精品解析：河南省周口市郸城县等校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：由二次函数的定义可知，四个函数中，只有函数是二次函数， 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 4. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将点代入解析式得，， ． 5. 已知在中，弦，圆心到弦的距离为，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意画出图形，得，，所以，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意得，， ∴， 在中，， ∴， ∴的半径为， 故选：． 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：A．抛物线的开口方向向下，则，故本选项错误； B．根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则，故本选项错误； C．根据图示知，抛物线与轴有两个交点，则， ∴，故本选项错误； D．根据图示知，当时，y随x的增大而减小，故本选项正确． 故选：D． 7. 若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. << B. << C. << D. << 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的对称性和增减性，是解题的关键． 根据反比例函数性质，当时，函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．点A的横坐标为负，对应y值为负；点B和C的横坐标为正，对应y值为正．因此最小．再比较和，由于x值增大时y值减小，故． 【详解】∵反比例函数解析式为， ∴当时，；当时，． ∵点A的横坐标， ∴． ∵点B的横坐标， ∴． ∵点C的横坐标， ∴． ∴． 故的大小关系为． 故选：B． 8. 如图，是的切线，切点分别为A、B，若，，则的半径为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，直角三角形性质，勾股定理，根据切线长定理推出，，再结合直角三角形性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：是的切线，切点分别为A、B， ， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）； 故选：A． 9. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规则是解题关键． 首先将抛物线配方成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 得到的抛物线解析式为． 故选：A． 10. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴正半轴交于点C，若的面积为6，则该二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 由二次函数与x轴交点可知其交点式，再根据三角形面积公式求出a，进而求解即可． 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于、两点， ∴设二次函数为， 当时，， ∴点C坐标为， ∵抛物线与y轴正半轴交于点C， ∴当时，， 由可知，当时，， ∴， ∴ ∵、 ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴（不符合题意，舍去）或 ∴当时，． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， 或， 解得，． 12. 抛物线的最大值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的最值，将抛物线配方成顶点式，然后根据二次函数开口向下时，顶点处取得最大值求解即可． 【详解】解：∵ ∵ ∴抛物线开口向下， ∴最大值为3． 故答案为：3． 13. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．根据反比例函数的性质，当图象在第二、四象限时，解不等式即得答案． 【详解】解：因为反比例函数的图象在第二、四象限， 所以， 解得． 故答案为：． 14. 如图，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点E，若BE=2，则CD的长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接OC，求出OE＝3，根据垂径定理得出CE＝ED＝CD，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出CE的长度，即可求出CD的长度． 【详解】解：如图，连接OC． ∵⊙O的直径AB＝10， ∴OB＝OC＝5， ∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3， ∵弦CD⊥AB于点E， ∴CE＝ED＝CD． ∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝3，OC＝5， ∴CE＝＝4， ∴CD＝2CE＝8． 故答案为8． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识；由勾股定理求出CE是解决问题的关键． 15. 若二次函数的图象经过点和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，代数式求值，利用待定系数法求出的值，进而代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 16. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可． 【详解】如图， ∵BC＞AC， ∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC， 由勾股定理知，AB==5． ∵S△ABC=AC•BC=CD•AB=×3×4=×5•CD， ∴CD=， 即R的取值范围是＜r≤3． 故答案为＜r≤3． 【点睛】本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理，以及直角三角形的面积公式求解．特别注意：圆与斜边有两个交点，即两个交点都应在斜边上． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 18. 已知二次函数， （1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标： （2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标. 【答案】（1）对称轴是，顶点坐标是； （2）图象与x轴交点坐标是、，与y轴的交点坐标是 【解析】 【分析】（1）利用配方法整理到顶点式即可得； （2）分别令、，解方程即可得. 【详解】解：（1）∵， ∴对称轴是，顶点坐标是； （2）当，则， 解得，； 当，则， ∴图象与x轴交点坐标是、，与y轴的交点坐标是． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 19. 如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． 先由垂径定理得到，然后在和中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且， 在中， ， ∴， 在中， 20. 某商店如果将进价为8元的商品按每件10元的价格售出，每天可销售200件，现商店采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如要这种商品每件涨1元，其销售量就会减少20件，那么将售价定为多少元时，才能使每天所赚利润为640元？ 【答案】应将商品的售价定为16元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用；设售价为元，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：设售价为元，根据题意列方程得， 整理得：，即， 解得，． 故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元． 又题意要求采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润， 故应将商品的售价定为16元． 答：应将商品的售价定为16元 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，包括利用待定系数法求函数解析式以及坐标系中三角形面积的求解；解题的关键是利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质，通过已知交点坐标求出未知参数． （1）先将点代入反比例函数解析式求出系数，得到反比例函数；再将点的横坐标代入反比例函数求出其纵坐标；最后将两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出和． （2）将的面积拆分为：，根据坐标求解即可． 【小问1详解】 ∵反比例函数y=经过点， ∴， 反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴，即， 将、代入， ，解得 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与x轴交于点C， 令，， 点 22. 如图，在中，，以为直径作交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，中位线定理，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，因为是的直径，所以，即，然后通过等腰三角形三线合一的性质即可求证； （）连接，由（）得，又，则是中位线，所以，得，最后通过圆周角定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 由（）得，， ∵， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 23. 已知二次函数的图像经过． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点是该函数图象上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）当时， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的对称性和增减性，求二次函数的最值，是解题的关键． （1）根据抛物线与x轴的两个交点，设解析式为，再将代入求解； （2）求出抛物线的顶点坐标，找出最大值，再由对称性求出或时的y值，即得． 【小问1详解】 设二次函数解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为，开口向下， 当时，y最大值为4； 当或时，， ∴当时，． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）求的长； （3）若为直线上方抛物线上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． 求的最大值； 当时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）的最大值为；点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，二次函数的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）由（）得抛物线的解析式为，当时，，则，从而求得，，再由勾股定理即可求解； （）求出直线解析式为，设，则，得，然后通过二次函数的性质即可求解； 由，，，得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设直线解析式为，且过，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，为； ∵，，， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 25. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为点M． （1）求这条抛物线的解析式及直线的解析式； （2）P为线段上一动点（点P不与点B、M重合），过点P向x轴引垂线，垂足为Q，设的长为t，四边形的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在线段上是否存在点N，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）存在，点或或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据四边形的面积等于三角形的面积加上梯形的面积，列出函数关系式，根据点的位置，确定的范围即可； （3）分三种情况，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线与x轴交于两点， ，解得， ∴二次函数的解析式为， ， ∴， 设直线的解析式为，则有 ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∵的长为t，， ∴点P的坐标为， ∴ ， ； ∵P为线段上一动点（点P不与点B、M重合）， ∴t的取值范围是． 【小问3详解】 存在；设， ∵， ∴，，； ①当时，，解得（舍去）． 此时； ②当时，， 解得（舍去），此时， ③当时， 解得，此时． 综上：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 5. 已知在中，弦，圆心到弦的距离为，则的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，y随x的增大而减小 7. 若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. << B. << C. << D. << 8. 如图，是的切线，切点分别为A、B，若，，则的半径为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴正半轴交于点C，若的面积为6，则该二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是________． 12. 抛物线的最大值为________． 13. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是______． 14. 如图，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点E，若BE=2，则CD的长为_______． 15. 若二次函数的图象经过点和，则______． 16. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数， （1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标： （2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标. 19. 如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接．若，求的长． 20. 某商店如果将进价为8元的商品按每件10元的价格售出，每天可销售200件，现商店采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如要这种商品每件涨1元，其销售量就会减少20件，那么将售价定为多少元时，才能使每天所赚利润为640元？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 22. 如图，在中，，以为直径作交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 已知二次函数的图像经过． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点是该函数图象上的一点，当时，求n的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）求的长； （3）若为直线上方抛物线上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． 求的最大值； 当时，求点的坐标． 25. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为点M． （1）求这条抛物线的解析式及直线的解析式； （2）P为线段上一动点（点P不与点B、M重合），过点P向x轴引垂线，垂足为Q，设的长为t，四边形的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在线段上是否存在点N，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $