第六章 反比例函数 期末单元复习卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 第六章 反比例函数 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分） 1.若是反比例函数，则必须满足（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据反比例函数的定义求解. 【解答】根据反比例函数的定义．即，只需令，所以． 故选． 2.一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A.B. C.D. 【答案】D 【解析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【解答】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除，选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除选项， 故选：． 3.已知反比例函数，下列结论中不正确的是（    ） A.其图像经过点 B.其图像分别位于第一、第三象限 C.当时，随的增大而增大 D.当时， 【答案】C 【解析】根据反比例函数的图象与性质逐项分析即可． 【解答】解：将代入解析式，得，故正确，不符合题意； 由于，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故正确，不符合题意、错误，符合题意； 时，，且当时随的增大而减小 当时，，故正确，不符合题意， 故选：．  4.下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直接将各点的横坐标代入反比例函数的解析式求出对应的纵坐标的值，再比较即可得出答案． 【解答】解：．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； ．，则不在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； ．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； ．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意． 故选：．   5.某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ） A.4 B.5 C.10 D.0 【答案】A 【解析】根据反比例函数的定义直接求解即可． 【解答】解：由题意，设， ∴ ， ∴ ； ∴ 当时，． 故选：A．  6.若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A.最大值为 B.最大值为 C.最小值为 D.最大值为 【答案】D 【解析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内随增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【解答】解：在反比例函数中，， 反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内随增大而减小， 当时，反比例函数中有最大值， ， ， 当时，则的最大值为，最小值为 故选： ．   7.如图，反比例函数的图像与经过原点的直线相交于，两点，已知点坐标为，那么点的坐标为(        ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：∵ 点与点关于原点对称， ∴ 点的坐标为． 故选． 8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点，，若点的横坐标为，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过点作于点，由勾股定理构造方程求出，，再根据反比例函数图象同时经过顶点，，即可求出答案． 【解答】解：过点作于点， ， 点的横坐标为，， ． 四边形是菱形， ． ， 设，则． ，，． 在中， ， ． 解得：（不合题意，舍去），， ，． 设，则， 反比例函数的图象同时经过顶点，， ． ． ． 故选． 9.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点分别在反比例函数、的图象上，那么矩形的面积可用表示为（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据反比例函数确定出，，利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解，熟知在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线 【解答】解：如图： 四边形是矩形， ，， 四边形，是矩形， 在反比例函数中， ，， ， 点在反比例函数上， ， 在反比例函数中， ，， ， 点在反比例函数上， ， ， 故此题答案为．   10.如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 【解析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， 又是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， 在直线上，则重合， 与的面积不可能相等，故②不正确， 等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.反比例函数的值是________________ ． 【答案】 【解析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键． 根据反比例函数的定义作出判断即可． 【解答】解：反比例函数的值是； 故答案为：． 12.若反比例函数的图象经过点和点，则的值为__________． 【答案】 【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数解析式为：， 把代入得：， 故答案为：．  13.如图，点 在反比例函数 的图象上，过点 作轴于点．若 为 轴上任意一点，则的面积为_______2_______． 【答案】 【解析】本题考查值的几何意义，连接，利用平行等积转化得到的面积等于的面积，再根据值的几何意义即可得出结果． 【解答】解：连接， 轴 轴，即， 的面积等于的面积， 点 在反比例函数 的图象上， 的面积； 的面积为； 故答案为：2 14.如图，点，分别在函数，的图象上，点，在轴上．若四边形为正方形．则点的坐标是____________． 【答案】 【解析】设点的纵坐标为，则点的纵坐标为，根据点，分别在函数，的图象上得，，根据四边形为正方形得，解得，得点的纵坐标为，将代入，进行计算即可得． 【解答】解：设点的纵坐标为，则点的纵坐标为， 点，分别在函数，的图象上， ，， 四边形为正方形， ， ，（舍）， 点的纵坐标为， 将代入得，， ， ， 故答案为：． 15.如图，在中，，点在反比例函数的图像上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，则的值为_______6_____． 【答案】 【解析】连接，如图，过点作轴于点，根据等腰三角形的性质可得，然后证明，由“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得，进而求得，通过解得的面积，最后根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解． 【解答】解：如图，连接，过点作轴于点， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(6分) 为何值时，下列函数是反比例函数？ （1）＝； （2）． 【答案】；． 【解析】（1）根据反比例函数转化为＝的形式可得＝，且，再解即可； （2）根据反比例函数可得，＝，再解即可． 【解答】（1）由题意得：＝，且， 解得：＝； （2）由题意得：，＝， 解得：＝． 17.(6分) 是的反比例函数，下表给出了与的一些值： （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表． 【答案】；；；；；；． 【解析】（1）设反比例函数的表达式为，找出函数图象上一个点的坐标，然后代入求解即可； （2）将或的值代入函数解析式求得对应的或的值即可． 【解答】（1）解：设反比例函数的表达式为，把，代入得，． （2）将代入得：； 将代入得：； 将代入得：； 将代入得：， 将代入得：； 将代入得：， 将代入得：． 18.(7分) 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为时，它的另一边长为． （1）设矩形相邻的两边长分别为，求关于的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为，求这个矩形与之相邻的另一边长． 【答案】，是反比例函数，比例系数为 这个矩形与之相邻的另一边长为 【解析】（1）根据矩形的面积及反比例函数的定义即可求解； （2）把代入中函数解析式求解即可． 【解答】（1）解：设矩形的面积为，则， 即，， 即关于的函数解析式是，这个函数是反比例函数，系数为； （2）解：当时，， 故这个矩形与之相邻的另一边长为． 19.(8分) 已知：反比例函数的图象的一支如图所示．它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）请直接写出当，且时，自变量的取值范围． 【答案】，画图见详解 或 【解析】（1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【解答】（1）解：把点代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 20.(8分) 某科研小组进行野外考察、利用铺垫木板的方式通过一片湿地，根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示． 湿地地面所受压强 400 600 800 1200 1500 受力面积 1.5 1 0.75 0.5 （1）根据数据，当人和木板对湿地地面的压力一定时，求湿地地面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值． （2）若木板的长、宽分别为，，该湿地地面能承受的最大压强为，请你判断站在这块木是否安全？并说明理由． 【答案】， 安全，理由见解析 【解析】（1）用待定系数法可得函数关系式即可； （2）算出，即可求出，比较可得答案． 【解答】（1）解：由表格可知，压强与受力面积的乘积不变， 故压强是受力面积的反比例函数， 设，将代入， 解得 ， ∴ ， 当时，， 解得，即； （2）解：， ∴ ， ∵ ， ∴ 站在这块木是安全的． 21.(10分) 为了预防流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后关于的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】药物燃烧时，关于的函数关系式为；药物燃烧后，关于的函数关系式为 消毒无效，见详解 【解析】（1）设药物燃烧时，即时，关于的函数关系式为，将点代入求解即可；设药物燃烧后，即时，关于的函数关系式为，将点代入求解即可； （2）当两个函数解析式的函数值为时，求得对应时间，计算两个时间的时间差，比较即可． 【解答】（1）解：设药物燃烧时，即时，关于的函数关系式为， 将点代入，可得，解得， 药物燃烧时，关于的函数关系式为； 设药物燃烧后，即时，关于的函数关系式为， 将点代入，可得，解得， 药物燃烧后，关于的函数关系式为； （2）对于函数， 当时，可得，解得， 对于函数， 当时，可得，解得， 空气中每立方米的含药量不低于的持续时间， ， 这次消毒无效． 22.(11分) 小明在研究矩形面积与矩形的边长，之间的关系时，得到下表数据： 结果发现一个数据被墨水涂黑了． （1）被墨水涂黑的数据为___1.5____． （2）与之间的函数关系式为_______（其中），且随的增大而___减少____． （3）如图是小明画出的关于的函数图象，点、均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断和的大小关系，并说明理由． （4）在的条件下，交于点，反比例函数的图象经过点交于点，连接、，则四边形的面积为____ ___． 【答案】 ；减少 ，理由详见解析 【解析】（1）由表格直接可得； （2）在表格中发现，故得到； （3）由反比例函数的几何意义可知，； （4）根据反比例函数的几何意义，得到，，； 【解答】（1）解：从表格可以看出， 墨水盖住的数据是； 故答案为； （2）由，得到， 是的反比例函数，，当时，随的增大而减少； 故答案为；减少； （3）．      ，， ； （4）点在上， ， 点、在上， ，， ； 故答案为4 23.(11分) 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． （1）求和的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】 或 【解析】（1）把点坐标分别代入反比例函数，一次函数，求出、的值，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得出答案； （2）求出直线与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可； （3）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【解答】（1）把点分别代入反比例函数，一次函数， 得，， 解得，， 点也在反比例函数的图象上， ； （2）如图，设直线与轴的交点为， 当时，， ， ； （3），， 根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 24.(11分) 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点的坐标； （3）当时，求的取值范围． 【答案】 或 【解析】（1）先把点代入，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）先求出和长，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，利用得到，列出方程进行求解即可； （3）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图象求解即可． 【解答】（1）解：由题意，将代入中， ， ， ， 将代入反比例函数， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得， ，， ， ，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，， ， ， 即， 解得， 点在第三象限， 点的纵坐标为， 将代入得， ； （3）解：联立和得，， 整理得，， 解得或， 将代入， 一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图象可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， 当时，的取值范围为或．  25.（12分）如图①，直线与双曲线相交于点、，与轴相交于点． 求点、的坐标及直线的解析式； 求的面积； 观察第一象限的图象，直接写出不等式的解集； 如图，在轴上是否存在点，使得的和最小？若存在，请说明理由并求出点坐标． 【答案】；；； 【解析】先确定出点，坐标，再用待定系数法求出直线解析式； 先求出点，坐标，再用面积的差即可得出结论； 先确定出点的位置，利用三角形的三边关系，最后用待定系数法求出解析式，即可得出结论． 【解答】解：点、在双曲线上， ，， ，， 点，在直线上， ， ， 直线的解析式为； 如图， 由知，直线的解析式为， ，， ，， ； 由知，，， 由图象知，不等式的解集为； 存在，理由：如图， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，在轴上取一点，连接，， 点与点关于轴对称， 点，是的中垂线上的点， ， ， 在中， 的最小值为， ， ， 直线的解析式为， 令， ， ， ． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 第六章 反比例函数 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分） 1.若是反比例函数，则必须满足（    ） A. B. C. D. 2.一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A.B. C.D. 3.已知反比例函数，下列结论中不正确的是（    ） A.其图像经过点 B.其图像分别位于第一、第三象限 C.当时，随的增大而增大 D.当时， 4.下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A. B. C. D.  5.某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ） A.4 B.5 C.10 D.0  6.若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A.最大值为 B.最大值为 C.最小值为 D.最大值为  7.如图，反比例函数的图像与经过原点的直线相交于，两点，已知点坐标为，那么点的坐标为(        ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点，，若点的横坐标为，，则的值为（    ） A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点分别在反比例函数、的图象上，那么矩形的面积可用表示为（      ） A. B. C. D.   10.如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.反比例函数的值是____________ ． 12.若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________．  13.如图，点 在反比例函数 的图象上，过点 作轴于点．若 为 轴上任意一点，则的面积为__________． 14.如图，点，分别在函数，的图象上，点，在轴上．若四边形为正方形．则点的坐标是___________． 15.如图，在中，，点在反比例函数的图像上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，则的值为_________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(6分) 为何值时，下列函数是反比例函数？ （1）＝； （2）． 17.(6分) 是的反比例函数，下表给出了与的一些值： （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表． 18.(7分) 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为时，它的另一边长为． （1）设矩形相邻的两边长分别为，求关于的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为，求这个矩形与之相邻的另一边长． 19.(8分) 已知：反比例函数的图象的一支如图所示．它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）请直接写出当，且时，自变量的取值范围． 20.(8分) 某科研小组进行野外考察、利用铺垫木板的方式通过一片湿地，根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示． 湿地地面所受压强 400 600 800 1200 1500 受力面积 1.5 1 0.75 0.5 （1）根据数据，当人和木板对湿地地面的压力一定时，求湿地地面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值． （2）若木板的长、宽分别为，，该湿地地面能承受的最大压强为，请你判断站在这块木是否安全？并说明理由． 21.(10分) 为了预防流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后关于的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 22.(11分) 小明在研究矩形面积与矩形的边长，之间的关系时，得到下表数据： 结果发现一个数据被墨水涂黑了． （1）被墨水涂黑的数据为_____． （2）与之间的函数关系式为______（其中），且随的增大而_______． （3）如图是小明画出的关于的函数图象，点、均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断和的大小关系，并说明理由． （4）在的条件下，交于点，反比例函数的图象经过点交于点，连接、，则四边形的面积为_______． 23.(11分) 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． （1）求和的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 24.(11分) 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点的坐标； （3）当时，求的取值范围． 25.（12分）如图①，直线与双曲线相交于点、，与轴相交于点． 求点、的坐标及直线的解析式； 求的面积； 观察第一象限的图象，直接写出不等式的解集； 如图，在轴上是否存在点，使得的和最小？若存在，请说明理由并求出点坐标． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $