精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学12月月考 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知直线过点（2，0），且与直线平行，则（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 3. 已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（ ） A. 顶点坐标 B. 离心率 C. 焦距 D. 长轴长 4. 已知直线和圆，若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线C: 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. 8. 椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知点是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上的一点，且，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 双曲线的离心率为 D. 直线是双曲线的一条渐近线 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 11. 已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的有（ ） A. B. F为中点 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若圆被直线平分，则圆C的半径为______． 13. 如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是____ 14. 已知是椭圆C一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为________________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. （1）已知曲线.若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，. 16. 已知直线经过点，与直线和分别交于，两点，而且线段被点平分． （1）求直线的方程； （2）若圆圆心在上，与直线相切，且直线被此圆截得弦长为，试求圆的方程． 17. 已知椭圆过点，且焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点，求直线的斜率的取值范围． 18. 已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 19. 已知点为抛物线焦点，过点的动直线与抛物线C交于,两点，如图．当直线与轴垂直时，． （1）求抛物线C方程； （2）已知点,设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为．请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学12月月考 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知直线过点（2，0），且与直线平行，则（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线平行的特点即可求出. 【详解】由直线过点，得，即， 由直线与直线平行，得，即， 所以． 故选：. 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 【答案】A 【解析】 【分析】分别求得和的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径， 圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径， 由，且，可得， 所以圆和外切. 故选：A. 3. 已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（ ） A. 顶点坐标 B. 离心率 C. 焦距 D. 长轴长 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率即可判断得解. 【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距， 显然顶点坐标随的变化而变化，离心率随的变化而变化， 长轴长随的变化而变化，ABD不是； 焦距不随的变化而变化，C是. 故选：C 4. 已知直线和圆，若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的值. 【详解】圆，则圆心为，半径为， 因为直线即和圆相切， 所以，平方得，解得或. 故选：C 5. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于直线对称点，然后计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直， 故，. 从而，，故，即或. 但不重合，故，所以，从而，即. 而，，故. 根据对称性，光线经过的路程即为. 故选：C. 6. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线与抛物线交于两点，且， 根据抛物线的对称性可以确定，所以， 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 7. 双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线的离心率． 【详解】由已知可得， ，故选D． 【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混． 8. 椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆 1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本不等式，可得结论． 【详解】∵椭圆 1的焦点在x轴上， ∴5a＞4a2+1 ∴ ∵椭圆离心率为（当且仅当，即a时取等号） ∴椭圆的离心率的取值范围为（0，] 故选：C． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与离心率，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知点是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上的一点，且，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 双曲线的离心率为 D. 直线是双曲线的一条渐近线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线定义可以判断A；借助于，直接求判断B选项；焦点三角形中借助勾股定理得到关系可判断C；借助于，求渐近线方程判断D. 【详解】 由双曲线的定义可得，，，故A正确； 因为，故的面积为，故B错误； 由勾股定理得，即，所以，故C正确； 因为，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为，故D正确， 故选：ACD. 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出长轴长、焦距、离心率，结合椭圆的定义求焦点三角形的周长，即可得答案. 【详解】由椭圆方程知：， 所以椭圆长轴长为，焦距，离心率，A、B对，C错； 的周长为，D对. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的有（ ） A. B. F为中点 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，，，得到答案. 【详解】如图所示：作准线l于点C，轴于M，准线l于点E．直线的斜率为， 所以 ∴， 故，代入抛物线，得（舍去）；，所以，故F为中点； 又，故； ，，故． 故选：BCD． 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若圆被直线平分，则圆C的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径． 【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为， 即， 解得：， 则圆，则圆的半径为． 故答案为：． 13. 如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是____ 【答案】28 【解析】 【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知①，②，两式相加再结合已知即可求解. 【详解】解：由题意知：，故. 由双曲线的定义知①，②， ①＋②得：，所以， 所以的周长是. 故答案为：28. 【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理. 14. 已知是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为________________ 【答案】 【解析】 【详解】设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则＝(c，－b)，＝(xD－c，yD)， ∵＝2，∴ ∴ ∴＋＝1，即e2＝，∴e＝． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. （1）已知曲线.若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，. 【答案】（1）；（2）＋＝1. 【解析】 【分析】（1）由题意，将曲线转化为，再根据曲线表示焦点在轴上的椭圆，列出关于的不等式，即可求出结果. （2）方法一：分别根据焦点在，轴上，设椭圆的标准方程，代入点，即可求出结果； 方法二：设椭圆的一般方程为，即可求出结果. 【详解】由，得. 因为椭圆的焦点在轴上， 所以 解得<m<5.所以m的取值范围是 （2）方法一：若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为.由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1； 若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为. 由已知条件得解得则，与矛盾，舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为. 方法二：设椭圆的一般方程为. 分别将两点的坐标，代入椭圆的一般方程， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为. 16. 已知直线经过点，与直线和分别交于，两点，而且线段被点平分． （1）求直线的方程； （2）若圆的圆心在上，与直线相切，且直线被此圆截得弦长为，试求圆的方程． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）设，，分别代入直线和，求出点坐标，利用两点式方程能求出直线的方程． （2）设，可利用点到直线距离公式表示出半径，再根据弦长公式计算可求出圆的方程. 【小问1详解】 由线段被点平分，可设，则， 则有，解得， ，直线过，， 直线的方程为：，整理得， 即直线的方程为； 【小问2详解】 圆的圆心在直线上，可设， 圆与直线相切，圆心到直线距离， ， 圆心到直线距离， 直线被此圆截得弦长为， ，整理得，解得， ，圆心， 圆的方程为：. 17. 已知椭圆过点，且焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点，求直线的斜率的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用焦距求出，得到通过点在椭圆上，得，即可解得椭圆的标准方程． （2）设直线的方程为，通过联立直线与椭圆方程，利用判别式的符号，求解的范围即可． 【小问1详解】 将代入椭圆方程可得， 又，即，且，解得，， 所以椭圆标准方程为； 【小问2详解】 当不存在时，显然不满足题意，故存在， 不妨设直线的方程为， 联立，得， 则， 解得， 即的取值范围为 18. 已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设坐标为，利用直线，相交于，且它们的斜率之积为，即可确定出的轨迹方程； （2）设出与坐标，分别代入的轨迹方程，整理由根据为中点，求出直线斜率，即可确定出直线方程． 【小问1详解】 设，直线，相交于， 且它们的斜率之积为，，化简得， 则动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 由（1）得的轨迹方程为， 设点，，则有，， 得：， 整理得：， 为的中点，，， 直线的斜率， 直线的方程为，即，该直线与M的轨迹有两个交点，符合题意. 19. 已知点为抛物线的焦点，过点的动直线与抛物线C交于,两点，如图．当直线与轴垂直时，． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点,设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为．请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）是定值0 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的性质可将的坐标用含的代数式表示出来，代入抛物线方程求得值即可； （2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理推理，计算的值是定值即可． 【小问1详解】 依题意得，∵与轴垂直，且，∴， 又∵点在抛物线上，∴，∴， 故求抛物线C的方程为； 【小问2详解】 设直线与抛物线交于不同两点，， ① 当直线斜率不存在时，知直线与关于轴对称，故； ② 当直线斜率存在时，直线的方程设为，， 联立，得 则，． 又∵，，且， ， ∴ ， 综上，可得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $