精品解析：河南省南阳市桐柏县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋期期中学情调研 九年级数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算规则． 根据二次根式的性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：和不是同类二次根式，不能直接相加，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误； 故选：C． 2. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，根据，进一步即可得到答案． 详解】解：如图，，，， ∴， ∴这棵树在折断前的高度为（米）． 故选：A． 3. 关于x的方程有两个根为、，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键 根据一元二次方程根与系数的关系，即“”直接计算两根之和即可 【详解】解：由根与系数的关系，两根之和为：． 故选：D ． 4. 如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的周长，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长． 根据于F，于E，M为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出和的长，即可求解． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴的周长． 5. 已知，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键． 【详解】解：A.整理得，结论错误，故不符合题意； B.整理得，结论错误，故不符合题意； C.整理得，结论正确，故符合题意； D.整理得，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在▱中，点E在上，，与相交于点F，则的值是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的对应边成比例，求出的值是解题的关键．利用平行四边形的性质，可得出且，结合，可得出，由，可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 8. 如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 9. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列出方程是解决本题的关键． 设道路的宽度为，则六块菜地可合并成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意可得六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 10. 如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可． 【详解】解：， ， 所以，一次项系数为． 故答案为：． 12. 如图，在中，添加一个条件：________，使． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：与有一个公共角， 故添加或等时，， 故答案为：(答案不唯一) ． 【点睛】本题考查了添加条件使三角形相似，熟练掌握和运用相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 13. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，据此计算算术平方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和16，则的面积是_____． 【答案】49 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 设三个小三角形的顶点分别为、、、、、，先由可判定；再根据的面积，可得这三个三角形的相似比；然后判定四边形与四边形均为平行四边形，利用平行四边形的性质得；设，用表示出的长，进而得与的相似比，最后根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：， ， ， ∵（图中阴影部分）的面积分别是 1，4 和 16 ， ∴它们的边长比为， ∵， ∴四边形与四边形均为平行四边形， ， 设， 则， ， ， ， 故答案为：49． 15. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．分类讨论的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可． 【详解】解：当，即时， 方程为：， 即， 解得：（舍去），； 此时， 当，即时， 方程为：， 解得：，（舍去）； ． 故答案为：5或． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算下列各题 （1）； （2） 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先化简二次根式，计算二次根式的除法，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘法，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用适当的方法解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用配方法即可求解； （3）利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∴或， ∴． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． （2）在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． （3）在图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点图中画相似三角形，位似三角形，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）根据相似比取、的中点即可． （2）连接，分别取、、的中点、、，连接，即可． （3）取格点，满足；取格点，满足，，连接，与的交点即为，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 作法：取格点，满足；取格点，满足，， 连接，与的交点即为，连接，即为所求． 理由：， ， ， ． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一根为，求的值及另一根的值； （2）若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； （3）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的一元二次方程是邻根方程，直接写出的值． 【答案】（1），另一根的值为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）将已知的方程的根代入原方程即可求得的值，再将的值代入原方程，通过因式分解法即可求得方程另一根； （2）方程有两个不等实根即，代入求解即可； （3）根据邻根方程的定义得出其方程的解都满足，结合根与系数的关系求出，，再由即可求出的值． 【小问1详解】 解：方程有一根为， ， ， 即原方程为， ， ，， 即另一根的值为， 故，另一根的值为； 【小问2详解】 解：若方程有两个不等实根， 则， ， ； 【小问3详解】 解：设方程两根为、，依题得，邻根方程的解满足， 即， 由根与系数的关系可得，，， ， 解得． 【点睛】本题考查的知识点是由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程的相关知识点． 20. 【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容： 如图①，在中，点D、E分别是的中点， 可以猜想：且． 请用演绎推理写出证明过程； 【结论应用】如图②，在四边形中，，点P是对角线的中点，M是中点，N是中点，，则___________°； 【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，点H、Q分别为的中点，则___________． 【答案】见解析；；； 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质综合以及勾股定理解三角形，利用相似三角形证明三角形的中位线定理是解题关键． （1）证推出，即可求证； （2）由题意得，推出，即可求解； （3）取的中点，连接，推出且．且．根据，推出即可求解； 【详解】（1）证明：∵点D、E分别是的中点， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴且． （2）∵点P是对角线的中点，M是中点，N是中点， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）取的中点，连接，如图所示： ∵点H、Q分别为的中点， ∴且．且． ∵， ∴，即； ∴； 21. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，现商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　　件，每件商品盈利　　元（用含x的代数式表示）； （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）； （2）每件商品降价10元或25时，商场日盈利可达到2000元 【解析】 【分析】（1）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【小问1详解】 ∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元． 故答案为：；． 【小问2详解】 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 答：每件商品降价10元或25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键． 22. 先阅读材料，然后按照要求答题。 阅读材料：为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，，则原方程可化为： ① 解得： 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴原方程的解为：， 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用____________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解决问题：若，求的值。 【答案】（1）换元；（2）4 【解析】 【分析】(1)根据题目的变形可以看出运用了换元法和整体思想在解答这道题，故得出结论为换元法; (2)先设，原方程可以变为：，再解一道关于y的方程求出y的值，即的值． 【详解】解：(1)根据题目的变形可以看出运用了换元法和整体思想在解答这道题，故得出结论为换元法； (2)设， 则原方程变形为：， 整理，得，即， 解得：（不合题意，舍去）， 即： 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键在于整体换元的思想. 23. 已知：在矩形中，E为的中点，作于点F． （1）如图（1），求证：； （2）如图（1），若，求的值； （3）如图（2），连结交于G，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明两对角相等，来证明； （2）先根据矩形的性质得到，，再根据中点的意义求得的长，然后根据相似三角形的性质列出比例式，从而可求得； （3）先证明，再列出比例式，再设，从而可得，，再证明，列出比例，进而求得． 小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 四边形是矩形，， ，， 为的中点， ， ， ， ； 【小问3详解】 延长交于点， ， ，， ， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期中学情调研 九年级数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米 3. 关于x的方程有两个根为、，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列式子正确的是（　　） A B. C. D. 6. 如图，在▱中，点E在上，，与相交于点F，则的值是（　　） A 1 B. C. D. 7. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 8. 如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数为______． 12. 如图，在中，添加一个条件：________，使． 13. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 14. 如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和16，则的面积是_____． 15. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为________． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算下列各题 （1）； （2） 17. 用适当的方法解方程 （1）； （2）； （3）． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． （2）在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． （3）在图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一根为，求的值及另一根的值； （2）若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； （3）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的一元二次方程是邻根方程，直接写出的值． 20. 【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容： 如图①，在中，点D、E分别是的中点， 可以猜想：且． 请用演绎推理写出证明过程； 【结论应用】如图②，在四边形中，，点P是对角线的中点，M是中点，N是中点，，则___________°； 【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，点H、Q分别为的中点，则___________． 21. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，现商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　　件，每件商品盈利　　元（用含x的代数式表示）； （2）上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 22. 先阅读材料，然后按照要求答题。 阅读材料：为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，，则原方程可化为： ① 解得： 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴原方程的解为：， 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用____________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解决问题：若，求的值。 23. 已知：在矩形中，E为的中点，作于点F． （1）如图（1），求证：； （2）如图（1），若，求的值； （3）如图（2），连结交于G，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $