2.6.2 菱形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

2.6 菱形 第2章 四边形 2.6.2 菱形的判定 优翼八下数学教学课件（XJ） 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 复习引入 导入新课 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法： AB = AD， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 四条边相等的四边形是菱形 小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B ， D，依次连接 A、B、C、D 四点. 已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，使 AC 为菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 新课讲授 证明：∵AB = BC = CD = AD； ∴AB = CD ， BC = AD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵AB = BC， ∴四边形 ABCD 是菱形. A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证一证 四条边都相等的四边形是菱形. AB = BC = CD = AD 几何语言描述： ∵在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD， ∴四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 菱形的判定定理 1： 归纳总结 四边形 ABCD A B C D 下列命题中正确的是 （ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 三条边相等的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是菱形 C 练一练 证明： ∵ ∠1 = ∠2， 又∵AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD = ED， CF = EF. 又∵EF = ED，∴CD = ED = CF = EF， ∴四边形 CDEF 是菱形. 2 例1 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 典例精析 例2 如图，在△ABC中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm.将△ABC沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接 AD.求证：四边形 ACFD 是菱形． 证明：由平移变换的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴ AC＝DF＝AD＝CF＝10 cm， ∴四边形 ACFD 是菱形． 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便． 归纳 H G F E D C B A 证明：连接 AC、BD. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD. ∵点 E、F、G、H 为各边中点， ∴EF = FG = GH = HE. ∴四边形 EFGH 是菱形. 例3 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形. C A B D E F G H 【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：四边形 EFGH 是菱形. 又∵AC=BD， ∵点 E、F、G、H 为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形 EFGH 是菱形. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形. 归纳 理由如下：连接 AC、BD. A B C D E F G H 拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：连接 AC、BD. ∵点 E、F、G、H 为各边中点， ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 拓展2 如图，若四边形 ABCD 是菱形，顺次连接菱形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 四边形 EFGH 是矩形. 同学们自己去解答吧 思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分 ABCD 的形状吗？ A C D B 分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可进一步判断. 由题意可知 BC 边上的高和CD 边上的高相等， 然后通过证 △ABE≌△ADF，即得 AB = AD. 请补充完整的证明过程 E F 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 前面我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形. ∴OA = OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴BA = BC. ∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理 2： 归纳总结 例4 如图， ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D O 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5， 证明： 即 AC⊥BD. ∴ AB2 = OA2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形， ∴四边形 ABCD 是菱形. 例5 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD、BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形． A B C D E F O 1 2 证明:∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AE∥FC，∴∠1 = ∠2. ∵EF 垂直平分 AC， ∴AO = OC . 又∵∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO. ∴四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形 AFCE 是菱形. 练一练 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC = 90° B．AC⊥BD C．AB = CD D．AB∥CD B 例6 如图，在△ABC中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. (1) 求证：四边形 BCFE 是菱形； (1) 证明：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE∥BC 且 2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC. ∴四边形 BCFE 是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形 BCFE 是菱形. 菱形的性质与判定的综合运用 (2) 解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°. ∴△EBC 是等边三角形. ∴菱形的边长为 4，高为 . ∴菱形的面积为 . (2) 若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积． 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 归纳 练一练 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求平行四边形 ABCD 的周长. 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴∠BAC = ∠ACD. ∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC = ∠BAC. ∴∠DAC = ∠ACD. ∴AD = DC. ∴四边形 ABCD 为菱形. ∴四边形 ABCD 的周长 = 4×2 = 8． 2. 一边长为 13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别 为 24 cm 和 10 cm，则平行四边形的面积是 . 120 cm2 1. 判断下列说法是否正确 (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形； (2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 当堂练习 3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　） A．AB = BC B．AC = BC C．∠B = 60° D．∠ACB = 60° B 解析：∵将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE， ∴AC∥DE，AC = DE. ∴四边形 ACED 为平行四边形. 当 AC = BC 时， 平行四边形 ACED 是菱形． 故选 B． A B C D O E 4. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC， CE∥BD.求证：四边形 OCED 是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 OCED 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OC = OD. ∴四边形 OCED 是菱形． B C A D O E M N 证明：∵MN 是 AC 的垂直平分线， ∴AE = CE，AD = CD，OA = OC， ∠AOD = ∠EOC = 90°. ∵CE∥AB，∴∠DAO = ∠ECO. ∴△ADO≌△CEO(ASA)． ∴AD = CE. ∴四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵∠AOD = 90°， ∴四边形 ADCE 是菱形． 5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交AC于点 O，CE∥AB交 MN 于点 E，连接AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形. （1）证明：由尺规作 ∠BAF 的平分线的过程可得 AB = AF，∠BAE = ∠FAE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAE = ∠AEB. ∴∠BAE = ∠AEB. ∴AB = BE. ∴BE = FA. ∴四边形 ABEF 为平行四边形. ∵AB = AF， ∴四边形 ABEF 为菱形. 6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交 BC 于点 E，连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2）AE，BF 相交于点 O，若BF=6，AB=5，求AE的长． （2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5， 求 AE 的长． 解：∵四边形 ABEF 为菱形， ∴AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO. 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4. ∴AE = 2AO = 8． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 课堂小结 $$