精品解析：河北省定州中学2025-2026学年高一上学期12月考试数学试题

2025-2026学年上学期12月考试 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）（参考数据：） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 7. 已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数描述正确的是 A. 是偶函数 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 不是周期函数 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为或 B. 已知，则的解析式为 C. 已知，则 D. 已知，则 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的定义域为，则 C. 若的值域为，则 D. 若在上单调递增，则 11. 已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 最小值为 D. 的最大值为 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若扇形的圆心角是，弧长为，则扇形的半径为________. 13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是______________． 14. 已知函数，当时恒成立，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若；求实数的取值范围． 16. 已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. （1）若点坐标是且，求的值； （2）若角满足 ①求的值； ②求的值. 17. 已知函数为奇函数，且不为常函数. （1）求值； （2）若，用定义法证明：在上单调递减； （3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断单调性，并证明你的结论； （3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 19. 已知函数. （1）写出函数的单调递增区间（不需要说明理由）； （2）关于的方程有四个根，，，，且，求的取值范围； （3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期12月考试 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再结合交集的定义求结论. 【详解】因为集合， 所以， 所以. 故选：A. 2. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【详解】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故选：B 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 又，，， 所以， 所以函数有唯一零点，且内. 故选：C 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指对函数的单调性得到、、与0和1的大小关系即可得结论. 【详解】∵，即在定义域上单调递增，且，∴， ∵，即在定义域上单调递增，且，∴， ∵，即在定义域上单调递减，且，∴ ∴. 故选：B. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的单调性可得在上单调递增，然后将不等式化简，结合对数函数的单调性求解，即可得到结果. 【详解】因为定义在R上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增， 所以不等式即，即，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：C 6. 猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）（参考数据：） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，然后通过对数运算求解不等式得到取值. 【详解】已知最初引种猪血木1000株，每年以的比例增加， 那么经过年后，猪血木的数列为， 该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年， 所以可列出不等式， 即，两边同时取对数，则， 因为， 所以，即， 又，所以. 故选：A. 7. 已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为函数在的值域是函数在的值域的子集，再根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】因为对任意，存在，使得， 所以函数在的值域是函数在的值域的子集. 当时，； 当时，结合对勾函数性质知. 所以当时，函数的值域为. 若，当时，， 由，所以； 若，当时，， 此时不成立，故不合题意； 若，当时，， 由，所以. 综上可知：或. 故选：B 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数描述正确的是 A. 是偶函数 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 不是周期函数 【答案】B 【解析】 【分析】将表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断出正确选项. 【详解】由于，所以，由此画出函数图像如下图所示，由图可知，是非奇非偶函数，是周期为的周期函数，且值域为. 故选B. 【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查新定义函数概念的理解和运用，属于中档题. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为或 B. 已知，则的解析式为 C. 已知，则 D. 已知，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的解集确定的关系，化简不等式求其解集，判断A，设，换元求，由此可得，判断B，利用齐次化方法求结论判断C，由条件结合平方关系求，再结合平方关系求结论判断D. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且为方程的两根， 所以， 所以，， 所以不等式可化为， 所以，即， 所以不等式的解集为，A错误； 因为， 令，则，， 所以， 所以的解析式为，B正确； 因为， 所以，C正确； 因为， 所以，即， 所以，又，故 所以， 又， 所以，又， 所以，D错误； 故选：BC. 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的定义域为，则 C. 若的值域为，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知关于的方程的两根为、，且，结合韦达定理求出的值，可判断A选项；分析可知对任意的，，结合二次不等式恒成立求出的取值范围，可判断B选项；分析可知函数的值域包含，结合二次函数的基本性质可判断C选项；利用复合函数的单调性可知，在上为增函数，且对任意的，恒成立，求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为的定义域为，则不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为、，且， 所以，解得，A对； 对于B选项，若的定义域为，则对任意的，， 当时，则有，符合题意， 当时，则有，解得， 综上所述，若的定义域为，则，B错； 对于C选项，若的值域为，则函数的值域包含， 当时，，不符合题意， 当时，则，解得. 综上所述，若的值域为，则，C对； 对于D选项，因为在上单调递增，令， 当时，，不符合题意， 当时，二次函数的对称轴方程为， 因为外层函数为增函数，则在上为增函数， 且对任意的，恒成立， 所以，解得， 综上所述，若在上单调递增，则，D对. 故选：ACD. 11. 已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由求解；对B，由消元法化为二次函数求解；对C，由“1”的代换求解；对D，由求解. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号， 即最大值是，A正确； 对于B：，， 当时，取得最小值，B错误； 对于C：， 当且仅当时取等号，又，所以， 所以的最小值为，C错误； 对于D：，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，D正确. 故选：AD. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若扇形的圆心角是，弧长为，则扇形的半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出扇形圆心角的弧度数，结合扇形的弧长公式可求出该扇形的半径. 【详解】该扇形圆心角为，且该扇形的弧长为， 故该扇形的半径为. 故答案为：. 13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，根据二次函数在上的单调性，可得出函数在上的单调性，结合分段函数的单调性，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】若时，，则函数在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在上不单调，不符合题意； 若时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 此时函数在上为增函数， 根据题意可知，函数在上为增函数，则，解得； 若时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 由于函数在上单调，则且，解得， 此时函数在上为减函数， 根据题意可知，函数在上为减函数，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，当时恒成立，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析的零点及在零点两侧函数值的正负，得出在时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为，研究二次函数的零点分布情况即可求解. 【详解】设，，则，且在单调递增， 当时，；当时，； 因为当时恒成立，函数为上的连续函数， 所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以. 令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，， 所以，且，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若；求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由充分条件定义可得，根据集合的包含关系列不等式可求结论； （2）先说明，由条件结合交集的定义列不等式求的范围. 【小问1详解】 命题​，命题​，若是的充分条件，则有​． 所以​解得：​． 所以实数的取值范围​． 【小问2详解】 因为​，要使​，只需​或​， 解得：​或​． 所以实数的取值范围​． 16. 已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. （1）若点坐标是且，求的值； （2）若角满足 ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程求解的值即可； （2）①结合平方关系将已知等式平方可得，判断的符号，从而再平方可得的值；②由①中结论，列方程组解得的值，代入即可得所求. 【小问1详解】 因为且，所以点在第一或第二象限， 又 ，所以在第一象限且， 由三角函数概念知：， 故实数的值为； 【小问2详解】 ①因为角满足， 则， 所以， 又因为，则且， 所以， 由且，有， 所以， ②由①知：，则， 则. 17. 已知函数为奇函数，且不为常函数. （1）求的值； （2）若，用定义法证明：在上单调递减； （3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义导出关于的方程，解出，再结合“不为常函数”排除得到结果； （2）将值代入，化简函数表达式，在定义域内任取自变量作差，利用对数性质与真数大小比较证明函数值随自变量增大而减小； （3）将不等式分离出，构造关于的函数，利用其在给定区间上的单调性求出最大值，由大于该最大值确定参数范围； 【小问1详解】 由为奇函数，则对定义域内的每一个都有， 所以，即，所以， 当时，函数为常函数，与已知矛盾， 所以 【小问2详解】 由（1）知，， 任取，则， ，则，， ，即所以， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 对任意的，， 即，得， 记函数，， 则函数在区间上单调递减， 函数在区间上的最大值为， ，因此，实数的取值范围是. 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 【答案】（1）；证明见解析 （2）函数在上为单调递减函数；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，求得，当时，令，化简得到，结合，即可得证； （2）设且，则，由（1）知，求得，即可得证； （3）由（2）知，函数在上为递减函数，转化为对任意上恒成立，设，即为对任意上恒成立，结合的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由对任意的，都有，且当时，， 令，可得，即，解得， 当时，令，其中，可得， 因为，所以， 所以当时，. 【小问2详解】 解：函数在上为单调递减函数. 证明如下：设且，则，由（1）知：， 则，即， 所以函数在上为单调递减函数. 【小问3详解】 解：由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 因为对于任意的，不等式恒成立， 所以不等式对任意上恒成立， 即不等式对任意上恒成立， 设，因为，可得，所以对任意上恒成立， 又由在上为单调递增函数， 所以，所以，即实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）写出函数的单调递增区间（不需要说明理由）； （2）关于的方程有四个根，，，，且，求的取值范围； （3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，证明：． 【答案】（1）函数的单调递增区间为和 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由指数函数与对数函数的性质，结合复合函数的性质可求单调递增区间； （2）作出函数的图像，数形结合可得，进而计算可求得的取值范围； （3）由题意计算可得且，结合基本不等式可得结论. 【小问1详解】 当时，，由在上单调递增，在上单调递减， 所以可得在上单调递减， 当时，，由在上单调递增，在上单调递增， 所以可得在上单调递增， 当时，，由对数函数的性质可得在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为和. 【小问2详解】 因为，所以，所以，又， 作出函数的图像如图所示，关于的方程有四个根， 则函数和有四个交点，所以， 因为，所以可得， 所以，， 由，得，所以，所以， 所以，又，所以， 又，所以，所以，所以， 所以 【小问3详解】 关于的方程的所有根中有两个正根分别为，， 所以，，又， 所以，所以， 所以，所以或，所以（舍去）或， 所以且，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $