精品解析：湖南省涟源市部分学校2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题

2025年下学期高一12月联考 数 学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】该扇形的圆心角的弧度数为，弧长为，则该扇形的半径为， 故该扇形的面积为. 故选：B. 2. 在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若甲的生肖不是羊，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是羊. 故“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，则实数和分别等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二分法求函数零点的定义可知，后一个区间其中一个端点与前一个区间相同，另一个端点是前一个区间两个端点和的一半，由此得出等量关系，从而求得解. 【详解】∵， ∴根据二分法的定义可知：， ∴，解得. 故选：A 4. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的值域为 C. 若，则在上单调递减 D. 若，则的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用对数函数的基本性质求出函数的值域，可判断BD选项. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为，A错； 当时，， 因为，则，所以，则， 故当时，的值域为，B错； 当时，内层函数在上为减函数，外层函数为减函数， 由复合函数法可知，若，则在上单调递增，C错； 若，因为，则，即函数的值域为，D对. 故选：D. 5. 人类已进入大数据时代，数据量已经从TB（1TB1024GB）级别跃升到PB（1PB1024TB），EB（1EB1024PB），ZB（1ZB1024EB）级别．国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2009年全球产生的数据量为ZB，并正以约的年增长率递增．据此估计，全球产生的数据量经过（ ）年将首次突破60ZB（参考数据：）． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】设出未知数，得到不等式，两边取对数，解不等式，求出答案. 【详解】设全球产生的数据量经过年将首次突破60ZB， 由题意得，即，两边取对数得 ，即， 故， 又，故经过11年将首次突破60ZB 故选：B 6. 若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，进而对不等式变形，利用基本不等式进行求解. 【详解】得，又，解得，故， 故， 其中 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 7. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（    ） A. 在起始位置，扇形的面积为 B. 经过，点的坐标为 C. 经过，扇形的弧长为 D. 经过，点在单位圆上第二次重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用特殊角的三角函数，以及扇形的弧长和面积公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由点，可得，扇形的面积为，所以A正确； 对于B，经过，点转过了，所以点的坐标为，所以B正确； 对于C，经过，在的终边上，在的终边上， 所以扇形的弧长为，所以C错误； 对于D，要使得第二次相遇，则有走过的弧长减去走过的弧长=， 即设经过秒后，有，解得，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 8. 已知函数有4个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点与方程根的关系可知方程有4个实数根，再由一元二次方程根的个数限定判别式可求出实数的取值范围. 【详解】依题意可知方程有4个实数根，即方程有4个实数根； 因此可知方程和方程的实数根个数和为4， 又因为一元二次方程最多有两个实数根，且这两个方程没有公共根， 所以两方程的判别式均大于零，即， 解得； 即实数的取值范围为. 故答案为： 9. 设为正实数，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】设，从而用表达出，从而原式等于，利用基本不等式求出最值，验证取等条件后得到答案. 【详解】设， 则， 则， ， ， 故 ， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 验证取等条件，显然， ，，故，，， 代入可得，故等号成立 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 11. （1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据指数、对数的运算法则，计算即可得答案. （2）由题意可得，对所求变形化简，计算即可得答案. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以 . 12. 某市地铁2号线开通后给市民出行带来便利，经统计，每辆地铁载客量与发车时间间隔（，单位：分钟）相关，当时，地铁为满载状态，载客量为1250人；当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为350人． （1）写出关于的函数关系式； （2）若要求载客量达到满载的一半及以上时地铁才发车，求地铁发车间隔至少为多少分钟； （3）若该线路每分钟的净收益，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为多少元？ 【答案】（1） （2）3分钟 （3）5分钟，最大净收益为140元． 【解析】 【分析】（1）当时，载客量为；当时，可设，再根据发车时间间隔为2分钟时的载客量解出，即可确定函数关系式； （2）令时的函数解析式即可得解； （3）分别求出与时，每分钟的净收益的表达式，并求出各自的最大值，再比较大小即可得解. 【小问1详解】 依题意，当时，， 当时，，为常数， 由时，，得，解得，则， 所以关于的函数关系式是． 【小问2详解】 若载客量为满载量的一半即，则时， 令，得，解得，故， 所以列车发车间隔至少为3分钟． 【小问3详解】 当时，， 易知该函数在上单调递减， 则当时，， 当时， ，当且仅当时，即时取等号． 而，所以当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为140元． 13. 已知函数为偶函数，． （1）求实数的值； （2）若当时，函数的图像恒在的图像下方，求实数的取值范围； （3）若当时，函数的最大值与最小值的和为2016，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数的运算公式即可求解； （2）“的图像恒在的图像下方”转化为在上恒成立，变形为，最后求出在上的最大值即可； （3）首先求出的解析式，令，利用二次函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以． 代入得：， 即， 即，即， 即（对任意）恒成立，故，解得. 【小问2详解】 “的图像恒在的图像下方”即在上恒成立， 代入得：，整理得：， 化简左边：， 因此不等式变为：， 易知函数在上单调递减，故， 要使不等式恒成立，需，故．即的取值范围. 【小问3详解】 由，得． 又， 所以． 令，由，得，， 当时，；当时，． 由题意，，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高一12月联考 数 学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，则实数和分别等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的值域为 C. 若，则在上单调递减 D. 若，则的值域为 5. 人类已进入大数据时代，数据量已经从TB（1TB1024GB）级别跃升到PB（1PB1024TB），EB（1EB1024PB），ZB（1ZB1024EB）级别．国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2009年全球产生的数据量为ZB，并正以约的年增长率递增．据此估计，全球产生的数据量经过（ ）年将首次突破60ZB（参考数据：）． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 7. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（    ） A. 在起始位置，扇形的面积为 B. 经过，点的坐标为 C. 经过，扇形的弧长为 D. 经过，点在单位圆上第二次重合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 8. 已知函数有4个零点，则实数的取值范围为______. 9. 设为正实数，则的最小值是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 11. （1）计算：． （2）已知，求的值． 12. 某市地铁2号线开通后给市民出行带来便利，经统计，每辆地铁载客量与发车时间间隔（，单位：分钟）相关，当时，地铁为满载状态，载客量为1250人；当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为350人． （1）写出关于的函数关系式； （2）若要求载客量达到满载的一半及以上时地铁才发车，求地铁发车间隔至少为多少分钟； （3）若该线路每分钟的净收益，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为多少元？ 13. 已知函数为偶函数，． （1）求实数的值； （2）若当时，函数的图像恒在的图像下方，求实数的取值范围； （3）若当时，函数的最大值与最小值的和为2016，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $