12.7 直角三角形（题型专练）数学北京版2024八年级上册

12.7 直角三角形 题型一 根据已知角度关系判定能否构成直角三角形 1．（24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可． 【详解】解；①，， ， ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③，， ， 不是直角三角形； ④，， ， ， 不是直角三角； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形； 综上所述，不能判断是直角三角形的有3个， 故选：． 3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 题型二 含30°角的直角三角形性质求解 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，，D是的中点，连接于点E，，那么的值为（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，根据在中，，D是的中点，于点E，若，可以求得，，以及和的度数，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（22-23八年级上·北京·阶段练习）如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质；过点P作于点D，则，由等腰三角形的性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点P作于点D， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 6．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵立柱垂直平分横梁，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘，且与闸机侧立而夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 cm．    【答案】55 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、线段的和差等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F，根据垂直定义可得：，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F，    ∴， ∵， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度． 故答案为：55． 8．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，点P在的平分线上，于点C，点D在边上，且．则线段的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判断的力量和性质定理是解题的关键．作于E，根据角平分线的定义、直角三角形的性质求出，求出，证明，根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：作于E， ∵，点P在的平分线上， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 故答案为：12． 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，是等边三角形，于D，为边中线，，相交于点O，连接． (1)判断的形状，并说明理由 (2)若，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)4 【分析】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质；解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质． （1）由等边三角形的性质可得，，可得出，由为边上的中线，得出，从而得出，再由等边三角形的判定可得结论； （2）先证明，再由可得，再求解即可． 【详解】（1）解：等边三角形，理由如下： 在等边中，，， ，， ， 又为边上的中线， ， ， 又， 是等边三角形； （2）解：由（1）知：、分别是的中线， ，， ， ， ， ． 题型三 利用HL判定两个直角三角形全等 10．（23-24八年级上·四川广安·阶段练习）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 11．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是推出≌． 证明≌，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：A：， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵和互余， ∴与也互余，正确，故该选项不合题意； B：由A选项可知，正确，故该选项不合题意； C：由A选项可知≌，正确，故该选项不合题意； D：，， ∴，但不一定与相等，故该选项符合题意． 故选：D． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，通过证明三角形全等得到对应角相等，再根据直角三角形的性质以及角之间的关系求出的度数即可. 【详解】解：， 是直角三角形 在和中 又 故答案为： ． 13．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三线合一定理，由三线合一定理得到，则可证明，据此可利用证明． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 14．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【答案】当运动到或点与重合时，才能和全等 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，可以根据不同的对应关系进行分类解答． 首先根据直角三角形全等的判定方法，结合三角形的对应边的不确定性，可知需分和两种情况， 结合全等的性质，可以得到点运动的位置． 【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： 当运动到时， ∵在与中， ， ∴， 当与点重合时，， ∵在与中， ， ∴， 答：当运动到或点与重合时，才能和全等． 题型四 HL与全等三角形综合应用 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴均为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 16．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定．由垂线的定义可得和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据 “”可判定，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 17．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据，，可得：，，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得：，从而可得：． 【详解】解： ，， ，， 在和中，， ， ， ． 故选：C． 18．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，于，且，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 【详解】解：过点A作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在两侧分别交于点P，Q，作直线，交于点D，交于点E，F是上一点，且，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，由作图可得垂直平分，从而可得，，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（22-23八年级上·四川广安·阶段练习）如图1，点在y轴正半轴上，点分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为上一点，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）由题意，可知，平分与y轴交于D点，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得； （2）过D作于N点，可证明，因此，，所以，，即可得的长． 【详解】（1）证明：在直角坐标系中， 轴轴， ， ． 在和中 ， ． ； （2）由（1）知， ,， ， 过D作于N点，如图所示： ，， ， 在和中 ， ， ． 在和中， ， ； ． 21．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，进而可得，即可得证； （2）连接，证明，得出，由，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，，且，点E在边上，，垂足为F，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 题型一 利用直角三角形的性质解决最值问题 22．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，．若点、分别是线段、线段上的动点，则的最小值是(   ) A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，含的直角三角形的性质，根据，作作点关于的对称点，过点作 于，交于，确定此时的值最小，其最小值是 ，根据勾股定理和三角形全等的性质可得结论． 【详解】解：， ， 如图，作点关于的对称点，过点作 于，交于， 是 的垂直平分线， ， 此时的值最小，其最小值是 ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即的最小值是； 故选：C． 23．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ，即， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过点作于点， ， ， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值， 此时，设，则， ， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，则线段的长是 ；线段长的最大值是 ． 【答案】 10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 先求出的长，过点作于，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵中，， ， ∵垂直平分， ， 过点作于，若要使最大，则需要最小， 设，则， ， ， ， ， 解得． ∴最小值为的最大值为， 故答案为：10；． 25．（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 26．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知等边中，，若点H在线段上运动，取最小值时，的值为 ． 【答案】4 【分析】过点作于点，连接，利用含30度的直角三角形的性质得到，可得，继而得出当、、三点依次在同直线上时，的值最小，再结合等边三角形的性质得到． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 是等边三角形，， ∴，， ， ， 当、、三点依次在同直线上时，的值最小， 此时，，， ∴，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是找到动点的位置． 题型二 直角三角形与坐标系综合 27．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含度角的直角三角形，度角所对的边是斜边的一半．过点作轴的垂线，垂足为点，先得出，则，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为点， ∵中， ∴， ∵， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 28．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ．    【答案】3 【分析】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴，的值最小，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接，   ， 是等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， ， 由垂线段最短可知，当轴，的值最小， ∵点的坐标是， ， ， 又， ， 则在中，， 所以在运动过程中，的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 29．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点A，B，C按逆时针方向排列，其中 ，，且，． (1)如图1，若，求C点坐标； (2)如图2，若，，求C点坐标； (3)如图3，，，以为边在的右侧作等边，连接，当时 ①请探究线段之间的数量关系，并证明； ②用含a，b的式子表示线段的长度． 【答案】(1)点C的坐标为 (2)点C坐标为 (3)①结论：，理由见解析；② 【分析】（1）先说明为等腰直角三角形，得，再证明可得，进而得到B，O，C三点共线，再结合点C在y轴上，且即可解答； （2）如图，过点C作轴于点H，再证明可得可得，，再根据线段的和差得到即可解答； （3）①如图，过点C作轴于点E，先说明、是等边三角形，然后再证明可得，然后根据线段的和差即可解答；②由①可知、、，进而得到，根据直角三角形的性质可得，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴B，O，C三点共线， ∴点C在y轴上，且， ∴点C的坐标为． （2）解：如图，过点C作轴于点H， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C坐标为； （3）解：①结论：， 证明：如图，过点C作轴于点E，    由（2）同理可得：，， 在上取一点F，使得， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ②由①可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 30．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系，，，射线在第一象限内，分别过点A，作于点，于点D， (1)求证：； (2)若，，求点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查坐标系，全等三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质， （1）根据题意可得，结合垂直可得和，即可利用证明； （2）过点作轴于点，则，可求得、和，进一步求得和，由（1）得：，求得，即有即可． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ； （2）解：过点作轴于点，如图， ， ， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， 点坐标为． 31．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】过点作于点，设，则，求出，利用直角三角形的性质得，则，同理得，则，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，则，由此解出即可得的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 设， ， ， ， 在中，，则， ， ， ， ， 在中，，则， ， ， ，， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 32．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，．E为平面上一点，连接，点D为上一点，连接，与交于点F，若，，，，．的面积为 ． 【答案】 【分析】如图所示，作交于T，连接，先证明是等边三角形，是等边三角形，进而证明，得到，，则，由，推出，则，由此求出，，则，进而得到，进一步求出，证明，得到，由，可得． 【详解】解：如图所示，作交于T，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 33．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在等腰中，，的垂直平分线分别交，于，两点． (1)如图1，连接，若，的周长为19，直接写出的长； (2)若是的中线． ①如图2，交于点，若，求证：； ②如图3，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)7 (2)①理由见解析；②的最小值是 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）①过作于H，连接，，根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质得到，，再利用含30度角的直角三角形的性质得到，，然后利用线段的和与差求解即可； ②以为边作等边三角形，过L作于H，延长线于，利用等边三角形的性质得到，，证明得到，根据垂线段最短，当时，最小，即最小，最小值为的长，由平行线间的距离处处相等得，进而可求解． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交，于，，， ∴，， ∵的周长为19， ∴， ∵等腰中，， ∴； （2）解：①如图2，过作于H，连接，，则， ∵垂直平分线， ∴， ∵等腰中，，是的中线， ∴，，即垂直平分， ∴，则， ∴， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②如图3，以为边作等边三角形，过L作于H，延长线于，则，，， ∵是的中点，， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由垂线段最短得，当时，最小，即最小，最小值为的长， ∵， ∴与平行， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，构造等边三角形和全等三角形是解答的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.7 直角三角形 题型一 根据已知角度关系判定能否构成直角三角形 1．（24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 2．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型二 含30°角的直角三角形性质求解 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，，D是的中点，连接于点E，，那么的值为（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 5．（22-23八年级上·北京·阶段练习）如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 6．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘，且与闸机侧立而夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 cm．    8．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，点P在的平分线上，于点C，点D在边上，且．则线段的长度为 ． 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，是等边三角形，于D，为边中线，，相交于点O，连接． (1)判断的形状，并说明理由 (2)若，求的长． 题型三 利用HL判定两个直角三角形全等 10．（23-24八年级上·四川广安·阶段练习）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ． 13．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 14．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 题型四 HL与全等三角形综合应用 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 17．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，于，且，，若，则 ． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在两侧分别交于点P，Q，作直线，交于点D，交于点E，F是上一点，且，若，则的度数为 ． 20．（22-23八年级上·四川广安·阶段练习）如图1，点在y轴正半轴上，点分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为上一点，且，求的长． 21．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 题型一 利用直角三角形的性质解决最值问题 22．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，．若点、分别是线段、线段上的动点，则的最小值是(   ) A．6 B．12 C． D． 23．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 24．（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，则线段的长是 ；线段长的最大值是 ． 25．（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 26．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知等边中，，若点H在线段上运动，取最小值时，的值为 ． 题型二 直角三角形与坐标系综合 27．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为，则点的坐标为 ． 28．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ．    29．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点A，B，C按逆时针方向排列，其中 ，，且，． (1)如图1，若，求C点坐标； (2)如图2，若，，求C点坐标； (3)如图3，，，以为边在的右侧作等边，连接，当时 ①请探究线段之间的数量关系，并证明； ②用含a，b的式子表示线段的长度． 30．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系，，，射线在第一象限内，分别过点A，作于点，于点D， (1)求证：； (2)若，，求点坐标． 31．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则 ． 32．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，．E为平面上一点，连接，点D为上一点，连接，与交于点F，若，，，，．的面积为 ． 33．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在等腰中，，的垂直平分线分别交，于，两点． (1)如图1，连接，若，的周长为19，直接写出的长； (2)若是的中线． ①如图2，交于点，若，求证：； ②如图3，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边，连接，若，直接写出的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$