江西省名校2025-2026学年高三上学期期中数学试卷

2025-2026学年江西省名校高三（上）期中数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知随机变量，则“”是“”(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2.设全集，，则使成立的集合B至多有个. A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3.在中，D是BC的中点，若，则(    ) A. B. C. D. 4.已知，则(    ) A. B. C. D. 5.已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，等差数列的公差为若，则(    ) A. B. C. D. 7.已知b是a，c的等差中项，直线与圆C：交于A，B两点，若弦的最小值为4，则实数t的值为(    ) A. 24 B. 19 C. D. 8.已知，则下列式子一定成立的是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.给出下列四个命题，正确的有(    ) A. 已知复数z满足，则复数z的虚部为 B. 在展开式中，常数项为15 C. 当实数时，的最小值为16 D. 甲乙丙等5人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有16种 10.已知函数的部分图象如图所示，则(    ) A. 图象在点处的切线方程为 B. 的最小正周期为 C. 若关于x的方程在上有两个不同的实根，则a的取值范围 D. 方程在上有2个解 11.若点N为点M在平面上的正投影，则记如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面ABCD为，点P是线段上一动点，，则下列说法正确的是(    ) A. 线段长度的取值范围是 B. 存在点P使得平面 C. 不存在点P使得 D. 存在点P使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，，若，则      . 13.已知函数，则        . 14.在中，D，E为边BC上的两点，且满足，，则        ，若，则的面积最大值为        . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在“一带一路”倡议推动下，中国与中亚国家合作日益紧密年，某省计划向海外“郑和学院”项目派遣教师，为此举办了专项教学能力培训.参会人员包括600名高职院校教师和400名企业工程师转岗教师.培训后均参加教学能力考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计得到如下列联表： 高职院校教师 企业工程师 总计 优秀 350 170 520 合格 250 230 480 总计 600 400 1000 根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与教师背景类型有关？ 若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10人中随机抽取3人进行海外教学意愿调研，设抽取的3人中企业工程师的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，其中 16.本小题15分 如图，在等腰梯形PABC中，，，，D为边PC上靠近点P的三等分点，现将三角形PAD沿AD翻折，得到四棱锥，使得，M为棱的中点. 证明：平面； 求二面角的正弦值. 17.本小题15分 已知数列满足：，，数列满足 若，求数列的通项公式； 若数列不是等比数列，证明：数列一定是等差数列； 若数列是等比数列，为其前n项和，且对任意正整数n，都有，求实数a的取值范围. 18.本小题17分 已知椭圆的短轴长为2，与双曲线有相同的左右焦点、，点，是椭圆上的动点，，的延长线的交点在椭圆C上. 求椭圆C的方程； 若点的纵坐标为，求内切圆的方程； 设，分别为，的内切圆半径，证明： 19.本小题17分 已知函数有四个不同的单调区间. 求实数c的取值范围； 若存在实数c，使得函数在区间上单调递减，求实数t的取值范围； 若，函数，函数的图像上一点A处的切线与的图像交于点B，过点A的直线与的图像相切于点D，证明：对任意实数c，点A、点D、点B的横坐标依次成等差数列. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：随机变量， 故，可得，解得 故“”是“”的充要条件． 故选： 由对称性求出m，进而求解结论． 本题主要考查正态分布的对称性以及充分必要条件的判断，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：因为全集，， 根据，可知4，，即4，， 所以，，，，，，，共有8种可能． 故选： 利用列举分析可知选项． 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：由，可得E为线段AD的中点，即BE为的中线， 结合，可得， 根据题意，可得，，所以 故选： 根据D是BC的中点，E为AD的中点，可得，结合，由平面向量基本定理求出、的值，进而可得本题答案． 本题主要考查了向量的线性运算法则、平面向量基本定理等知识，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：由题意得，所以， 因为， 所以，C项符合题意． 故选： 根据同角三角函数的平方关系算出，然后根据商数关系、两角差的正弦公式化简，算出，进而可得本题答案． 本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 5.【答案】A  【解析】解：令，则为奇函数， 又恒成立，即在R上单调递增， 由可得， 即， 所以，解得 故选： 结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题． 6.【答案】A  【解析】解：由，得， ，可得， … ， … 故选： 由已知函数解析式结合求得，再求…的值，代入对数式得答案． 本题考查等差数列的通项公式，考查了对数的运算性质，是中档题． 7.【答案】B  【解析】解：因为b是a，c的等差中项，所以，即， 将其代入直线方程，整理得， 所以直线恒过定点， 圆C：配方得：， 所以圆心为，半径， 因为圆的弦长为圆心到直线的距离， 所以当d最大时，最小， 因为过定点P的直线与圆相交，所以圆心到直线的最大距离为到圆心C的距离， 因为，所以， 因为弦长的最小值为4，所以，解得 故选： 由等差中项公式可得，求出直线所过定点，由圆的弦长公式建立方程，求解即可． 本题考查圆的弦长公式的应用，直线过定点的求解，等差中项公式的应用，属于中档题． 8.【答案】D  【解析】解：由，得，所以 A：若，则，得， 当时，，所以不一定成立，故A错误； B：若，则， 得，即，又，所以此不等式不成立，故B错误； C：当时，不等式成立， 当时，不等式成立，故C错误； D：若，则，即， 设，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增，且， 所以当时，，成立，故D正确． 故选： 由题意可得，根据指数不等式，举例说明即可判断A；根据对数的运算性质和指数函数的图象与性质即可判断B；解一元二次不等式即可判断C；根据指数、对数的运算性质可得，结合导数研究函数的性质即可判断 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查逻辑推理能力，属于难题． 9.【答案】BCD  【解析】解：对于A，，虚部为，A错误； 对于B，常数项为，B正确； 对于C，当时，原式展开为，当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D，由题意知甲在乙丙之间，则排法有，D正确． 故选： 结合选项分别分析即可． 本题主要考查基本概念和运算，属基础题． 10.【答案】ACD  【解析】解：由图象可以看出函数经过点，， 所以有，因为，解得， 所以， 对函数求导得，所以， 而，所以图象在点处的切线方程为，即，所以A正确； 因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以B错误； 因为，所以，函数图象如下： ，，， 由图可以看出，要使得在上有两个不同的实根， 则直线和在有两个交点，则，所以C正确； 因为，所以，所以， 画出和在上的图象为： 可以看出在上有两个解，所以D正确． 故选： 对A，求导后代入横坐标得到切线斜率，再写出直线方程即可，对B，根据带绝对值的余弦型函数的周期结论即可判断；对C，利用整体换元法并转化为直线与余弦型函数交点个数问题即可；对D，直接作出两三角函数图象即可判断． 本题考查了三角函数的图象及性质，是中档题． 11.【答案】BCD  【解析】解：如图：取的中点为，过点P在平面内作， 再过点E在平面内作，垂足为点， 在正方体中平面，平面，所以， 又因为，，AD，平面， 所以平面，即，所以， 同理可证，， 则，， 以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 对于A，，由， 则，则， 所以线段长度的取值范围是，故A错误； 对于B，因为，则平面的一个法向量为， 又有，令， 即，解得， 即存在点P，使得平面，故B正确； 对于C，，令， 整理得：，该方程无实数解， 所以不存在点P使得，故C正确； 对于D，当P为点C时，为CD的中点， 又为的中点， 所以，又，所以， 所以存在点P使得，故D正确． 故选： 以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，设点P的坐标为，求出点，的坐标，然后利用向量法判断出ABCD的正误即可． 本题考查了空间线段长度的计算、线面平行、线面垂直和线线垂直的应用计算，属于难题． 12.【答案】  【解析】解：由题意可知，， 由，得，解得， 所以 故答案为： 根据给定条件，利用向量坐标运算求出x，再利用坐标求出向量的模． 本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：由函数，可得， 即有，即， 则，， 所以 故答案为： 对函数，求导可得，再令，即可解得，再将代入函数和导函数求解即可． 本题考查了导数的运算，是基础题． 14.【答案】 12   【解析】解：根据题意，可知，如图， 不妨设，， 分别记，，，的面积为，，，， 则①， ②， 由①，②两式左右分别相乘可得：， 所以； 以B为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则，设，，则， 即，化简得，， 在图中作出其轨迹，根据圆关于x轴对称，可取x上半部分进行研究， 根据的底，则当的高最大时，其面积最大， 显然当点A位于圆的最高点时面积最大，此时其高等于圆的半径4， 此时三角形面积为 故答案为：； 结合题意，利用三角形面积比可得的值；再利用坐标法求出点A的轨迹为圆，再结合圆的性质可得解． 本题考查了解三角形及圆的有关轨迹问题，属于难题． 15.【答案】能认为这次考核结果与教师背景类型有关  的分布列为： X 0 1 2 3 P   【解析】解：零假设为：这次考核结果与教师背景类型无关， ， 查临界值表，对应的临界值， 由于，故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为这次考核结果与教师背景类型有关，此推断犯错的概率不大于； 分层抽样时，总抽取比例为600：：2， 因此：高职院校教师抽取人数：人，企业工程师抽取人数：人， 从10人中抽取3人，设企业工程师人数为X， 则X服从超几何分布，可能取值为，1，2，3， 则， ， ， ， 则X的分布列为： X   0 1   2  3  P         数学期望由超几何分布性质得： 根据卡方的计算公式，结合独立性检验的思想即可下结论； 易知，1，2，3，利用超几何分布求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望，即可求解． 本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题． 16.【答案】证明：取PD的中点N，连接MN，AN， 因为中，M，N为所在边的中点， 所以，， 在梯形ABCD中，，， 所以，， 所以，， 所以四边形ABMN是平行四边形， 所以，又平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD    【解析】解：证明：取PD的中点N，连接MN，AN， 因为中，M，N为所在边的中点， 所以，， 在梯形ABCD中，，， 所以，， 所以，， 所以四边形ABMN是平行四边形， 所以，又平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD； 由题意，在等腰梯形PABC中，，，D为边PC上靠近点P的三等分点， 所以，， 即，，又， 因此，以D为坐标原点，以DA，DC，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，，，由勾股定理易得， 则，，，， 又M为棱的中点，所以，， 则，， 因为，，即，平面PDC， 所以平面， 所以平面的一个法向量 设平面BMD的一个法向量， 则， 令，则，， 所以平面BMD的一个法向量 记二面角的平面角为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为 先证明四边形ABMN是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明； 建立空间直角坐标系得出平面MDP和平面BMD的法向量即可得出面面角的余弦值，最后同角三角函数关系求解正弦． 本题考查平行线面的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 17.【答案】  由知，又， 所以①当时，，由上可知， 此时数列是以为首项，为公比的等比数列，不合题意，舍去． ②当时，，此时不是等比数列，则， 有， 所以当数列不是等比数列时，数列一定是等差数列    【解析】解：由题意得 因为 ，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 证明：由知，又， 所以①当时，，由上可知， 此时数列是以为首项，为公比的等比数列，不合题意，舍去． ②当时，，此时不是等比数列，则， 有， 所以当数列不是等比数列时，数列一定是等差数列； 解：由知当时，数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，于是可得， 要使对任意正整数n成立，即 得① 令，则 当n为正奇数时，随n增大而减少，所以； 当n为正偶数时，随n增大而增大，所以， 的最大值为的最小值为， 于是，由①式得解得 综上，实数a的取值范围是 根据条件写出即可求出数列的通项公式； 根据等差数列与等比数列的定义求证即可； 根据等比数列的前n项和公式列出不等式关系求实数a的取值范围． 本题主要考查等差数列、等比数列等知识，属于难题． 18.【答案】    证明：因为 ， 直线的方程为， 联立，消去y可得， 所以，得， 所以， 同理可得， 所以 ，当且仅当取等号， 则，即当P为时可取等， 所以的最大值为，又， 所以  【解析】解；由题可得，所以， 又，所以，， 故椭圆C的标准方程为； 因为点的纵坐标为，则， 又，故抽， 由对称性知，内切圆圆心在x轴正半轴上，且是切点， 所以， 且的周长为， 又， 则，内切圆的圆心为， 所以内切圆的方程为； 证明：因为 ， 直线的方程为， 联立，消去y可得， 所以，得， 所以， 同理可得， 所以 ，当且仅当取等号， 则，即当P为时可取等， 所以的最大值为，又， 所以 求出双曲线焦点，从而求出a，b，可求出椭圆方程； 由对称性知，内切圆圆心在x轴正半轴上，且是切点，利用面积法可求得内切圆半径，进而可求得内切圆方程； 得到直线PF的方程为，与椭圆方程联立后得到的坐标，同理求出的坐标，根据，的面积表达出，利用基本不等式求出的最大值，从而得到答案． 本题考查了双曲线的性质，椭圆的性质及方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题． 19.【答案】    证明：由题意得，则， 知在上递增，在上递减，在上递增． 不妨设，则， 曲线在A处的切线方程为， 由，整理得， 解得或， 所以点， 设点，则曲线在D处的切线方程为， 代入，得， 整理得，解得， 所以， 所以，，， 又， 所以对任意实数C，点A、点D、点B的横坐标依次成等差数列  【解析】解：因为函数有四个不同单调区间， 所以函数有三个极值点，所以有三个互异的实根． 设，则， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以函数在时取极大值，在时取极小值． 当或时，最多只有两个不同实根． 因为有三个不同实根，所以，且， 即，且，解得，且 故，即c的取值范围是 由的证明可知，当时，有三个极值点． 不妨设为，，， 注意到，， 所以， 则， 所以的单调递减区间是 若在区间上单调递减，则或 若\([t-1,t+1]⊆(-∞,x_{1}],\)则\(t+1\leqslant x_{1}.\text{又}-5\ltx\)_\(\{1\}\lt-3\)，于是\(t\lt\$-4.\) 若，则，且，又，， 所以，且，即， 故或 反之，当或时，总可找到， 使在区间上单调递减． 综上所述，t的取值范围是 证明：由题意得，则， 知在上递增，在上递减，在上递增． 不妨设，则， 曲线在A处的切线方程为， 由，整理得， 解得或， 所以点， 设点，则曲线在D处的切线方程为， 代入，得， 整理得，解得， 所以， 所以，，， 又， 所以对任意实数C，点A、点D、点B的横坐标依次成等差数列． 由题意有3个零点，设，求导结合单调性、零点存在定理分析即可； 由，讨论与的单调减区间的关系即可； 设切点A的坐标，写出切线的方程，与联立，以A的坐标表示出B点坐标，再设切点D的坐标，写出切线方程，代入点A的坐标，以A的坐标表示出D点坐标，最后根据等差数列的定义判断即可． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $