甘肃省陇南市文县2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

甘肃省陇南市2025-2026学年文县高三上学期12月联考 数学试卷 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线是曲线的一条切线，则（ ） A. -4 B. 4 C. 3 D. -3 4. 已知双曲线 的离心率为 且渐近线互相垂直，则 A. B. 1 C. D. 2 5. 已知等差数列 共有 项,奇数项之和为 220,偶数项之和为 200,则 A. 10 B. 11 C. 20 D. 21 6. 已知椭圆 的右顶点为 为椭圆上关于 轴对称的两点 (不同于点 ,直线 的斜率之积为 ,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 7. 已知 是定义域为 的偶函数,且 为奇函数,则 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 已知一个正三棱柱的所有顶点都在球 的球面上,若球 的半径为 1,则该正三棱柱体积的最大值为 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选的得 0 分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 11. 设 ,函数 函数 ,则下列说法正确的是 A. 时, 有 2 个零点 B. 时, 有 1 个零点 C. 有 3 个零点时, D. 有 4 个零点时, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 的图象与直线 相切，则实数 _____. 13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 以 为直径的圆和 的渐近线在第一象限交于点 ，直线 交 的另一条渐近线于点 ，则 的离心率为_____. 14. 已知函数 ,若 是函数 的导函数 的两个不同零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 则 . 四、解答题:本题共 5 小题, 15 题 13 分, 16、17 题 15 分, 18、19 题 17 分, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求 的面积. 16. 如图，三棱锥 的侧面 是等边三角形，底面 是直角三角形，斜边 的中点为 . (1)证明: ； (2)若 ，求 所成角的正弦值. 17. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差. 18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品概率的最小值． 19. 物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，具体做法如下:先在 轴找初始点 ,然后作 在点 处的切线,切线与 轴交于点 ,再作 在点 处的切线,切线与 轴交于点 ,再作 在点 处的切线,以此类推,直到求得满足精度的方程 的近似解 为止. 对 ,设 是函数 的零点,记 ,其中 表示不超过实数 的最大整数; (1)求 的值； (2)当 时，证明: ； (3)记 ，若 ， ，当 取得最小值时，求正整数 的值. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省陇南市2025-2026学年文县高三上学期12月联考 数学试卷答案 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 1.【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数单调性及对数函数单调性解不等式，再由交集运算即可. 【详解】由，， 所以， 所以， 故选：B 2. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.【答案】C 【解析】 【分析】结合指数函数的性质得到“”的充要条件是“”，再结合幂函数的性质得到“”的充要条件是“”，最后利用充分、必要条件的判定即可求解. 【详解】因为在上单调递减，等价于，所以，即“”的充要条件是“”； 因为在上单调递增，等价于，所以，即“”的充要条件是“”. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 若直线是曲线的一条切线，则（ ） A. -4 B. 4 C. 3 D. -3 3.【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定的切线求出切点坐标及值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 函数，求导得，则，解得，则切点为， 因此，所以. 故选：B 4. 已知双曲线 的离心率为 且渐近线互相垂直，则 A. B. 1 C. D. 2 4.【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线互相垂直,所以双曲线是等轴双曲线,所以离心率 ,所以 . 故选 C. 5. 已知等差数列 共有 项,奇数项之和为 220,偶数项之和为 200,则 A. 10 B. 11 C. 20 D. 21 5.【答案】A 【解析】等差数列 共 项,其中奇数项有 项,偶数项有 项,奇数项和为 ①,偶数项和为 200 ②. 因为 ,所以① ②,得 ,则 . 故选 A. 6. 已知椭圆 的右顶点为 为椭圆上关于 轴对称的两点 (不同于点 ,直线 的斜率之积为 ,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 6.【答案】B 【解析】设 ,则 ,所以 ,即 . 由 ,得 ,所以 ,所以 . 故选 B. 7. 已知 是定义域为 的偶函数,且 为奇函数,则 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7.【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数与偶函数的性质, 可得函数的对称性, 可得答案. 【详解】由函数 为偶函数,则 轴为该函数图象的一条对称轴; 由函数 为奇函数,则原点为该函数图象的一个对称中心. 由函数 的图象先向右平移一个单位,再向上平移一个单位,可得到函数 的图象, 则 是函数 的一个对称中心. 所以直线 是函数 图象的对称轴, 是函数 图象的对称中心, 由 ,则 ,所以 . 故选: D. 8. 已知一个正三棱柱的所有顶点都在球 的球面上,若球 的半径为 1,则该正三棱柱体积的最大值为 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 8.【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合球的体积公式求球的半径,设正三棱柱的底面边长为 ,求出三棱柱的高,结合棱柱的体积求三棱柱的体积, 再利用导数求其最大值. 【详解】 设正三棱柱 的上,下底面的中心分别为 ,连接 , 根据对称性可得,线段 的中点 即为正三棱柱 的外接球的球心, 线段 为该外接球的半径, , 设正三棱柱 的底面边长为 ,设线段 的中点为 , 则 , 在 Rt 中, , 所以 , 又 的面积 , 所以正三棱柱 的体积 , 设 ,则 , 所以 , 所以 , 令 ,可得 或 ,舍去, 所以当 时, ,函数 在 上单调递增, 当 时, ,函数 在 上单调递减, 所以当 时, 取最大值,最大值为 1, 所以当 时,三棱柱 的体积最大,最大体积为 1 . 故选: B. 二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选的得 0 分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 9.【答案】ABD 【解析】 【分析】去掉绝对值符号，判断A；根据复合函数的单调性的判断方法，一一判断BCD各选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为，故，在区间上单调递减，A正确； 对于B，当时，， 令，则该函数在区间上单调递减，而在R上单调递增， 故在区间上单调递减，B正确； 对于C，当时，，且在区间上单调递减， 故在区间上单调递增，C错误； 对于D，当时，，令，则该函数在区间上单调递减， 函数在上单调递增，故在区间上单调递减，D正确， 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 10.【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，令，求出，写出通项公式，得到答案；B选项，设出事件，利用条件概率公式进行求解；C选项，由正态分布的对称性进行求解；D选项，先利用二项分布求方差公式得到，再利用方差的性质进行计算. 【详解】对于选项A：令，则， 的系数为，A正确； 对于选项B：设“第一次取得红球”为事件，“第二次取得白球”为事件， ，B错误； 对于选项C：由题意知，， ，C正确； 对于选项D：，D正确. 故选：ACD 11. 设 ,函数 函数 ,则下列说法正确的是 A. 时, 有 2 个零点 B. 时, 有 1 个零点 C. 有 3 个零点时, D. 有 4 个零点时, 11. 【答案】 时,由 得 或 ; 由 得 , 是 的断点, 在 与 上单调递减,在 上单调递增. 时, 的图象与直线 有 2 个交点, 有 2 个零点, A 正确; 时,由 得 ; 由 得 或 是 的断点， 在 上单调递减，在 与 上单调递增, 时, 的图象与直线 有 1 个交点, 有 1 个零点, B 正确; 时,由 得 或 ; 由 得 或 在 与 上单调递减,在 与 上单调递增. 当 时, ,取 满足 时, 的图象与直线 有 3 个交点, 有 3 个零点, 错误; 时, 的图象与直线 至多有 2 个交点, 至多有 2 个零点, D 错误. 故选 AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 的图象与直线 相切，则实数 _____. 12.【答案】 1 【解析】 【分析】设切点 ,根据导数的几何意义得到切线方程 ,结合函数 与 相切,得到 即可求解. 【详解】设切点为 , ,则 , 切线方程为 ,即 , 又因为函数 的图象与直线 相切, 所以 ,解得 . 故答案为: 1 . 13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 以 为直径的圆和 的渐近线在第一象限交于点 ，直线 交 的另一条渐近线于点 ，则 的离心率为_____. 13.【答案】 4 【解析】 【分析】求出以 为直径的圆的方程,此圆与渐近线 联立方程组求出点 的坐标,求直线 的方程,此方程与渐近线 联立方程组求出交点 ,利用 ,得到 的等式, 进行计算得解. 【详解】 双曲线 的左、右焦点分别为 , , 以 为直径的圆和 的渐近线在第一象限交于点 , 设坐标原点为 , , 以 为直径的圆的方程为 , 又 的渐近线方程为 , , 直线 的方程为 , , , , , , . 故答案为: 4 . 14. 已知函数 ,若 是函数 的导函数 的两个不同零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 则 . 14.【答案】26 【解析】因为 ,所以 ,所以 为两个不等的负数,不妨设 ,则必有 (或 ) 成等差数列, (或 ) 成等比数列,所以 ,解得 ,所以 ,所以 . 四、解答题:本题共 5 小题, 15 题 13 分, 16、17 题 15 分, 18、19 题 17 分, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求 的面积. 15.【答案】(1) (2) 6 【解析】 【分析】(1) 利用余弦定理即可求解; (2)利用辅助角公式化简 ,可得 ,其中 为锐角,从而得到 ,利用三角形面积公式求解即可 【小问 1 详解】 根据余弦定理 , 得 , 化简得 ,解得 或 (舍去), 所以 . 【小问 2 详解】 由 得 , 设 为锐角,则 ,故 , 所以 , 则 的面积 . 16. 如图，三棱锥 的侧面 是等边三角形，底面 是直角三角形，斜边 的中点为 . (1)证明: ； (2)若 ，求 所成角的正弦值. 16.【答案】(1)证明见解析 (2) . 【解析】 【分析】(1) 取 的中点 ,利用线面垂直的判定性质推理得证. (2)由给定的数量关系及(1)证得直线 ，再建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量， 进而求出线面角的正弦. 【小问 1 详解】 取 的中点 ,连接 ,由 是 中点,得 , 依题意, ,则 ,由 是等边三角形,得 , 又 平面 ,因此 平面 ,而 平面 , 所以 . 【小问 2 详解】 不妨设 ,则 , 连接 ,在 Rt 中, , 则 ,即 ,又 平面 , 因此 平面 ,直线 两两垂直, 以 为原点,直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 , 则 , 设平面 的法向量为 ,由 ,令 ,得 , 设 与平面 所成角为 ,则 , 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 17. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差. 17.【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125； （2）分布列见解析，方差为. 【解析】 【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在内，设其为，列出方程，求出答案； （2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个，的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差. 小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ， 故第60百分位数落在内，设其为， 则， 解得，故第60百分位数为125； 【小问2详解】 一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为 18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品概率的最小值． 18.【答案】（1）分布列见详解， （2） 【解析】 【分析】（1）根据X的取值逐一分情况计算即可得到答案； （2）求解出甲乙获得纪念品的概率表达式，对变形后得到，代入概率表达式化简，再应用均值不等式即可求解． 【小问1详解】 X的可能取值为0,1,2， 当时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题， 所以， 当时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题， 甲前2道题只答对1道题的概率为，乙答错第3题的概率为， 所以， 当时，有2种情况， ①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题， 概率为， ②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为， 所以，分布列如下， 0 1 2 P 期望． 【小问2详解】 两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况： ①甲答对1题，乙答对2题，概率为； ②甲答对2题，乙答对1题，概率为； ③甲答对2题，乙答对2题，概率为. 所以获得纪念品的概率， 又因为，所以，即， 对P进行变形， ， 由可得，即，所以， 当且仅当即时等号成立. 所以P的最小值. 综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为． 19. 物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，具体做法如下:先在 轴找初始点 ,然后作 在点 处的切线,切线与 轴交于点 ,再作 在点 处的切线,切线与 轴交于点 ,再作 在点 处的切线,以此类推,直到求得满足精度的方程 的近似解 为止. 对 ,设 是函数 的零点,记 ,其中 表示不超过实数 的最大整数; (1)求 的值； (2)当 时，证明: ； (3)记 ，若 ， ，当 取得最小值时，求正整数 的值. 19. 解: (1) 当 时, 在 上单调递增,且 存在唯一零点 ,故 (2) ， 在 上单调递增 (5 分) 当 时, ,故 (3)注意到 ,结合(2)知 ,所以 在点 处的切线为 , 令 ,得 ,且由 知, 在 下凸, (注意此处如果不用函数的凸性,也可以去证明 ) 从而 ,于是 ,所以 法一: 将 视为关于 的函数 ,不妨将定义域扩充到 则 ,令 得 , 即 由正弦函数的图象知，它们依次为 的最大值点，最小值点，最大值点，最小值点... 不难发现 的所有最小值点都不为整数，由余弦函数的对称性知，我们只需找出与上面这些最小值点距离最近的整数点即可,因此当 或 时, 最小. 故 或 为所求答案. 法二: 为常数, 只需 取最大值时, 最小 令 ,得 无论 取何整数, ,由余弦函数的对称性知,我们只需求出与 的最大值点距离最近的整数点即可,因此当 或 时, 最小 故 或 为所求答案. 学科网（北京）股份有限公司 $