精品解析：上海市行知中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

上海市行知中学 2025-2026 学年第一学期第二次月考 高二年级数学学科 （时间：120分钟，满分：150分） 一、填空题（前6题每题4分，后6题每题5分，共54分） 1. 直线与直线的夹角大小为_______． 2. 三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 3. 已知函数，则的单调增区间为___________ 4. 等比数列中，，，则数列的前8项和等于________. 5. 若一个三棱台的上、下底面的面积分别是1和4，体积为，则该三棱台的高为_______． 6. 曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________. 7. 已知数列，则___________（用数字作答） 8. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 9. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球、、，……，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切，则放入的所有球的体积之和为__________. 10. 已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 11. 在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为____________. 12. 在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____. 二、选择题（前2题每题4分，后2题每题5分，共18分） 13. 对任意的，由关系式得到的数列满足，则函数的图象可能是（ ） A B. C. D. 14. 已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（ ） A. 两两垂直 B. 两两异面 C. 两两相交 D. 两两平行 15. 对于无穷数列，给出下列命题： ①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列． ②若等差数列满足，则数列常数列． ③若等比数列满足，则数列常数列． ④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列． 其中正确的命题个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（ ）． A. ①、②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①、②都不正确 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．） 17. 如图，已知，都垂直于平面，且是中点，求： （1）绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 （2）求证：平面 18. 如图，在四棱锥中，为中点，面，，，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线轴正半轴于点． （1）当直线的截距相等且不等于零时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； （3）求面积的最小值． 20. 已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 21. 已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为. （1）求函数解析式； （2）已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式； （3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市行知中学 2025-2026 学年第一学期第二次月考 高二年级数学学科 （时间：120分钟，满分：150分） 一、填空题（前6题每题4分，后6题每题5分，共54分） 1. 直线与直线的夹角大小为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 2. 三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据立体几何结论确定，再利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意，三个互相平行的平面把空间分成部分，所以， 又，所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4 3. 已知函数，则的单调增区间为___________ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调增区间. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 4. 等比数列中，，，则数列的前8项和等于________. 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用对数的运算法，再根据等比数列的性质转化为，最后代入数值求值. 【详解】 故答案为4 【点睛】本题考查等比数列的运算性质和对数的运算法则，属于简单题型. 5. 若一个三棱台的上、下底面的面积分别是1和4，体积为，则该三棱台的高为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由台体体积公式即可得出. 【详解】设三棱台高为h，则由台体体积公式可得 ，解得. 故答案为：. 6. 曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为： 7. 已知数列，则___________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】用换，然后两式作差得到奇数项为等差数列，然后求出奇数项的通项，可得答案. 【详解】当时， ，两式作差得： 即 因此，奇数项和偶数项分别构成公差为  的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当  为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 8. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形ABC中，，， 在正方形BCDE中，，，， 所以为二面角的平面角，即， . 故答案为：. 9. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球、、，……，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切，则放入的所有球的体积之和为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记球的半径为，设四棱锥的高为，体积为，可得，设，利用可得，求出再求极限可得答案. 【详解】如图，四棱锥中，为底面正方形的中心，则底面， 为的中点，连接，设侧面与底面所成角为， 记球半径为，设四棱锥的高为，体积为， 为与四棱锥的切点，， 因为，所以，即， 所以，故， 即，设， 由于，即， ，两式相减可得，即，所以， 故， 所以所有球的体积之和为. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出可得. 10. 已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则最小值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，记.由题可知，，点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部，所以可以转化为，结合图象，由其几何意义可得. 【详解】设，，对应的点为，取. 则由，得，即. 由，得，即， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部. 所以. 所以的最小值是，当且仅当四点共线，且是线段与圆的交点时，取得最小值. 故答案为：. 11. 在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，得出的坐标，设，根据已知列出方程，化简得出点的轨迹为球.进而结合图象即可得出点到平面的最大距离，结合体积公式即可得出答案. 【详解】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则有. 又， 所以. 设，则. 因为， 代入可得， 整理可得， 即在以点为球心，为半径的球上. 又的面积为， 平面到平面的距离为4， 所以到平面的最大距离为. 体积最大值为. 故答案为：. 12. 在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 二、选择题（前2题每题4分，后2题每题5分，共18分） 13. 对任意的，由关系式得到的数列满足，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推式可得图象上任一点都满足，即可得结果. 【详解】根据题意，由关系式得到的数列满足， 即函数的图象上任一点都满足. 结合图象，可知只有A满足. 故选：A. 14. 已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（ ） A. 两两垂直 B. 两两异面 C. 两两相交 D. 两两平行 【答案】D 【解析】 【分析】对ABC作出相应空间图形即可；对D，通过反证法即可得到其无法两两平行. 【详解】如图1，可得，，可能两两垂直，故A正确； 如图2，可得，，可能两两相交，故C正确； 如图3，可得，，可能两两异面，故B正确； 对D，设，且与均不重合， 假设：，由可得：，， 又，可知，， 又，可得：， 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面， 若与或重合，同理可得与相交或异面， 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行，故D错误. 故选：D. 15 对于无穷数列，给出下列命题： ①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列． ②若等差数列满足，则数列是常数列． ③若等比数列满足，则数列是常数列． ④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列． 其中正确的命题个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①根据等差、等比数列的性质可判断即得；②根据等差数列的单调性无界性判断是否为常数列；③根据特例即可判断是否正确；④由正项等比数列的性质可得，，进而判断是否为常数列. 【详解】①：若数列既是等差数列又是等比数列，不妨设， 则，故，所以数列为常数列，正确； ②：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界， 要使等差数列满足，则数列是常数列，正确； ③：若等比数列满足， 如，此时，满足条件，但不是常数列， 所以数列不一定是常数列，错误； ④：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，， 若，令，可得，故当取大于的正整数时，，矛盾， 若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确． 故选：C． 16. 设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（ ）． A. ①、②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①、②都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案. 【详解】因为，表示除原点外的平面内的所有点. ， 所以表示到直线和的距离之和不大于4的点. 如图： 易知直线和垂直， 则，. 当时，. 因为，所以. 因为要求任意，所以是以原点为圆心，半径为的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外）， 因为要求存在，所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确； 当时，存在使得，故②正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件. 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．） 17. 如图，已知，都垂直于平面，且是的中点，求： （1）绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 （2）求证：平面 【答案】（1） （2）见详解. 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形绕直角边旋转的性质，确定形成的几何体是圆锥，再确定圆锥的底面半径（直角边长度）、母线长（直角三角形的斜边长度），最后利用圆锥侧面积（）和底面积（）的公式，求和得到总表面积； （2）先构造辅助线：取线段中点（如的中点），连接相关线段（,），再通过中位线定理（或已知条件），证明待证直线（）与平面内的某条直线（）平行，最后结合“直线在平面外，直线与平面内直线平行”的条件，推导线面平行即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 所以是直角三角形（），绕旋转一周形成的是圆锥， 则圆锥的底面半径 ， 圆锥母线长 ， 又因为圆锥的表面积=： ， ， 因此，旋转后几何体的表面积为：. 【小问2详解】 取 的中点 ，连接 ，， 因为 是 的中点，所以是的中位线， 故且， 已知平面，平面，所以，且， 因此，且，四边形是平行四边形，故， 又因为平面 ，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. 18. 如图，在四棱锥中，为中点，面，，，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用向量法求线面角； （2）设，其中，求出向量的坐标，根据，求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 连接，因为，为中点，所以， 又，所以， 又，所以，则， 因为面，所以，所以两两垂直， 以点为原点，以所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为； 【小问2详解】 由（1）可知，， 设，其中， 则， 因为平面，则， 解得， 因此，在棱上不存在点，使得平面. 19. 在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线轴正半轴于点． （1）当直线的截距相等且不等于零时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）依题意设出直线的截距式方程，代入点求出的值，即得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求其范围； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 依题意，设直线的方程为，因直线经过点，代入解得，故直线的方程为. 【小问2详解】 由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 20 已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【小问1详解】 圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. 【小问2详解】 已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. 【小问3详解】 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 21. 已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为. （1）求函数的解析式； （2）已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式； （3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可求得、的值，进而可得出函数的解析式； （2）对分奇数和偶数两种情况讨论，求出的表达式，根据可得出的表达式； （3）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出、关于的表达式，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，则， 若，即，解得，则， 因为，可得，因此，. 【小问2详解】 解：当为奇数时，设，则， 此时，此时； 当为偶数时，设，则， 此时，，此时. 综上所述，. 【小问3详解】 解：， 因为，，其中， 所以，数列的奇数项构成以为首项，公比为的等比数列， 数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， ①当为偶数时，， 则， 此时，随着的增大而增大，则； ②当为奇数时，， ， 此时，随着的增大而增大，则. 因此，当且，的值在区间内，则， 故集合“阈度”的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出关于的表达式，结合数列的单调性求出的取值范围，进而根据题中定义求出集合“阈度”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $