12.7再探边边角 直角三角形的判定学案 2025-2026学年北京版数学八年级上册

该初中数学学习任务单聚焦直角三角形全等的“斜边、直角边定理”，从“边边角”一般情况入手，通过课前画图探索不同角下三角形确定性，引出直角三角形特殊性，搭建从已有全等判定到HL定理的学习支架。 资料突出几何直观与逻辑推理的结合，通过画图实验引导学生抽象HL定理猜想，证明过程培养推理意识，例题变式和小测设计开放性探究，用数学语言表达判定过程，习题注重知识应用与问题解决，提升分析和创新意识。

课程基本信息 课题 再探“边边角” 学科 数学 年级 八 学期 八上 学习目标 1. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边定理”； 2. 能利用斜边、直角边定理及一般三角形全等的判定方法判定两个直角三角形全等，提升分析问题与解决问题的能力； 3. 培养几何直观和逻辑推理能力。 学习任务 【课前学习任务】 （1）画△ABC，使∠A=30°，AB=5cm，BC=3cm . （2）画△ABC，使∠A=120°，AB=2cm，BC=3cm. （3）画△ABC，使∠A=90°，AB=2cm，BC=3cm. 思考：有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？ 【学习任务一】 画图：画△ABC，使∠C＝α，BC＝a，AB＝c. α c a 观察：△ABC的形状、大小是否完全确定? 画图：画△ABC，使∠C＝Rt∠，BC＝a，AB＝c. c a 观察：△ABC的形状、大小是否完全确定? 猜想：根据上述两个画图实验，可以提出什么猜想？ 【学习任务二】 证明：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等. 【学习任务三】 例1：已知∠ACB=∠BDA=90°，请添加一个条件 ，使得△ACB≌△BDA，并写出证明过程。 变式：已知∠ACB=∠BDA=90°， ，延长AC与BD相交于点E,你能得到什么结论？写出结论并写出证明过程。 课堂小测 已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，EA⊥AD，FD⊥AD， 垂足分别为A，D，且EC=FB，AB=DC. 求证：∠E=∠F. 答案： 一、课前学习任务 （1）画△ABC，使∠A=30°，AB=5cm，BC=3cm 可以画出两个不同的三角形，一个锐角三角形，一个钝角三角形（取决于BC相对于AB的位置），说明此时三角形形状不唯一。 （2）画△ABC，使∠A=120°，AB=2cm，BC=3cm 通常只能画出一个三角形，因为∠A是钝角，对边BC大于AB时，三角形唯一确定。 （3）画△ABC，使∠A=90°，AB=2cm，BC=3cm 只能画出一个三角形. 思考答案 有两条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等。 只有当这个角是两条边的夹角（SAS）或者角是直角且已知的是斜边和一条直角边（HL）时，才能保证全等。 二、学习任务一 1. 画△ABC，使∠C＝α（非直角），BC＝a，AB＝c： 形状大小不一定确定。如果已知的两边AB、BC中，AB的对角是∠C，此时已知的是“边边角”条件，通常有两个可能的三角形（除非∠C≥90°或AB≥BC）。 2. 画△ABC，使∠C＝90°，BC＝a，AB＝c（此时AB是斜边）： 形状大小完全确定。因为已知斜边和一条直角边，可用勾股定理算出另一条直角边，且直角三角形中斜边和一直角边唯一确定三角形。 猜想：在直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。 三、学习任务二 斜边、直角边定理（HL）证明： 已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'（斜边相等），AC＝A'C'（一条直角边相等）。 求证：Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'。 证明： 因为AB＝A'B'，AC＝A'C'，所以BC＝B'C'。 于是在△ABC和△A'B'C'中，三条边分别相等（SSS），因此△ABC ≌ △A'B'C'。 （也可用“直角三角形中，已知斜边和一直角边，三角形唯一”来几何构造证明） 四、学习任务三 例1：添加条件可以是： 1. AC ＝ BD （一条直角边相等，用HL） 2. ∠CAB ＝ ∠DBA （用AAS，因为已有一直角和公共边AB） 3. AD ＝ BC （用HL，AB为公共斜边） 例如选 AC ＝ BD： 证明： 在Rt△ACB与Rt△BDA中， ∠ACB＝∠BDA＝90°， AB ＝ BA（公共边，斜边相等）， AC ＝ BD（已知）， ∴ Rt△ACB ≌ Rt△BDA（HL）。 变式：延长AC与BD交于E，则AE＝BE。 证明： 由△ACB ≌ △BDA（例1中已证），得∠CAB＝∠DBA， 在△AEB中，∠EAB＝∠EBA， ∴ AE＝BE（等角对等边）。 五、课堂小测 已知：EA⊥AD，FD⊥AD，EC=FB，AB=DC。 求证：∠E=∠F。 证明： ∵ EA⊥AD，FD⊥AD，∴∠EAC＝∠FDB＝90°。 ∵ AB=DC，∴ AB+BC=DC+BC，即 AC=DB。 在Rt△EAC和Rt△FDB中， 斜边EC=FB（已知）， 直角边AC=DB（已证）， ∴ Rt△EAC ≌ Rt△FDB（HL）。 ∴ ∠E＝∠F（全等三角形对应角相等）。 六、总结 1. HL定理是直角三角形全等的特殊判定方法。 2. 使用HL时，必须满足“两个直角三角形，斜边和一条直角边对应相等”。 3. 在解题中，HL常与普通全等判定法结合使用，注意分析图形条件，选择合适方法。 学科网（北京）股份有限公司 $