山东省临沂第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

临沂一中2026届数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={3-1,023列.B=(x≤2，则AnB=() A.02} B.{1,02} c.{-1,2 D.←-1,0 2+i 2= 2.已知复数 6 9心 0 A.2 C.2 D.2 6不等式1X>0成立的一个充分不必要条件是1 A.X>-1 B.X>2 C.X<-1或0<×<1 D.X<0或>1 4.若m为直线，，B为两个平面，则下列结论中正确的是（） A.若mla,nca,则mln B.若m1a,m1B,则a1B C.若mMa,mLB,则a1B D.若mca,a1B,则m1B 5.函数f(=sin(@X+p)A>00>0p∈[02x》的图像如图所示，则f(X)={) A 6.如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，则直线AM和 CN夹角的余弦值为（) 5 A.3 B.3 C.4 7.已知函数f(x)定义域为R,且满足：f()=f(2-),X,e几，+∞)，为≠为， f()f()< 为-为 ,若f(②)水f(9),则实数x的取值范围为() 1 A.1<X<100B.10X<10 C.10<X<100D.1<x<10 8.在VABC中，向量AC-BC与向量AC+3BC垂直，则cosC+4 isinAcosB的最大值为() A.2 B.3 c.23 D.27 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分) 9,下列选项正确的有（) 1.1 A.若a>b,且ab,则ab<0 B.若ab=1,则a+b22 C.若a+b>0,则a+>0 D.13(a3+8)上(2a+3约2 1 10.已知函数f(闪X4+o9:2中1，下列选项正确的有【】 A.f(x)=f(-x)+x B.f(2025)>f(2026) C.函数f(W有唯一零点 D.不等式f(X)<-3的解集为(0，-lo927) 11.如图，已知正方形ABCD和正方形BDEF所在的平面相互 垂直， AC∩BD=O,AB=2.() A.BD∥平面CEF 4 B.二面角A-EF-C的正切值为3 C.三棱锥F-BCE外接球体积为16r D.侧面AEF内的动点P满足OP∥平面CEF,则P点轨迹长度为V2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量a,6满足+2-4a-6=-1,则a-26- 1 13.已知递增等比数列{an前n项和为S,且a=85=42,则数列(lo92a,·l0ga1J的前 10项和为 14.法国著名数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了周期性声音的规则特征：任何周期 性声音的公式是形如Asit的简单正弦函数之和.某种叠加音波的函数模型为 f0=snt+2sn2t+gn3te0 ）,则函数f⊙的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分13分)已知m=(osx-V3osx)n-(inxcox))f(X)=mn 元 ()将函数y=f()的图象向左平移3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来 的2倍，纵坐标不变，得到函数Y=9(×)的图象，求函数9(×)的解析式； 3 (2)若 求cosa 16.(本题满分15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4,∠ABC=60°， 侧棱PA⊥底面ABCD且PA=4,E是PA的中点. (1)证明：平面PBD⊥平面PAC; (2)求BE与平面PAC所成角的正切值. f(x)=x-1-alnx 17.(本题满分15分)已知函数 ()当a=1时，求函数f(×在x=1处的切线方程； ②)若f(×)有两个极值点，×. ①求a的取值范围； 2 0<< ②证明：存在 ,使得f(x),f(),f()成等差数列 cosC cosB 18.(本题满分17分)在VABC中，a,b,c为角A,B,C的对边，c2a-b. (1)求cosC; (2)已知2AD=DB ①若∠ADC=6O°，求tan☑ACD; CD ②求AB的取值范围. 19.(本题满分17分)已知数列a,的前n项和为S,且a,∈N 若{a,为等差数列，且mneN,Sm=SmS,求数列a,的通项公式： 25gm_25n-3mndm (2)若对任意mneN,都有m+nm ⊙求证：包，}是等差数列； 2025 @设6，=24，Ss=2025 4049≤log2 <4050 求，}的公差d的值。 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 答案 B D B C C 0 A A ACD AD ABD 0 1+2W2 12.26 13.27 14.23 15.解：(1) 将函数V=f(X)的图象向左平移3个单位长度，则 y-n4x引9-n2x引9 …5分 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则有 9(n …7分 (2)由题意得 8分 9分 .10分 =sa-引引-ma-引sgra-引n 31333-3 4242 ⊙ 13分 16.证明(1)连接AC,BD, .1分 底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC 2分 :PA⊥平面ABCD,BDc平面ABCD,:.BD⊥PA 3分 又：ACPA=APAC平面PAC,ACC平面PAC, .BD⊥平面PAC.… …4分 QBDc平面PBD,平面PBD⊥平面PAC. .5分 (2)方法-：设AC∩BD=O,由(1)知BO⊥平面PAC, 6分 则∠BEO为BE与平面PAC所成角.… 7分 “底面ABCD是菱形，∠ABC=60,AC=4 8分 在直角PAC中， PC-PRAC-4E-PC- 10分 在△BAD中，由余弦定理知： BD2=AB2+AD2-2AB·AD.CoS∠BAD=48,BD=4N3 12分 B0=1BD=2W3 13分 tan∠BEo= OB2W3√6 在△BOE中， 0E2W2-2 14分 √6 ·BE与平面PAC所成角的正切值为2 15分 方法二：取BC中点F,易知A:1AD,以F,A而，P} 为基底建立空间直角坐标系.则有： A(000),B(23,-2,0)C(23,2,0)E(0,0,2),P(004) E=(23,22)AP-(0,04),Ac=232,0) 设平面PAC的-个法向量n=(XYZ). AP.n=0、「z=0 AC.n=0v3x+y=0 令×=1有n=1,-V3,0) sina= BE·n5 设BE与平面PAC所成角为o,则有 BE可5 cosa=1-sina= 5,tana-sina cosa 2. 17.解：(1)当=1时， fW-x40r0-1+7 .1分 f0)=0f'0)=1,:f(x在x=1处的切线方程为×-y-1=0 3分 2,函数W定义城为Q+),f(因=1+子是×x X X2 。4分 ⊙由题意知'()在(Q+0)内有两不等实根，则有： 分0△0 ，解得合>2，，i4414,5分 当a>2时，令f(x)>0x<日-v-4 x>a+va-4 2或 2 令f(0日-4x+G4 2 2 a-va2-4 a+va2-4 2 上单 调递减，此时f(×)有两个极值点， .6分 a>2符合题意.… 7分 ②由①知￥+龙=a,×·为=1 .8分 ff0w)aN%=*为￥袋K)-0 9分 使f()=0 取f(e）e-e+a .a>2..f(e)<a2-e+1 10分 令F(a)=a-e+1,F'(a)=2a-e,令9()=F'(y,g(x)=2-e<0」 .F'(a)在(2，+o)上单调递减. :F'(a)kF(2)=4-e<0,F(a)在(2，+o)上单调递减， :F(a)F(2)=5-e2<0.f(e)k0 12分 再证 。)-子是 ce-+hs+.令M树-G回，则i(o4+号0 G'(a)在(2，+o)上单调递增. .G'(a)>G'(2)=0 6e在年调运.0a小6g-0,即得-0 .14分 由零点存在定理知存 0<6 a,使得f()f(%)f()成等差数列.…15分 cosC cosB 18.解：(1)由正弦定理知sinC2sinA-sinB ..1分 2sinA.cosC-cosC.sinB=sinC.cosB 2sinA.cosC=sinC.cosB+cosC.sinB=sin(B+C)=sinA .3分 Ae(inc 2 4分 (2)① Ce(Qπ)，C= 3.设∠ACD=0, 5分 IAD CD sine sin 在△ACD中，由正弦定理知 )①6分 BD IcD sin sine 在△BCD中，由正弦定理知 3 ②.7分 sin sine 2sine 2AD=DB.2AD =DB ,则有 sin 9分 →2an=sng-小sn-0 10分 2sin=> 马tanr阳三 .11分 又8 tane=v3 3 12分 3 平方得9CD2-CB+4CA+4CA.CB 即9CD2=a2+46+2ab 13分 又AB2=c2=a+6-ab】 a 2 +2+4 9CD2a2+46+2ab b b AB2 a2+b-ab 2 6 +1 b 14分 9CD2 t2+2t+4 令t=b.则t>0,ABPt =1+3 t+1 -t+1 15分 t+1 、1 r-t+1x-12-(x-)+1X-3x+3x+33 令x=t+1,则>1， X 是-30，Fhf02 t+1 .16分 2g13642 9CD2 CD 13+1 “A8的取值范围为33 17分 19.解：(1)因为a,是等差数列，设公差为d,因为mneN,Sm=SmS, 则令m=n=1得9=，即4=子，因为4eN,所以=1. .1分 令m=n=2得5，=号，则4+6d=(2a+d,即4+6d=(2+cl2 化简得d2-2d=0,则d=2或0. 3分 当d=0时，a,=1,S,=n满足m-SmS: .4分 当d=2时，a,-2n-1,S,=㎡，Snm-(m2-SmSn. .5分 所以，a,=1或a,=2n-1 .6分 (2)①令m=1时，n+1 2-25=a1-8,即25=+10a+）,7分 .2Sn=n(an+a),n≥2. .8分 化简得：2a1=(n+1)(a1+a)n(a,+) 即(n-1)a1-na+a=0(n≥2) 9分 .(n-2)an-(n-1)a1+a=0(n23) 10分 化简得：2(n-1)a,=(n-1),1+(n-1)1,即2a,=a,+a1(n≥3列.11分 229=6-44+a=2a, 又32 .问，}为等差数列.12分 @因为Ss=2025,所以4+1012d=2025 .13分