广东省深圳市宝安中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

宝安中学2025-2026学年第一学期高一期中考试数学试卷 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 命题人：余成军 审题人：徐兰兰 2025.12 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的.) 1.已知集合A={-1,12,3},B={xx2-4<0,则AIB=() A.{-1,2} B.{-1,1} C.1,2 D.{-1,1,2} 2函数f(8)=31og,x的零点所在的区间是() A.(0,) B.(1,2) C.(2,3) D.（3,4) 3.已知a=10g50.6,b=341,c=0.92025,则a、b、c的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 4.已知a∈R,则“a>1是1<1的() a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数y=log。（x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在幂函数f(x)的图象上，则幂函 数f(x)的图象大致是() 6.根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000pm,在这个范围内人体健康不受到影响.已知某室内二 氧化碳浓度y(ppm)与开窗通风的时长t(分钟)之间的关系式为y=500+10e9(亿eR)·经测定，某 室内初始时刻的二氧化碳浓度为200Opm,要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时 长至少约为()（参考数据：ln3≈1.099，ln5≈1.609） A.6分钟 B.8分钟 C.10分钟 D.12分钟 第1页/供10页 7.若关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在区间1,4上有解，则实数m的最小值为() A.9 B.6 D.5 8.已知f树是定义在R上的偶函数，若任意，5∈0，∞且x>,时，f)-f>x+x恒成立， x1-X2 且f)=0,则满足f(m+1)≤m2+2m的实数m的取值范围为() A.[-1,0] B.[0,] C.[-2,2] D.[-2,0] 二、多选题（本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列选项中正确的有() A.角a&为第二象限角，则sin(π-a)=sina B若Cosa=-,2S 5a<元，则sina=2v2 3 C.角α是第四象限角，则g是第二象限角 2 nsn(2x-a)eos(r*a）jam(r-a-snm(径+a小aos(-）=-l 10.下列说法正确的是() A.“x<1,x2<1”的否定是“3x<1,x2≥1” B.一元二次不等式ax2-cx+2>0的解集为(-1,3)，则a+c=-2 C正数x,y满是2025x+2026y=.则206+05的最小值为2 D.若x>1,y>1且log2x+l0g2y=log2xlog2y,则y的最小值是8 11.函数f(x)满足：x,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2,且x≠y时，f(x)≠f(y), 当x>0时，∫(x)>2,则下列结论正确的是() A.f(0)=1 B.f(x)>1 C.∫(x)在R上单调递增 D不等式/og:g:》f6)的解集为6，+四) 第2页/共10页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） cos(2πx),x≥0 13.已知函数f(x)=log(4-ax)(a>0且a≠1)在区间[0,1上单调递减，则实数a的取值范围是 22-x,x<2 14.已知函数f(x)=x2-4mx+5m,函数g(x)= 1og,(x+1),x≥2'若对任意的实数x∈[0,2引，总存 在实数x2∈R,使得f(x)=g(x2)成立，则实数m的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)设集合A= 0a=e-a+6-a-o} (1)若a=3,求AUB: (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围. 16.(15分)已知f(a)=sina+cosa sina-cosa )者的哈动为轴的丰负卡销，等道过点个专》，求)的 (2)若m= tan aea-叭y-sm经+0o(小》的 (3)若sina+cosa= √2 ,且0<a<元，求f(a)的值： 2 第3页/供10页 17.(15分)深圳市某高科技企业决定开发生产一款电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每 生产x台，需要另投入成本h(x)(万元)，当年产量小于60台时，h(x)=x2+20x(万元)：当年产量不 少于60台时h(个)=102x+9800-2080(万元)若每台设备的售价为100万元，通过市场调研，假设该 企业生产的电子设备能全部售出 (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式？ (2)年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？ 18.(17分)已知函数f(x)=e+e+x-d-1是定义在R上的偶函数 (1)求实数a的值与f0n)的值： (2)讨论函数y=f(x)的单调性： (3)设g)=[log,B-x]'+mlog,B-x)+1,若f[g(x<e+1对任意的x∈[-1，恒成立，求实 数m的取值范围。 19.(17分)函数y=f(x)的定义域为D,若存在正实数k,对任意的x∈D,总有|f(x)-f(-x)k, 则称函数f(x)具有性质P(k) (1)分别判断函数f(x)=2025与g(x)=x是否具有性质P(I),并说明理由： (2)已知y=f(x)为二次函数，且具有性质P(2),判断f(x)的奇偶性： (3)已知a>0,k为给定的正实数，若函数f(x)=lg102x+a-x具有性质P(k),求a的取值范围. 第4页/供10页 宝安中学2025-2026学年第一学期高一期中考试数学 参考答案 题号 23 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 BC D D ABD AB BC 5.【解】函数y=log。(x-3)+2(a>0且a≠1)中由x-3=1得x=4,y=2, 则函数y=log（x-3)+2过定点P(4,2),设f(x)=x,代入可得2=4“，解得a= 2 故幂函数f(x)=x2=VF,则B选项图象符合故选：B, 6.【解】依题意，t=0时，y=2000,则2000=500+1041，解得1041=1500， ,1 因此y=500+1500e,由y≤100，得500+150e5≤100，解得e9≤写 则-号≤-h3,1≥9n3≈9x1.09=9891,所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟故选：C 7.【解】关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在区间[L,4]上有解， 等价于(m+1x之x+9在区间[L,4上有解，即m+1≥x+9在区间L,4]上有解， 又x+9≥6，当且仅当x=3时，x+9取最小值6.故m+1≥6，可得m≥5.故选：D 9 8【解1由)-)>+x可得f6）-j化)>-6，即f)->f）6, X-X2 设g(x)=f(x)-x2,则有g(x)>g(x2),因x>x2,则8(x)在[0，+o)上单调递增， 又f(x)是定义在R上的偶函数，g(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=g(x),故g(x)为R上的偶函数. 由f(m+1)≤m2+2m可得f(m+1)-(m+1)2≤-1，而g(1)=f1)-1=-1,即g(m+1)≤g(1), 由函数g(x)的单调性和奇偶性，可得|m+11,解得-2≤m≤0.故选：D. 10.对于选项C.由2025x+2026y=xy 20252026=1, y /2025,2026-2+2025+202622+2=4, 2026'2025 20262025 y 2026y2025x 第5页/供10页 当且仅 2025x-2026y且2025+2026-1，即x=4052,y=4050时，等号成立C选项错误： 2026y2025x 对于选项D,Qx>1,y>1,l0g2x>0,log2y>0,log2(y)=log2xlog2y≤ 10g2(y)≥4，y≥16，x=y=4时等号成立，D错误： 1.【解】A:当x=y=0时，[f(0)]-3f(0)+2=0,f(0)=1,或f(0)=2,当f(0)=1,x>0,时， 令y=0,f(x+0)=f(x)f(0)-f(x)-f(0)+2,则f(x)=1不合题意，∴f(0)=2,A错误： :f=传-22-+1 x0时，引}.则斯（与已）产f矛盾f)产f)1: 又x=0时，f(0)=2>1,所以f(x)>1,选项B正确： C:设x<x,则x-x>0,f()=[x+(:-x)门=f(x)f(3-x)-f(x)-f(x-x)+2 =f(:-x)儿f(x)-]-f()+2=[f(3-x)-1][f(x)-1]+1 Q-x>0,f(x-x)-1>1,又f(x)-1>0[f(-x)-1][f(x)1]+1>f(x) ∴f(x)>f(x）)∴f(x)在R上单调递增∴.C选项正确 D:ogog0等价于1o8e草60oe,x-10ogx-2)小6， ∴(1og2x)}2-31og2x-4>0∴.(og2x-4)(1og2x+1)>0.l0g2x>4,或1og2x<-1 >16,或0<x<行D选项错误 故选：BC(f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2台f(x+y)-1=[f(x)-1f(y)-1台F(x+y)=F(x)F(y),若 用适合条件的函数如：f(x)=2+1,f(x)=a+l(a>)等，则A,B,C易判断) 12.【答案】习 13.【答案】(1,4)【解】因为a>0且a≠1，则内层函数t=4-ax在[0,1上为减 函数，由于函数f(x)=log.(4-ax)(a>0且a≠1)在区间[0，上单调递减， 则外层函数y=log。t是增函数，则a>1, 第6页/供10页 且对任意的x∈[0,1]，t=4-ax>0恒成立，即tmin=4-a>0，解得a<4, 综上所述，实数a的取值范围是(1,4) 【解】由函数8()= 22-x,x<2 14 【答案 log3(x+1),x≥2' 当x<2时，2-x>0,即22-x>1, 当x≥2时，x+1≥3，即log(x+1)≥1，所以可知g(x)的值域为1，+∞) f(x）=x2-4mx+5m=(x-2m)}-4m2+5m, 由题意可知，函数f(x)在[0,2]的值域应是函数g(x)值域[1，+∞)的子集， 故当0≤2m≤2时/m=-4m2+5m≥1，解得≤m≤1， 4 当2m<0时，fmm=f(0)=5m≥1，此时m无解， 当2m>2时，fmn=f(2)=4-3m≥1，此时m无解， 会社子m≤1综上，实数伦位怎眉为[ 15.【解】(1)当a=3时， B={x(x-2)(x-4)>0={xx<2或x>4}: …………2分 4--e--水-<头 .4分 .AUB={x|x<3或x>4}: 6分 (2):“x∈A”是“x∈B”的充分条件，.ASB, .8分 :B={x(x-a+(x-a-1)>0},即[x-(a-)][x-(a+)]>0, x<a-1或x>a+1,.B={xx<a-1或x>a+1}, .10分 而A={x1<x<3},要使得AcB,需有a-1≥3或a+1≤1，.a≥4或a≤0.13分 34 43 16.(1)a的终边过点 /，sina=,cosZ=4 5 .4分 55 第7页/供10页 )no+m) cos 0 sin 0 -sin +θ cose (sin) sin0 cos0 sinecose cose(-sin0)=-1 7分 5 5 15 6 61 6 sn2+g-2+ sin-cos =22=3-2..10分 1,3 6 6 2+2 1 (3)因为sina+cosa= 2 ,所以(sina+cosa)= ,即2 sina cosa= 2 3 从而(sina-cosa}'=l-2 sinco=2 因为0<a<π，sina>0,sinacosa<0,所以cosa<0,因此sina-cosa>0, 从而sina-cosa= 2 ,故f(a)= sina+cosa 3 ina-cosa .15分 3 17.【解】(1)由题意可得：0<x<60时，y=100x-(x2+20x)-500=-x2+80x-500, 9800 -2080 4900 当x≥60时，y=100x 102x+ 500=1580-2x+ 所以年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式为： -x2+80x-500,0<x<60 .4900 ,x≥60 .7分 1580-2x+ (2)由(1)得0<x<60时，y=-x2+80x-500,开口向下的抛物线，对称轴为x=40, 此时x=40时，ymax=-402+80×40-500=1100万元， …….10分 当0=150-2+9150-2 4900 =1580-2×2×70=1300, 当且仅当x-4900即x=70时等号成立，yx=130, ....14分 综上所述：年产量为0台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大 ..15分 18.【解】(1)由f(x)=e+e"+x-a-1是定义在R上的偶函数，得f(x)=f(x), ∴.ex+e+x-d-1=e*+ex+x-d-1,x+d=x-a,两边平方得：4ax=0恒成立，.a=0 第8页/共10页 (利用特殊值求出α=0，没有验证说法的扣1分) .3分 f0m=e+e+n-1=+2+n2-1=3 12 +In2 2 …5分 (2)由(1)知f(x)=e+e+x-1,设0≤x< f(x)-f(x2)=e*+e*+x-1-(e +e*+x-1)=e"-e*+e*-e+ =e-e1+x-, 0s<号e-e<01->0(e-e)-5<0fx) ∴f(x)在[0，+o)上的单调递增 ..9分 设x<x2<0,.-x>-x2>0,Qf(x)在[0，+0)上的单调递增，f(-x)>f(-x2) ∴.f(x)>f(x)∴f(x)在(-oo,0)上的单调递减 .11分 (3)Qf-)=f0=e+1fg水f0 e 由(2)知，-1<8()<1恒成立，即-1<[1og2(3-x)]+mlog2B-x)+1<1恒成立 设t=log2(3-x),Qx∈[-1,1，.t∈[1,2]，-1<t2+mt+1<1恒成立 当t2+mt+1<1恒成立时，m<-t.m<-2 .......14分 2 当-1<t2+mt+1恒成立时，-m<1+ Q1+2≥2W2当且仅当1=V2时取等号 .-m<2V2.m>-22 综上：实数m的取值范围是-2V2,-2) ….17分 19.【解】(1)对任意x∈R,得|f(x)-f(-x)曰2025-2025=0<1，所以f(x)具有性质P(I): 对任意x∈R,得引g(x)-g(-x)曰x-(-x)曰2x|. 当x=1时，|g(1)-g(-1)=2>1,所以g(x)不具有性质P(1) ….4分 (2)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠O)满足性质P(2),则对任意x∈R, 满足|f(x)-f(-x)=ar2+bx+c-(a2-bx+c）2bxk2. 第9页/共10页 当x=0时，|2bx=0<2,此时b可以为任何实数； 1 当x0时，1bk2x 恒成立，所以|b0,又|b20,故b=0. 综上所述，函数y=f(x)具有性质P(2)时，b=0,此时f(-x)=f(x),即y=f(x)为偶函数.9分 (3)由于a>0,函数f(x)=lg(102x+a-x的定义域为R, 易得fx)=lg(102r+ax=lg(10*+a.10）, .11分 若函数f(x)具有性质P(k),则对于任意实数x, 有fx)-f(-x)|g(10*+a-10*）-lg(10+a-10*=g 0+a.10x ≤k, 10x+a.10' 即-,即-seos 于离数y=x在0四)上单调递增，得10≤0品10 1 即10 a-- a1+a-102s10*, a ...13分 当a>1时，a-1>0,由1+a-102>1,得0< a 1+a-102r<1, 1 1 a-- 得0 1+a-l02<a a 1,得11，a- aaa ltal<a' a 1 由题意得10≤+，a-。 a1+a:0s10x∈R恒成立，所以0 210*即1<a≤10： a≤10， 当a=1时，10k≤1≤10恒成立，a=1适合题意 1 当0<a<1时，a--<0, 。1a- a .1 a`l+a-l02<0.a<1+ a 1, a ∴.a +a-l0a a≥10-， 由题意得上≤10，即10≤a<1.综上：a的取值范国是10*≤a≤10…17分 a 第10页/共10页