中 ∠OBE =∠ODF， ∠BOE =∠DOF，OE = OF， ∴ △BOE≌△DOF（角角边）. 【选自教材P48 复习题1 第7题】 课堂练习 7. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 O 是 AC 的中点，点 E，F 在 AC 上，且 AE = CF，DF // EB. 【选自教材P48 复习题1 第7题】 （2）若 OD = AC，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由. 解：（2）四边形 ABCD 是矩形. 理由如下： 由（1），△BOE≌△DOF，∴OB = OD，即 O 是 BD 的中点. 又 O 是 AC 的中点，∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ OD = AC，即 AC = 2OD = BD， ∴AC = BD. ∴四边形ABCD是矩形. 课堂练习 8. 两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是矩形吗？为什么？ 【选自教材P48 复习题1 第8题】 解：是矩形. 如图，∵EF // MN， ∴∠FAC +∠NCA = 180°. 又∠1 = ∠FAC，∠2 = ∠NCA， ∴∠1 +∠2 = (∠FAC +∠NCA) = 90°. ∴∠D = 90°. 同理可得 ∠B = 90°. 又∠BAD = ∠1 +∠BAC = ∠FAC + ∠EAC = ×180°= 90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. 课堂练习 （3） cm2. 9. 如图， 把边长为 2 cm 的等边△ABC 绕边 AC 的中点 O 旋转 180°，得到△CDA. （1） 四边形 ABCD 是什么样的四边形？ 试说明理由. （2） 求四边形 ABCD 的两条对角线的长度. （3） 求四边形 ABCD 的面积. 【选自教材P48 复习题1 第9题】 （1）是菱形，因为 AB = BC = CD = DA. （2）对角线 AC = 2 cm， BD = cm. 课堂练习 10. 如图，四边形 ABCD 是正方形， △EBC 是等边三角形，连接 AE，DE，求∠AED 的度数. 【选自教材P49 复习题1 第10题】 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC，∠ABC = 90°. ∵ △EBC是等边三角形， ∴EB = BC = EC，∠EBC =∠BEC = 60°. ∴ EB = AB，∠ABE = 90°– 60°= 30°. ∴∠BAE = ∠BEA = 75°. 同理 ∠CED = 75°. ∴∠ AED = 360°– 75°– 75°– 60°= 150°. 课堂练习 11. 一条直线将一个矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N，则 M + N 不可能是（ ） （A）360° （B）540° （C）720° （D）630° 【选自教材P49 复习题1 第11题】 D 解析： 直线将四边形分割成两个三角形，其内角和为 360°； 分割成一个三角形，一个四边形，它们的内角和为 540°； 分割成两个四边形，它们的内角和为 720°； 分割成一个三角形，一个五边形，它们的内角和为 720°. 所以不可能得到 630°. 课堂练习 12. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是边 AB，CD 上的一点，且 BE = DF，BF 与 CE 相交于点 M，DE 与 AF 相交于点 N，EF 与 MN 互相平分吗？为什么？ 【选自教材P49 复习题1 第12题】 解： EF 与 MN 互相平分. 理由如下： ∵ BE = DF， BE // DF， ∴ 四边形 BFDE 为平行四边形. ∴ BF // DE. ∵ AE = CF， AE // FC， ∴四边形 AECF 是平行四边形. ∴ AF // EC. ∴ 四边形 EMFN 是平行四边形. 因此 EF 与 MN 互相平分. 课堂练习 13. 如图，矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D 关于点 D 成中心对称. 连接 AC，AC′，A′C′，A′C，求证：四边形 ACA′C′ 是菱形. 【选自教材P49 复习题1 第13题】 证明：∵ 矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D 关于点 D 成中心对称， ∴ A′D = AD ， C′D = CD. ∴ 四边形 ACA′C′ 是平行四边形. 又∵ ∠ADC = 90°，即 AA′⊥CC′， ∴ 四边形 ACA′C′ 是菱形(对角线互相垂 直的平行四边形是菱形). 课堂练习 14. （多选题）如图，直线 l1 // l2 ，点 A，B 是直线 l2 上两定点，点 C 是直线 l1 上一动点，若点 E，F 分别为 CA，CB 的中点，则下列各值不随点 C 的移动而改变的是（ ） （A）线段 EF 的长 （B）△CEF 的周长 （C）△CEF 的面积 （D）∠ECF 的大小 【选自教材P49 复习题1 第14题】 AC 课堂练习 15. 已知 E，F，G，H 分别是□ ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 是什么四边形？若把条件中的□ ABCD 依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形 EFGH 依次是什么四边形？试说明理由. 【选自教材P49 复习题1 第15题】 课堂练习 解：（1）当 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 各边的中点时，得到四边形 EFGH 是平行四边形. 理由如下： 如图，连接对角线 BD， 则 EH // BD， EH = BD. 同理， FG // BD，FG = BD. 所以 EH // FG，EH = FG. 故四边形 EFGH 是平行四边形. A E B D G C H F 课堂练习 （2）当四边形 ABCD 是矩形时，四边形 EFGH 是菱形. 理由： 如图，由于四边形 ABCD 是矩形， 可得 △AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH. 从而 EH = EF = GF = GH， 所以四边形 EFGH 是菱形. 课堂练习 （3）当四边形 ABCD 是菱形时，四边形EFGH 是矩形. 理由：由（1）得，四边形 EFGH 是平行四边形. 如图，连接 EG，FH，可得四边形 AEGD 是平行四边形， 所以 EG = AD. 同理 FH = AB. 由 AB = AD，得 EG = FH， 所以四边形 EFGH 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 课堂练习 （4）当四边形 ABCD 是正方形时，四边形 EFGH 也是正方形. 理由：由（2）（3）可知四边形 EFGH 既是矩形，又是菱形， 故四边形 EFGH 是正方形. 课堂练习 【选自教材P50 复习题1 第16题】 16. 在梯形 ABCD 中，AB // DC，∠ADC +∠BCD = 90°，且 DC = 2AB. （1）如图，分别以 DA，AB，BC 为边向梯形 ABCD 外作正方形，正方形的面积分别为 S1，S2，S3，请写出并证明 S1，S2，S3 之间的数量关系. 课堂练习 解：（1）S1 + S3 = S2. 证明如下： 过点 B 作 BE // AD 交 CD 于点 E. ∵ AB // DC 且 BE // AD，∴四边形 ABED 是平行四边形， ∴ AB = DE，AD = BE. ∵ DC = 2AB，∴ CE = DC − DE = 2AB − AB = AB. ∵ AD // BE，∴∠ADC =∠BEC， 又∠ADC +∠BCD = 90°， ∴∠BEC +∠BCD = 90°， ∴∠EBC = 90°. 在 Rt△BCE 中，BE2 + BC2 = CE2 ∴ AD2 + BC2 = AB2 又∵ S1 = AD2，S2 = AB2，S3 = BC2，∴ S1 + S3 = S2​. 课堂练习 解：S1 + S3 = S2. 证明如下： 由（1）得，AD2 + BC2 = AB2. （2）若分别以 DA，AB，BC 为边向梯形 ABCD 外作正三角形，正三角形的面积分别为 S1，S2，S3，请写出并证明 S1，S2，S3 之间的数量关系. 即S1 + S3 = S2. 课堂练习 （3）若分别以 DA，AB，BC 为直径向梯形 ABCD 外作半圆，半圆的面积分别为 S1，S2，S3，请写出并证明 S1，S2，S3 之间的数量关系. 解：S1 + S3 = S2. 证明如下： 由（1）得，AD2 + BC2 = AB2. 即S1 + S3 = S2. 课堂练习 17. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上的动点 （与点 A，C 不重合），连接 BE. 将射线 BE 绕点 B 顺时针 旋转 45°，交直线 AC 于点 F. （1）依题意补全图形. （2）小华通过观察、实验，发现线段 AE，FC， EF 存在以下数量关系：AE² + FC² = EF². 小华想 证明这个发现成立，于是与同学们进行了交流讨 论，得到以下两种思路： 思路1：将线段 BF 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到线段 BM，要证 AE，FC，EF 之间的数量关系，只需证 AE，AM，EM 满足对应的数量关系即可. 思路2：将△ABE 沿 BE 翻折，得到△NBE，要证 AE，FC，EF 之间的数量关系，只需证 EN，FN，EF 满足对应的数量关系即可. 请从上述两种思路中选择一种进行证明. F 【选自教材P50 复习题1 第17题】 课堂练习 解：（2）思路1 如图所示，证明如下： 由题意可知，BF=BM，∠EBF=45°，∠MBF=90°. ∴∠EBM=∠MBF –∠EBF=90°– 45°=45°. 在△EBF与△EBM中， ∵BF=BM，∠EBF=∠EBM，BE=BE， ∴ △EBF≌△EBM（边角边）. ∴EF=EM ∵四边形ABCD为正方形，且∠MBF=90°， ∴∠MBA=∠FBC=90°–∠ABF，AB=CB 在△ABM与△CBF中， ∵BM=BF，∠MBA=∠FBC，AB=CB， ∴ △ABM≌△CBF（边角边）. ∴AM=CF，∠BAM=∠BCF=45° ∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=45°+45°=90° ∴△MAE为直角三角形，∴AE2+AM2=EM2 ∴AE2+FC2=EF2 课堂练习 解：（2）思路2 如图所示，证明如下： 由题意可知， AE=EN，AB=NB，∠BAE=∠BNE=45°， ∠ABE=∠NBE，∠EBF = 45°. ∴∠ABE + ∠FBC=∠ABC –∠EBF =45°. ∵∠ABE=∠NBE ，∴∠NBE+∠FBC=45°， 而∠NBE+∠NBF=∠EBF=45° ∴∠NBF= ∠CBF. ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CB，而AB=BN，∴NB=CB. 在△NBF与△CBF中， ∵NB=CB，∠NBF=∠CBF，BF=BF， ∴ △NBF≌△CBF（边角边）. ∴NF=CF，∠BNF=∠BCF=45° ∴∠ENF=∠ENB+∠BNF=45°+45°=90° ∴△ENF为直角三角形，∴EN2+FN2=EF2 ∴AE2+FC2=EF2 课堂练习 谢谢观看！ $