精品解析：宁夏吴忠市利通区扁担沟中心学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期 期中学业水平测试数学试卷 总分120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； D．该图形既不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 将方程配方，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项变形为，再将两边同时加9，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 若关于的二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故选：B． 4. 如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 【详解】∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为（    ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且 ∴且 故选：A． 6. 对于二次函数的性质描述正确的是 （ ） A. 该函数图象开口朝下 B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据二次函数图象与系数的关系判断． 【详解】A、，该函数图象开口朝上，故A不符合题意； B、对称轴为，该函数图象的对称轴在y 轴右侧，故B符合题意； C、对称轴为，当时，y 随 x 的增大而增大，故C不符合题意； D、时，即与y轴交点为原点，故D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， ∴． 故选：B． 8. 函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象综合．利用过，过，可知两图象交于，据此排除A、C，然后根据a的正负和函数图象的关系进而求解即可．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：已知与， ∴过，过， ∴A、C选项不符合题意； 当时，抛物线开口向上，直线图象上升，D选项不符合题意； 当时，抛物线开口向下，直线图象下降，B选项符合题意． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 某公司今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到144万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．设平均每月利润增长的百分率为x，则2月份利润为万元，3月份的利润为万元，然后列方程，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设平均每月利润增长的百分率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， ∴平均每月利润增长的百分率为． 故答案为：． 11. 已知一元二次方程的两根为m，n，则_______． 【答案】7； 【解析】 【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，整体代入计算即可求出值． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， 则． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是会利用根与系数的关系来求方程中的字母系数．一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系为，． 12. 已知点，在二次函数的图象上，则__________．（填“”，“”或“”） 【答案】 < 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将两个点分别代入二次函数的解析式求出，的值，比较大小即可得． 【详解】解：将点代入得：， 将点代入得：， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即． 故答案为：． 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】2.04 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 根据物体回落到地面，即，求解即可． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过2.04s落回地面． 故答案为：2.04． 15. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 16. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的解是，，其中正确的结论有________． 【答案】③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．①根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；②根据时的函数值即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④根据时的函数值即可判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】解：①由条件可知，对称轴，， ， ， 故①错误； ②二次函数的图象过， ， ，故②错误； 对称轴， ， ， 故③正确； ④由图象知，当时，， 即 故④错误； ⑤二次函数的图象过，， 一元二次方程的解是，， 故⑤正确． 故答案为：③⑤． 三、简答题（共9小题，共72分） 17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 【答案】， 【解析】 【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程． 【详解】解：(x－2）(x+1)=0， ∴x－2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题． 18. 已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P． （1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0）；（2）27 【解析】 【详解】试题分析：（1）令y=0，则有x2－2x－8＝0，解这个方程即可得A、B两点的横坐标，从而得到这两点的坐标； （2）求出抛物线顶点P坐标，再根据A、B的坐标，即可解决问题． 试题解析：（1）当y＝0时， x2－2x－8＝1， x１=4，x２=－2， ∴A（－2，0），Ｂ（4，0）， （2）y＝x2－2x－8＝（x－１）2－9， ∴P（1，－9）， ∴S＝AB×｜yＰ ｜=×[4-（-2）]×9=27. 19. 如表给出一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … (1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？ (3)根图表说明：当x取何值时，y随着x的增大而增大？ 【答案】 （1）画出二次函数图象如图： （2）当x＜1或x＞3时，y的值大于0；（3）当x＞2时，y随x的增大而增大． 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出二次函数图象； （2）根据二次函数的性质求解； （3）根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）略 （2）当x＜1或x＞3时，y的值大于0； （3）当x＞2时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 20. 如图，中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，与交于点G、F． （1）求的度数； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）四边形是菱形， 理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考点涉及等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形外角和定理、平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定，涉及知识点较多，但难度不大，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用等腰三角形性质得出，利用旋转的性质和三角形的外角定理即可解答； （2）利用平行线的判定定理证得，所以四边形是平行四边形，再利用菱形判定定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵将绕点A顺时针方向旋转得到， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长），并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为米长的木板（全部使用完），若设为米． （1）的长为 米；（用含的代数式表示） （2）仓库的面积能为吗？若能，求出的长；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）仓库的面积能为，米 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程—— 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． （1）设的长为米，则米，即可作答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：设的长为米， 要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为米长的木板(全部使用完）， 米， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， 米．仓库的面积能为， 22. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2） 该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分． 【解析】 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． 【小问1详解】 解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 23. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 【解析】 【分析】（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式； （2）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． 【小问1详解】 设一次函数的关系式为， 由题图可知，函数图象过点和点． 把这两点的坐标代入一次函数， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 根据题意，则， 整理得：； ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为800； ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题． 24. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式，将抛物线的解析式化成顶点式可得其顶点坐标； （2）过点作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值， 此时， ∴点的坐标为． 25. [项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”． （1）[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________． （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？ （3）[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值． 【答案】（1）4 （2）12 （3）25 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据、和“雅美数”的定义求解即可得； （2）将配方成，则，代入计算即可得； （3）将配方成，根据，和“雅美数”的定义可得，据此即可得． 【小问1详解】 解：∵，0和2都是整数， ∴4是“雅美数”； ∵，不能表示成两个数的平方和形式， ∴6不是“雅美数”； 故答案为：4． 【小问2详解】 解： ， ∵二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（为常数）， ∴， ∴． 【小问3详解】 解： ， ∵，为整数， ∴，， ∴要使为“雅美数”，即能表示为两个整数的平方和，则， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期 期中学业水平测试数学试卷 总分120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 将方程配方，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 4. 如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为（    ） A. 且 B. C. 且 D. 6. 对于二次函数的性质描述正确的是 （ ） A. 该函数图象开口朝下 B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 7. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 10. 某公司今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到144万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是____________． 11. 已知一元二次方程的两根为m，n，则_______． 12. 已知点，在二次函数的图象上，则__________．（填“”，“”或“”） 13. 如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是________． 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 15. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 16. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的解是，，其中正确的结论有________． 三、简答题（共9小题，共72分） 17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 18. 已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P． （1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积． 19. 如表给出一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … (1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？ (3)根图表说明：当x取何值时，y随着x的增大而增大？ 20. 如图，中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，与交于点G、F． （1）求的度数； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 21. 如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长），并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为米长的木板（全部使用完），若设为米． （1）的长为 米；（用含的代数式表示） （2）仓库的面积能为吗？若能，求出的长；若不能，说明理由． 22. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 23. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 25. [项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”． （1）[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________． （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？ （3）[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $