4.4一次函数的应用第3课时（课件）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦两个一次函数的实际应用，涵盖图象信息获取、参数（k和b）实际意义及交点应用等核心知识点。通过龟兔赛跑故事导入，从生活情境过渡到数学问题，以问题链（识图、求表达式、参数意义）搭建学习支架，帮助学生逐步掌握数形结合方法。 其亮点在于以情境教学和问题驱动为主线，结合数学眼光（从龟兔赛跑抽象函数关系）、数学思维（通过销售收入与成本函数推理盈利条件）、数学语言（用函数表达式解决追及和费用比较问题）。采用协作交流与教师示范结合的教学方法，学生能直观理解k和b的实际意义，提升应用意识，教师可借助清晰流程和实例提高教学效率。

第四章 一次函数 第4课 一次函数的应用 第3课时 两个一次函数的实际问题 2024版北师大数学八年级数学上册 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 学习目标 1.通过观察图象，体会从图象获取信息的方法，进而利用这些信息解决涉及两个一次函数的问题. 2.关注图象与坐标轴的交点、参数（k和b）的实际意义，以及两个图象交点的实际意义、两个函数对应参数比较等. 3.对过对解决问题过程的反思，加深对函数与方程关系的理解，感受数形结合思想的数学魅力. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 情境启航 问题：对于两个一次函数图象出现在同一坐标系中如何从中获取信息呢？ 故事梗概：​​ ​开端​：飞快的兔子和慢吞吞的乌龟比赛跑步. ​经过​： 发令枪一响,兔子像箭一样冲了出去,很快就把乌龟远远甩在后面. 兔子回头看不到乌龟,觉得胜利十拿九稳,于是决定在路边一棵大树下先睡一觉. ​结局​： 乌龟虽然速度慢,但一步不停,坚持不懈地爬呀爬. 它慢慢地超过了熟睡的兔子,最终率先到达终点,赢得了比赛. ​​ 坚持不懈比天赋异禀更重要；骄傲自大会导致失败​ 4 问题构建 如图 ,表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系, ​表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. 根据图象回答问题： (1)当销售量为2t时,销售收入=______元，销售成本=______元. (2)当销售量为6t时,销售收入=______元，销售成本=______元. 2000 3000 6000 5000 (3)当销售量等于______时，销售 收入等于销售成本. 等于4t 问题1：以上3个问题你是怎样解决的？ 观察图象，找对应点解决问题. 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 问题构建 如图 ,表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系, ​表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. （4）当销售量______时,该公司赢利（收入大于成本）；当销售量______时,该公司亏损（收入小于成本）. （5）当销售量等于______t时,该公司赢利（收入减成本）1000元. 大于4t 小于4t 6 问题2：以上2个问题你是怎样解决的？ 观察图象，对比两个函数之间的关系解决问题. 问题构建 如图 ,表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系, ​表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. (6)​和对应的函数表达式是什么？ 解：设的表达式为，把点A(4,4000)代入得： 4=4000，因此=1000， 所以(0) 设的表达式为,把点(0,2000)和点A(4,4000)代入得： =2000① =4000② 把①代入②得：=500 所以(0) 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 问题构建 如图 ,表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系, ​表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. 问题？ k 的值,也可以依据图象变化的 “均匀” 性求解(销售量每增加 1t,销售收入都增加 1000 元)对于后者,可以由与纵轴交点的纵坐标确定其对应的函数表达式中b的值;k的值也可以依据图象变化的 “均匀” 性求解(销售量每增加 1t,销售成本都增加 500 元） 协作破冰 (7)你能借助(6)的结论求解(5)吗？ 如图 ,表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系, ​表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. 当然可以. ( 解得： 反思：解决问题时,可以尝试借助方程和数形结合思想从不同角度、不同方法思考解决问题. 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 协作破冰 问题4:前面的题目中,设 ​ 对应的一次函数为​, 和  ​ 的实际意义各是什么？设 ​ 对应的一次函数为​ ​,和的实际意义各是什么？与同伴进行交流. ​的实际意义:销售量每增加 1t,销售收入的增加额,或者说每吨产品的销售收入(1000 元). ​的实际意义:销售量为 0t 时的销售收入(0 元). ​的实际意义:销售量每增加 1t,销售成本的增加额,或者说每吨产品的销售成本(500 元) 的实际意义:销售量为 0t 时的销售成本(2000 元). 协作破冰 例3 :下图是某景区游览路线示意图.甲在观景台 1 联系乙,发现乙在观景台2,于是沿着游览路线追赶乙.另一幅图中  ​分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s(单位:m)与追赶时间t(单位:min)之间的关系. 假设甲、乙两人保持现有的速度,根据图象回答下列问题： (1)哪条线表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系？ 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 协作破冰 观察图象可得，两个一次函数图象没有相交,延长相交后可找到30min对应点，进行快速判断. (2)甲和乙哪个人的速度快？ 甲的速度快 (3)30 min 内甲能否追上乙？ 观察图象，可以轻易看出，30min时的对应点位于的对应点下方，所以甲尚未追上乙 教师示范 (4)到达观景台 3 后道路分岔,甲能否在到达观景台 3 前追上乙？ 观察右侧图象可得, 与 交点 P 的纵坐标小于 (800+1300)=2100,这说明,甲能在到达观景台 3 前追上乙. 思考：能否借助函数关系解决本问中的问题，请同学们下课后试一试. 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 教师示范 (5)设​与​对应的两个一次函数分别为​与​, ​,​的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 解：设的表达式为把点(20,1000)代入得： =1000，因此=50， 所以 设的表达式为,把点(0,800)和点 (20,1400)代入得： =800① =1400② 把①代入②得：=30 所以 教师示范 (5)设​与​对应的两个一次函数分别为​与​, ​,​的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 表示甲的速度,​表示乙的速度.甲的速度是 50 m/min，乙的速度是 30 m/min. 问题5：只计算甲乙两人的速度，你还有其他方法吗？ =1000÷20=50m/min =(1400-800)÷20=30m/min 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 教师示范 问题6：回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？ 应用一次函数解决问题时,不同方法各有特点与优势. 从函数表达式角度,通过设一次函数,利用已知点坐标代入求解k和b,能精准得到函数关系,进而分析问题,这种方法逻辑严谨,依托代数运算,适合有明确数据点的情况. 从图象角度,借助函数图象的 “均匀” 变化性,可以直观地理解k(代表变化速率,像速度、单位产量的收入或成本等)和b(代表初始值,如初始路程、初始收入或成本等)的实际意义,能快速把握问题中量的变化规律,还可通过图象交点、走势等直观判断问题结果(如追及问题中是否追上、何时追上) 不同方法相互补充,代数方法精准计算,图象方法直观理解，结合使用能更全面、高效地解决一次函数相关的实际问题，也有助于加深对一次函数性质和实际意义的理解. 巩固拓展 问题7：依据本节课所学习的知识，观察龟兔赛跑的图象，你能否提出一些相关的问题给你的同学解答？ 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 巩固拓展 应用一次函数解决问题的一般步骤 一次函数应用问题 第一步：审题与识图 第二步：确定变量与坐标意义 第三步：获取关键信息 问题类型判断 得出结论 求特定值 求交点或比较 求函数关系式 读取坐标或代入 分析交点或趋势 待定系数法 当堂检测 1.如图，射线， 分别表示甲、乙两名运动员在自行 车比赛中所行路程与时间 的函数图象，则 他们行进的速度关系是( ) B A. 甲、乙同速 B. 甲比乙快 C. 乙比甲快 D. 无法确定 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 当堂检测 2.小明和小亮相约从学校前往博物馆，小明因有事， 比小亮晚一些出发.如图，， 分 别是小明、小亮行走的路程与小明追赶时间 之间的关系图象. （1）观察图象可知，小亮比小明先走了______ . 当堂检测 （2）求，的值，并解释 的实际意义. 解：将点代入，得 . 根据题意，得 ，① .② 将①代入②，得 . 的实际意义是小亮的速度是 . 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 当堂检测 3.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠. 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折 优惠. 设某学生暑期健身次数为 （次），按照方案一所需费 用为（元），且 ；按照方案二所需费用 为（元），且 .其函数图象如图所示. 当堂检测 （1）求， 的值，并说明它们的实际意义. 解：根据题意，得 ，① .② 把①代入②，得 . 表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用 为15元， 表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡的费用为30元. 解决几何不等式相关问题时，实验是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地放大。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分组分解法时，通常会强调统计化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解二次根式的本质有助于更好地诊断。 当堂检测 （2）求打折前的每次健身费用和 的值. 解：由题意可得，打折前的每次健身费用为 （元）. . 你还能想到别的解决办法吗？ 当堂检测 （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次， 应选择哪种方案所需费用更少？说明理由. 解：选择方案一所需费用更少.理由如下： 由（1）（2）可知，， . 当 时， 选择方案一所需费用： ； 选择方案二所需费用： . ， 选择方案一所需费用更少. $