1.6.2 菱形的判定 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦菱形的判定，从回顾菱形定义入手，通过“用4支等长铅笔组成四边形”的探究活动引出判定定理1，再结合“对角线互相垂直的平行四边形”的探究导出定理2，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，通过动手操作和问题探究抽象菱形属性，培养几何直观与空间观念。以数学思维展开推理，如证明判定定理时的逻辑推导，发展推理能力。以数学语言表达几何关系，如作图题和证明题的规范表述，提升应用意识。学生能在探究中深化理解，教师可借助丰富例题习题提高教学效率。

湘教版(新教材）数学8年级下册公开课精做课件 第1章 四边形 1.6.2 菱形的判定 （1）菱形的定义. （2）除了用菱形的定义来判断一个四边形是否是菱形之外，还有其他判别方法吗？ 一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 情景导入 如图，用 4 支长度相等的铅笔首尾相接组成一个四边形，这个四边形是菱形吗？ 你能试着证明吗？ 课堂练习 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：在四边形 ABCD 中， 因为 AD = BC， AB = DC， 所以 四边形 ABCD 是平行四边形. 又因为 AB = AD，由菱形的定义得， 四边形 ABCD 是菱形. 菱形的判定定理1： 四条边都相等的四边形是菱形. A B D C 课堂练习 例2 如图，在四边形 ABCD 中，线段 BD 垂直平分 AC，且相交于点 O，∠1 =∠2. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证明 因为线段 BD 垂直平分AC ， 所以 BA = BC，DA = DC，OA = OC. 在△AOB 和△COD 中， 因为∠1 =∠2，∠AOB =∠COD，OA = OC. 所以 △AOB≌△COD（角角边），从而 AB = CD， 因此 AB = BC = CD = DA. 于是四边形 ABCD 是菱形(四条边都相等的四边形是菱形). 课堂练习 我们已经知道，菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？两条对角线互相垂直的平行四边形呢？ 两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. A B C D O 课堂练习 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形. D A B C O 你能试着证明吗？ 我们已经知道，菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？两条对角线互相垂直的平行四边形呢？ 课堂练习 如图，在□ ABCD中，AC⊥BD，垂足为O. 求证： □ ABCD是菱形. 证明：在□ ABCD中，AC⊥BD，垂足为O， 则 OA= OC， 于是直线 BD 是线段 AC 的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DA= DC. 于是□ ABCD 是菱形. 菱形的判定定理2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. D A B C O 课堂练习 例3 如图，在□ ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长. 因此 AB = AD = 5 . 解 因为四边形 ABCD 为平行四边形， 所以△DAO 是直角三角形，∠DOA=90°， 即 DB⊥AC. 于是□ ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 又因为 AD = 5，满足 AD2 = OA2 + OD2， 课堂练习 随堂练习 能判定一个四边形是菱形的条件是（ ） A. 对角线相等且互相垂直 B. 对角线相等且互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 D 课堂练习 2. 如图，在□ ABCD 中， 对角线 AC， BD 相交于点 O， 添加下列条件不能判定 □ ABCD 是菱形的是（ ） A. AC⊥BD B. AB＝BC C. AC＝BD D. ∠1＝∠2 C 课堂练习 3. 画一个菱形，使它的两条对角线的长度分别为 4 cm，3 cm. 作法示例：作线段 AC = 4 cm，作 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 O. 以点 O 为圆心，1.5 cm 为半径作圆，交垂线于点 D，点B，则 BD = 3 cm，且 AC 垂直平分 BD. 连接 AB，BC，CD，AD. 【选自教材P38 练习 第1题】 课堂练习 证明：在△BON和△DOM 中， ∠BON =∠DOM = 90°，BO = DO， ∠DBN = ∠BDM， ∴ △BON≌△DOM. ∴OM=ON. ∵BD，NM 是四边形 BNDM的两条对角线且互相平分， ∴四边形 BNDM 是平行四边形. 又∵MN⊥BD， ∴四边形 BNDM 是菱形. 4. 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 MN⊥BD，分别交 AD，BC 于点M，N. 求证：四边形 BNDM 是菱形. 【选自教材P38 练习 第2题】 课堂练习 解：相等. 理由：因为菱形的每条对角线平分一组对角，而角平分线上的点到角两边的距离相等. 【选自教材P38 习题1.6 第1题】 1.菱形的对角线的交点到一组邻边的距离相等吗？为什么？ 考试考法 2. 四边形 ABCD 是菱形，边长为 2 cm， ∠BAD = 60°，求菱形 ABCD 的两条对角线的长度以及它的面积. 【选自教材P38 习题1.6 第2题】 考试考法 ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=AD=BC=CD. 又∵∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形. ∵菱形 ABCD 的边长为2 cm，∴ BD =2 cm， ∴ OD = BD = ×2=1 (cm). 在 Rt△AOD 中，由勾股定理， 得 ∴ AC = 2OA = cm. 解：∵四边形ABCD是菱形， 考试考法 3. 如图，在△ABC 中，AB =AC，点 D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点. （1）求证：四边形 ADEF 是菱形. （2）若 AB = 12 cm，求菱形 ADEF 的周长. 【选自教材P38 习题1.6 第3题】 考试考法 （1）证明：∵ D，E，F 分别是 AB， BC， AC 的中点， ∴ DE， EF 是△ABC 的中位线. ∴ DE // AC， DE = AC， EF // AB， EF = AB. ∴四边形 ADEF 是平行四边形. 又∵AB =AC，∴ DE = EF. ∴ □ ADEF 是菱形 (一组邻边相等的平行四边形是菱形). （2）解： 若AB =12 cm，则 EF = AB = 6 cm. ∴菱形ADEF 的周长为 4EF = 4×6= 24（cm）. 考试考法 解：一定是菱形. 理由：因为四边形 ADBC 的四条边相等，且四条边相等的四边形一定是菱形. 4. 小明在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的： 如图，分别以点A，B为圆心，以大于 AB的定长为半 径画弧，两弧相交于C，D，连接CD，则直线CD即为所求. 根据他的作图方法，四边形ADBC一定是菱形吗？试说明理由. 【选自教材P38 习题1.6 第4题】 考试考法 5. 如图，把等腰三角形 ABC 绕底边 AC 的中点 O 旋转180°，得到△CDA，试问： 四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？ 【选自教材P38 习题1.6 第5题】 解：是菱形. 理由：∵△CDA 是 △ABC 的像， ∴ AB = CD， AD = BC. 又∵△ABC 为等腰三角形，∴AB =BC， ∴ AB = BC = CD = DA， ∴四边形 ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形). 考试考法 证明：如图，连接 BD. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD = AB，AD // BC. ∴∠A =180°–∠ABC = 180°– 120°= 60°. ∴△ABD 是等边三角形. ∵ BE⊥AD，∴ AE = DE. A B C D E 6. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 120°，作 BE⊥AD，垂足为点 E. 求证：AE = DE. 【选自教材P39 习题1.6 第6题】 考试考法 7. 如图，点 E，F 分别在□ ABCD 的边 AB，BC 上，AE = CF，连接 DE，DF. 请从条件 ①∠1 =∠2，②DE = DF，③∠3 =∠4 中，选择一个作为已知条件， 使□ ABCD成为菱形. （1）你选择的条件是________（填序号）； （2）选择条件后，请证明□ ABCD 是菱形. 【选自教材P39 习题1.6 第7题】 D A C B E F 1 2 3 4 ① 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A=∠C. 又∵∠1=∠2，AE=CF， ∴△ADE≌△CDF(角角边). ∴AD =CD. ∴ □ ABCD是菱形. 考试考法 7. 如图，点 E，F 分别在□ ABCD 的边 AB，BC 上，AE = CF，连接 DE，DF. 请从条件 ①∠1 =∠2，②DE = DF，③∠3 =∠4 中，选择一个作为已知条件， 使□ ABCD成为菱形. （1）你选择的条件是________（填序号）； （2）选择条件后，请证明□ ABCD 是菱形. 【选自教材P39 习题1.6 第7题】 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A=∠C. 又∵AE=CF，∠3=∠4， ∴△ADE≌△CDF(角边角). ∴AD =CD. ∴ □ ABCD是菱形. ③ D A C B E F 1 2 3 4 考试考法 8. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过点 D 分别作 ED // AB，FD // AC，分别交 AC，AB 于点 E，F. （1）求证：△BDF≌△DCE. 【选自教材P39 习题1.6 第8题】 A B C D E F 证明： ∵ D 为 BC 边的中点，∴ BD = DC. 又∵ ED // AB，FD // AC， ∴DF，DE 为△ABC 的中位线， 且四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ DF = AE = EC，DE = AF = BF. 在△BDF 与△DCE 中，∵BF = DE，FD = EC，BD = DC， ∴△BDF≌△DCE(边边边). 考试考法 （2）在原有条件不变的情况下，如果给△ABC 添加一个条件，使四边形 AFDE 成为菱形，则该条件是____________；若使四边形 AFDE 成为矩形，则该条件是_____________. 请选择一个结论进行证明. 【选自教材P39 习题1.6 第8题】 AB = AC ∠A = 90° 8. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过点 D 分别作 ED // AB，FD // AC，分别交 AC，AB 于点 E，F. A B C D E F 考试考法 证明：由（1）得，四边形 AFDE 是平行四边形，且 DF，DE为△ABC 的中位线， 则 E，F 分别为 AC，AB的中点. 又∵AB = AC， ∴AF = AE， ∴平行四边形 AFDE 是菱形. ① 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过点 D 分别作 ED // AB，FD // AC，分别交 AC，AB 于点 E，F. 已知 AB = AC，求证：四边形 AFDE 是菱形. A B C D E F 考试考法 证明：由（1）得，四边形 AFDE 是平行四边形. 又∵∠A = 90°， ∴四边形 AFDE 是矩形. ① 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过点 D 分别作 ED // AB，FD // AC，分别交 AC，AB 于点 E，F. 已知 ∠A = 90°，求证：四边形 AFDE 是矩形. A B C D E F 考试考法 菱形的判定定理1： 四条边都相等的四边形是菱形. 菱形的判定定理2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 课堂小结 探究新知 谢谢观看！ $