精品解析：河南省周口市沈丘县中英文等校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期第二次月考试卷 九年级数学 满分：120分 考试时间：100分钟 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，答题前请将姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，只有一个正确． 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的概念，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，由此求解即可． 【详解】解：有意义， ， ． 故选：B． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的减法，通过化简平方根，将和表示为最简形式，然后合并同类项进行计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：A． 3. 用公式法解一元二次方程时，的值为（） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 直接用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选A． 4. 已知（为锐角），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的概念，根据为锐角可知，再利用同角三角函数的平方关系求解即可． 【详解】解：，且为锐角， ， ， ， ． 故选：B． 5. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求锐角三角函数，熟知在中，，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切是解题的关键． 根据锐角的正切函数的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 已知与是位似图形，位似中心为点A，相似比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．利用位似变换的性质判断即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点A，相似比为， ∴， 故选：A． 8. 已知，在矩形中，，，点E是的中点，连接，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，由于点E为中点，故，在中，利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图， 四边形为矩形， ， 为中点，， ， 在中，，， ． 故选：A． 9. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】由题意得： 故选：B． 10. 已知在中，，，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由，可得，相似三角形的面积比等于相似比的平方，根据，求出，从而面积比为，已知面积为2，即可求面积． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， 即， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：4． 12. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 由已知方程得到两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故答案为：，． 13. 已知，在中，，，，D是的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 是中点， ． 故答案为：． 14. 已知，相似比为，则与的周长比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键． 15. 已知在正方形中，E是的中点，连接，过点A作于点F，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，利用正方形性质及勾股定理求出，再通过三角形面积的不同表示方法列方程求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是正方形，， ，， 是的中点， ， 在中， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2）0 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）首先计算特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，然后计算即可． 【详解】（1） ， 解得，； （2） ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点O为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，使相似比为，并写出的坐标． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（）根据关于轴对称的点的坐标特点得到，，，然后描点，连接即可； （）把、、的坐标都乘以得到的，，，然后描点，连接即可． 本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 【小问1详解】 如图所示，为所求； 【小问2详解】 如图所示，为所求； 点的坐标为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式的性质进行计算． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 19. 如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形判定，解题的关键是掌握以上知识点． 由得到，然后得到，即可证明． 【详解】证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 20. 如图，在中，，平分，交于点D，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角函数，角平分线的性质，根据三角函数值求出线段的长度是解题的关键． 过点作于E，根据角平分线的性质证得，通过结合三角形面积公式，列方程求解即可． 【详解】解：过点作于E， 平分，， ， 在中，，， ， ，， ， ， ． 21. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元． 【解析】 【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润； （2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价． 【详解】（1）y=w（x﹣20） =（﹣2x+80）（x﹣20） =﹣2x2+120x﹣1600； （2）y=﹣2（x﹣30）2+200． ∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=200． 答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值． 22. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点B落在处． （1）若，求． （2）若点恰好在矩形的对角线上，求的长． 【答案】（1）20°；（2）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD＝∠B＝90°，再由折叠的性质得∠BEA＝∠B′EA，∠BAE＝∠B′AE，则∠BEA＝∠B′EA＝55°，得∠BAE＝35°，则∠BAB′＝70°，即可求解； （2）由折叠的性质得BE＝B′E，AB＝AB′＝6，∠B＝∠AB′E＝90°，设BE＝B′E＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，再在Rt△CB′E中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°， 由折叠的性质得：∠BEA＝∠B′EA，∠BAE＝∠B′AE， ∵∠CEB′＝70°， ∴∠BEB′＝180°﹣70°＝110°， ∴∠BEA＝∠B′EA＝×110°＝55°， ∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°， ∴∠BAB′＝2×35°＝70°， ∴∠DAB′＝∠BAD﹣∠BAB′＝90°﹣70°＝20°， 故答案为：20°； （2）点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，如图1所示： Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10， 由折叠的性质得：BE＝B′E，AB＝AB′＝6，∠B＝∠AB′E＝90°， ∴B′C＝AC﹣AB′＝10﹣6＝4，∠CB′E＝90°， 设BE＝B′E＝x， 则CE＝BC﹣BE＝8﹣x， 在Rt△CB′E中，由勾股定理得：CE2＝B′E2+B′C2， 即：（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 23. （1）问题解决：如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，设、交于H．请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）拓展探究：如图2，若将边长为4正方形折叠，使得点A落在的中点E处，折痕为，点G在边上，点F在边上，连接、，求折痕的长． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，即可求证，得出，进而得出，则，即可得出结论； （2）过点G作于点M，交于点N，易证四边形是矩形，，推出，，根据折叠的性质得出垂直平分，则，即可得出，通过证明，得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 综上：，； （2）过点G作于点M，交于点N， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握正方形四边相等，四个角都是直角，正确画出辅助线，构造全等三角形，由全等三角形推证线段相等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次月考试卷 九年级数学 满分：120分 考试时间：100分钟 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，答题前请将姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，只有一个正确． 1. 若二次根式有意义，则实数x取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 用公式法解一元二次方程时，的值为（） A 8 B. 12 C. 16 D. 24 4. 已知（为锐角），则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知与是位似图形，位似中心为点A，相似比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，在矩形中，，，点E是的中点，连接，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 9. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确是（    ） A. B. C. D. 10. 已知在中，，，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 一元二次方程的根是______． 13. 已知，在中，，，，D是的中点，则的长为______． 14. 已知，相似比为，则与的周长比为___________． 15. 已知在正方形中，E是的中点，连接，过点A作于点F，若，则的长为______． 三、解答题（共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点O为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，使相似比为，并写出的坐标． 18 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 20. 如图，在中，，平分，交于点D，若，，求的长． 21. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点B落在处． （1）若，求． （2）若点恰好在矩形的对角线上，求的长． 23. （1）问题解决：如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，设、交于H．请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）拓展探究：如图2，若将边长为4的正方形折叠，使得点A落在的中点E处，折痕为，点G在边上，点F在边上，连接、，求折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $