精品解析：湖北省随州市随县四校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年九年级11月份阶段性诊断练习数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称及中心对称的定义，关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A.是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； B.是中心对称图形而不是轴对称图形，故不符合题意； C.是中心对称图形而不是轴对称图形，故不符合题意； D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义，可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 若且相似比为1：4，则与的面积比为（ ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：16 D. 16：1 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：16， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键． 4. 已知关于x的一元二次方程x2+ax-3a=0的一个根是2，则a等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax﹣3a=0的一个根是2，那么代入方程中即可得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+ax﹣3a=0的一个根是2，∴22+2a﹣3a=0，∴a=4． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可解决问题． 5. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴， 故选：． 6. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 7. 如图，在中，点D、E分别在边、上，下列条件不能满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可． 【详解】A．∵，，∴，满足条件，不符合题意，故A不正确； B．∵，，∴，满足条件，不符合题意，故B不正确； C．∵，无夹角相等，∴不能判定，故C符合题意； D．∵，，∴，满足条件，不符合题意，故D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键． 8. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，则为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】证明，然后利用相似三角形的对应边成比例得，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解答本题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 10. 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①b2＞4ac ②2a+b=0 ③c﹣a＜0 ④若点B（﹣4，y1）、C（1，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（ ） A. ②④ B. ②③ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：①正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∵△=b2﹣4ac＞0．故①正确． ②错误．∵对称轴x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a，2a﹣b=0，故②错误． ③错误．∵开口向下，a＜0，抛物线交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∴c﹣a＞0，故③错误． ④正确．∵点B（﹣4，y1）、C（1，y2）为函数图象上的两点， 利用图象可知，y1＜y2，故④正确． 故选D． 考点：二次函数图象与系数的关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知m是方程的根，则代数式的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根的定义：使等式成立的未知数的值，是方程的根得到：，再利用整体思想进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得： ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．熟练掌握方程的解的定义解题的关键．本题利用了整体思想． 12. 某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则___________，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为___________米． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则， ∴， 解得，， ∴， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为， 故答案为：；． 13. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为__________ . 【答案】9 【解析】 【分析】由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC-BD=AB-3； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE； ∴， 即； 解得AB=9． 故答案为9． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键． 14. 如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取的中点H，连接，则是的中位线，可得，再证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∵是的中线，即点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长相交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及折叠的性质，勾股定理、三角形全等的判定与性质，连接，由折叠的性质可得：，，，得出，证明，得出，设，则，，由勾股定理得出，求出，设，则，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 是的中点， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ， ∵， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）两边都加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方即可； （2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【小问1详解】 解：， ，即， 则， ，； 【小问2详解】 ， ， ， 则或， 解得，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围； （2）由根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知：，， ∴， ∴或， ∵； ∴． 18. 如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在延长线上的D点处，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，则，最后根据即可求解． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转至处，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等． 19. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）将△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 【答案】（1） 如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣3，3）； （2） 解：如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣3，﹣3）． 【解析】 【分析】（1）根据平移方式先分别得到A、B、C对应点的、、的坐标，然后顺次连接、、即可； （2）根据旋转方式先分别得到、、对应点的、、的坐标，然后顺次连接、、即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，熟知点坐标平移和旋转的特点是解题的关键． 20. 如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，则由即可求解,本题主要考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E． （1）求证：△ADE∽△MAB； （2）求DE的长． 【答案】 （1）证明：∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E， ∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°， ∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°， ∴∠BAM＝∠EDA， 在△ADE和△MAB中， ∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM， ∴△ADE∽△MAB； （2）DE＝． 【解析】 【分析】（1）要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB； （2）根据题意和（1）中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题． 【详解】（1）略 （2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点， ∴BM＝， ∴AM＝， 由（1）知，△ADE∽△MAB， ∴， ∴， 解得，DE＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答． 22. 综合与实践 “道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由； （3）当汽车开始刹车多长时间时，汽车行驶的距离． 【答案】（1） （2）该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车 理由：， 当时，汽车停下，此时该汽车行驶的距离为， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． （3）当汽车开始刹车经过时，汽车行驶的距离 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； （2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题； （3）将代入（1）中，解方程，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 抛物线过， 解得 关于的函数解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，即． 解得，． 由（2）可知，汽车开始刹车后，汽车就停下来了， 所以不合题意． 当汽车开始刹车经过时，汽车行驶的距离． 23. 【问题背景】（1）如图，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求的值； 【拓展创新】（3）如图，是内一点，，，，，，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：如图，∵，，， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，根据相似三角形的性质可得，即可得证； （2）根据条件，证明，即可求解； （3）过点作，交于点，连接，证明，可求，，在直角三角形中由勾股定理可求，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为； （3）解：过点作，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接交于点，当时，求点的坐标； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法把代入，解二元一次方程组即可求解； （2）运用待定系数法求直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，得到，证明，得到，根据题意则有，由此解一元二次方程得到的值，代入点坐标即可求解； （3）①根据题意，得到二次函数对称轴直线，点关于对称轴的对称点，由此分类讨论，结合图形分析可得出关于的函数解析式；②根据图示即①中的计算结果进行判定即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，与轴交点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当时，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为， ∴对称轴直线为，即 由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点， ∴， 令时，， 解得，， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，； ②根据题意，当时，，不符合题意，舍去； 当，； 当时，（不符合题意，舍去），； ∴当时，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，动点与函数图象的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级11月份阶段性诊断练习数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若且相似比为1：4，则与的面积比为（ ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：16 D. 16：1 4. 已知关于x的一元二次方程x2+ax-3a=0的一个根是2，则a等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D、E分别在边、上，下列条件不能满足的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，则为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 10. 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①b2＞4ac ②2a+b=0 ③c﹣a＜0 ④若点B（﹣4，y1）、C（1，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（ ） A. ②④ B. ②③ C. ①③ D. ①④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知m是方程的根，则代数式的值为 _____． 12. 某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则___________，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为___________米． 13. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为__________ . 14. 如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为________． 15. 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长相交于点，若，则______． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 18. 如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在延长线上的D点处，求的度数． 19. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）将△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 20. 如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E． （1）求证：△ADE∽△MAB； （2）求DE的长． 22. 综合与实践 “道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由； （3）当汽车开始刹车多长时间时，汽车行驶的距离． 23. 【问题背景】（1）如图，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求的值； 【拓展创新】（3）如图，是内一点，，，，，，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接交于点，当时，求点的坐标； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $