精品解析：江西省（上进联考）2025-2026学年高三上学期12月高考模拟诊断考试数学试卷

江西省2025—2026学年高三12月高考模拟诊断考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、平面向量、复数、立体几何、数列. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则 （　　） A. B. C. -6 D. 6 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. “函数的图象关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正方体中， ，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位： ）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为和，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，满足：①，是两个相互垂直的单位向量；②.若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内，所对应的点位于第一象限 C. D. 10. 已知正四面体的外接球表面积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 正四面体的体积为 D. 正四面体的内切球体积为 11. 已知点满足，则（ ） A. B. 直线 与点的轨迹有两个交点 C. 点可能在第三象限 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象的对称中心的坐标为_____. 13. 已知圆台的侧面展开图是面积为4π的半个圆环（如图所示），记圆台的上、下底面积分别为，，若，则_____ 14. 已知数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知函数. （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若，求在区间上的最小值. 16. 如图，长方体中，，过点B，D作平面与直线平行，且与棱交于点E，点F是线段上靠近的三等分点. （1）直接给出的值（不必说明理由），并求平面截长方体所得截面的面积； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知平面四边形如图所示，其中，， . （1）若，，求的面积； （2）求的取值范围. 18. 已知等差数列的前项和为，其中，. （1）求数列的通项公式； （2）将数列以及中的所有项按照从小到大的顺序进行排列后，得到新数列. （i）求数列的前项和； （ii）比较与32的大小关系，并说明理由. 19. 已知函数． （1）若 ，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，且，证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2025—2026学年高三12月高考模拟诊断考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、平面向量、复数、立体几何、数列. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合并集定义可得 【详解】因为 所以, 故选：B 【点睛】 2. 已知向量，若，则 （　　） A. B. C. -6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，解得． 故选：A 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前项和公式和通项公式分析计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为 . 当时， ，不满足，舍去； 当时，， 所以， 所以，解得. 所以. 故选：C. 4. “函数的图象关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由的图象关于点，得出值表达式，与比较即可. 【详解】由函数的图象关于点对称，可得， 解得. 设，则是的必要不充分条件，故B正确. 故选：B. 5. 已知正方体中， ，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可求解. 【详解】由题意：以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 所以点C到平面的距离为, 故选：C. 6. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位： ）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别列出两种情况下飞行器运动速度与马赫数和音速的关系式，化简整理可得. 【详解】由题可知，，，即 ，，则得，. 则，故A正确，B错误. 而，， 则，C和D错误. 故选：A. 7. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数知识，即可得到与的大小关系，通过构造函数，利用单调性即可推导出与的大小关系，进一步比较即可. 【详解】由三角函数线知识可知，当时，， 故. 令， 则 故在上单调递减，则. 故，即，故. 综上，. 故选：A. 8. 已知平面向量，，满足：①，是两个相互垂直的单位向量；②.若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先建立坐标系，用坐标表示向量，再求出的坐标并计算的值，最后通过换元求出的取值范围即可. 【详解】 ，是两个相互垂直的单位向量，设， ， 又，，，， 又，， ，， ， 令，则， 又，， ， 则，其中， 又在上单调递增， 当时，取最小值，即， 又恒成立，，即. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内，所对应的点位于第一象限 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可设，根据模长条件求出，然后根据复数性质逐一判断各个选项. 【详解】由题意，设， 则， 即，解得， 所以，其虚部为，对应的点为在第一象限，所以A错误，B正确； ,所以,，所以C错误，D正确. 故选：BD 10. 已知正四面体的外接球表面积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 正四面体的体积为 D. 正四面体的内切球体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用“正四面体棱长，高，外接球半径，内切球半径之间的比例关系”，先求出棱长，进而逐项判断. 【详解】由正四面体基本性质可知，正四面体的对棱互相垂直，而和为一组对棱， 所以，故A正确. 设正四面体的棱长为，则正四面体的高，由正四面体性质可知， 外接球半径，所以外接球表面积，解得棱长，故B正确. 因为正四面体棱长为，则底面积，而高， 所以正四面体的体积，故C错误. 由正四面体性质可知，内切球半径， 所以内切球体积，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知点满足，则（ ） A. B. 直线 与点的轨迹有两个交点 C. 点可能在第三象限 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指对运算并结合选项进行化简整理判断选项；通过构造函数和假设法，推出与已知相矛盾的结论来判断选项；通过适当构造函数判断的范围. 【详解】因为，所以， 对于选项，若，代入上式可得， 等式成立，所以选项正确. 对于 选项，由选项可知，直线 ，即， 设此时，代入原式得轨迹方程化为 ，令， 易得，得，所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值为， 根据零点存在定理，函数有两个零点，即方程有两个不同的实数解， 所以直线 与点的轨迹存在两个交点，故 选项正确. 对于 选项，若点在第三象限，则，那么， 与条件对数函数中相矛盾，所以点不可能在第三象限.故 选项错误. 对于选项，根据选项，由于， 所以， 令， 所以，接下来只需求的范围即为的范围. 令，当在上单调递增；当在上单调递减， 所以当时，，则，故选项正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象的对称中心的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将原函数分离常数，便可通过平移变换得到对称中心. 【详解】因为函数， 所以是由先向右平移，再向上平移得到的.而函数的对称中心为， 所以的对称中心为. 故答案为： 13. 已知圆台的侧面展开图是面积为4π的半个圆环（如图所示），记圆台的上、下底面积分别为，，若，则_____ 【答案】2 【解析】 【分析】设半圆环中内半圆，外半圆半径分别为： ，圆台上下底面半径分别为., 由题可得， ，据此可得答案. 【详解】设半圆环中内半圆，外半圆半径分别为： ，圆台上下底面半径分别为.由题可得：内，外半圆弧长与上，下底面圆周长对应相等， 则.. 因侧面展开图面积为，则. 从而. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】求出数列前项和为，代入不等式，分离参数即可得。 【详解】因为数列的前项和为，所以， 所以恒成立即为， 化简得，即， 因为该不等式需对恒成立， 所以的取值必须大于等于的最大值，即，其中， 记， 因为， 所以当时，，即， 计算前几项得， 所以 时，的值最大，最大为，故， 的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知函数. （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若，求在区间上的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由在区间上恒成立求解； （2）由，求出函数的导数，根据导数与函数极值的关系，即可求解. 【小问1详解】 因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 则在区间上恒成立， 令，则， 所以； 所以实数的取值范围； 【小问2详解】 当时，， 则，得或， 当或时，；当时，， 则在上均单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值 ， 当时，取得极小值， 又， 所以在区间上的最小值是. 16. 如图，长方体中，，过点B，D作平面与直线平行，且与棱交于点E，点F是线段上靠近的三等分点. （1）直接给出的值（不必说明理由），并求平面截长方体所得截面的面积； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间直线与平面平行的定义，确定比值；结合题意确定截面三角形并计算出三边长度，发现三边相等，运用正三角形面积公式得出截面面积即可. （2）建立空间直角坐标系，计算出直线的方向向量以及平面的法向量，运用公式求解两者所成角的正弦值即可. 【小问1详解】 由题可知；连接,连接. 因为，平面，不在平面内，又因为平面 平面， 所以.在中，为中点，所以为中点，即. 根据题意截面过三点，所以截面即为. 因为,所以. 因为， 则为中点，所以在长方体中，由几何关系可得， 所以为等边三角形，故的面积为即为截面面积. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 所以， 设平面的一个法向量为，则，所以， 令，则. 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角正弦值为. 17. 已知平面四边形如图所示，其中，， . （1）若，，求的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由余弦定理可求； (2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得： ，所以, 所以或，因为，所以 所以. 即的面积为. 【小问2详解】 设， 在中，，所以， 由正弦定理：，即， 所以， 在中，,, 由正弦定理，所以， 所以， 所以，化简得， 所以， 因为，所以 ， 在中， , 所以，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为，即. 所以的取值范围为. 18. 已知等差数列的前项和为，其中，. （1）求数列的通项公式； （2）将数列以及中的所有项按照从小到大的顺序进行排列后，得到新数列. （i）求数列的前项和； （ii）比较与32的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意可列出方程组，即可求解; （2）（i）由，从而可得数列为首项为，公差为的等差数列，即可求出； （ii）由，再结合裂项相消求和，从而可求解. 【小问1详解】 设等差数列的通项公式，由，， 则，解得，所以. 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 （i）由，则得，则， 因为，所以新数列为， 则数列为首项为，公差为的等差数列，则 所以， （ii）由，所以， 所以， 又因为， 所以. 19. 已知函数． （1）若 ，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，且，证明： ． 【答案】（1） （2）当时， 在区间上单调递减，在区间 上单调递增； 当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）证明：令 ，则 ， 令 ，故， 令 ，解得． 故当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 故 ，即 在区间 上单调递减，且 ． 又 ，所以， 令 ，， 则 ，， 令 ，， 则 ， 所以函数在区间 上单调递增，且 时， ，所以 ，即 所以函数在区间 上单调递减，且 时， ，所以 ， 所以当时， ，所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 因为函数 在区间 上单调递减，所以，即 ． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）令 ，根据 的单调性以及 ，得出，然后令 ，， 通过二次求导证明出 ，结合 即可得证. 【小问1详解】 依题意， ， ，则 ， 而 ，故所求切线方程为 . 【小问2详解】 依题意， 的定义域为 ， 令 ，得， 若，则当时， 单调递减； 当 时， 单调递增； 若，则当时， 单调递增； 当时， 单调递减． 综上所述，当时， 在区间上单调递减，在区间 上单调递增； 当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $