精品解析：湖南湘潭市第一中学2026届高三五月考前预测卷数学试题

2026届高三五月考前预测卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数 （为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数是3与9的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 6 5. 椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ） A. 3200 B. 6800 C. 3400 D. 6400 7. 已知函数的定义域为R，，且，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 是周期为2的函数 8. 正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则顶点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. 双曲线的离心率为 C. 当时，的面积为 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 11. 设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（ ） A. 若函数具有性质，则也具有性质 B. 若具有性质，则 C. 若具有性质，且，则 D. 若函数（，）具有性质，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为___________. 13. 已知函数f（x）的导函数为，且满足关系式，则f（1）＝______． 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，是的外心，，则________，的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中， （1）求边的长； （2）若，于点D，的中点为E，求线段的长． 16. 已知函数（且）． （1）当时，求函数的极值； （2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； （3）若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 17. 平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面． （2）在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 18. 某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． （1）当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． （2）若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． （3）当时，证明：． 19. 已知平面直角坐标系中，为：上的动点，.线段的中垂线与直线的交点为R，记点R的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）设，点为E上一点，构造点列：对，点关于x轴的对称点为点，过作斜率为k的直线，与E的另一交点为（若只有一个交点，记为）. ①试判断以和为邻边的平行四边形顶点是否恒在直线上?若是，求出的方程（用表示）；若不是，请说明理由. ②求证：当，且时，数列满足：对，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三五月考前预测卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数 （为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出在复平面上对应的点的坐标，则可求出答案． 【详解】解：， 复数在复平面内对应的点的坐标为：，在第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义． 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式即可得到集合，根据对数函数的定义域可得集合，代入集合的交集运算公式即可求解. 【详解】集合， 集合， 所以， 故选：B. 3. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，为的中点，根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以，所以为的一个三等分点（靠近），即， 又，所以为的中点， 所以 . 故选：D 4. 已知实数是3与9的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】是3与9的等比中项， 所以，解得． 5. 椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，结合椭圆的焦半径范围建立齐次式计算即可. 【详解】由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即， 因为， 设点，则，则， 所以 ， 所以，即， 整理可得，可得，故， 又因为，故， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选：D． 6. 某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ） A. 3200 B. 6800 C. 3400 D. 6400 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cm的概率，即可计算作答. 【详解】因为高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，且， 于是，因此， 所以高二男生身高不低于170cm的人数约为. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为R，，且，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 是周期为2的函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项分析判断. 【详解】函数，， 对于A，取，，则， 解得，不是奇函数，A错误； 对于B，，取，则， 即，B正确； 对于C，取，则，即，C错误； 对于D，由，得，即， 因此2不是的周期，D错误. 故选：B 8. 正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则顶点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点在底面内的射影点为，则为正三角形的中心，连接，并延长交于点，则为的中点，计算出的长，利用勾股定理可求得的长，即为所求. 【详解】设点在底面内的射影点为，则为正三角形的中心， 连接，并延长交于点，则为的中点，如下图所示： 因为是边长为的等边三角形，为的中点，则， 且， 因为为正的中心，则， 因为平面，平面，所以，， 由勾股定理可得. 因此，顶点到底面的距离为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据幂函数，指数函数，以及对数函数的性质，逐个判断选项即可. 【详解】对于A，幂函数在上单调递增，所以，故A正确； 对于B，若，则，，此时，故B错误； 对于C，函数单调递增，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：AC 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. 双曲线的离心率为 C. 当时，的面积为 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】BC 【解析】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，联立可得， 所以，直线与恰有只有一个公共点，A错； 对于B选项，对于双曲线，则，，， 所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则，C对； 对于D选项，设点、，线段的中点为， 则，，则， 由题意可得，所以，，则，D错. 故选：BC. 11. 设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（ ） A. 若函数具有性质，则也具有性质 B. 若具有性质，则 C. 若具有性质，且，则 D. 若函数（，）具有性质，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，再利用定义判断A；求出的周期计算判断B；由性质求出数列的通项，再计算前n项和判断C；取说明判断D. 【详解】对于A，函数具有性质，即存在非零常数，使得对任意的实数恒成立， 对两边求导得， 因此存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，也具有性质，A正确； 对于B，函数具有性质，则对任意的实数，，即， 于是，即函数的周期是4，因此， 所以，B正确； 对于C，函数具有性质，则，有， 取，则，而当时，， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，C正确； 对于D，函数（，）具有性质，即存在非零常数， 使得对任意的实数恒成立，即，而，因此， 当时，令，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 于是当时，的解为，与非零常数矛盾，即， 因此的取值范围不是，D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为___________. 【答案】280 【解析】 【分析】根据二项式系数和可得，再结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】由题意可知：二项式系数和为，解得， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：280. 13. 已知函数f（x）的导函数为，且满足关系式，则f（1）＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知求出，得到函数的解析式，即得解. 【详解】函数，则， 当时，，因此， 所以，则， 故答案为：3 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，是的外心，，则________，的最小值为________． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【详解】，可得． (为外接圆的半径)， ，，，故． 又，且， ，， ． ，，， （，）． 令，，则，在上单调递增， ∴当时，取得最小值，， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中， （1）求边的长； （2）若，于点D，的中点为E，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合同角三角函数关系，利用正弦定理求解即可； （2）利用余弦定理及面积公式求解. 【小问1详解】 因为，所以． 由正弦定理：， 所以． 【小问2详解】 由余弦定理：， 所以． 因为的面积为， 所以． 由勾股定理：， 所以． 16. 已知函数（且）． （1）当时，求函数的极值； （2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； （3）若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【答案】（1）极大值，无极小值 （2），切点坐标为 （3）的取值范围 【解析】 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标； （3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【小问1详解】 当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． 【小问2详解】 ， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． 【小问3详解】 令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 17. 平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面． （2）在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的判定，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）（i）利用线面平行的判定推理得证；（ii）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在平面四边形中，，，则， 在中，， 翻折后，，则，即， 又，平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 （i）由分别为线段的中点，得，而平面平面， 所以平面. （ii）在三棱锥中，，则， 即，由（1）知，而平面， 于是平面ABD，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 而， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 而平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 由，得，则，， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 18. 某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． （1）当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． （2）若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． （3）当时，证明：． 【答案】（1）； （2）①；② （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用对立事件和差事件求概率：，计算两次有放回抽取的结果概率； （2）①标号不大于即每次抽取都不超过，用独立重复试验求概率；②用分布列或尾和公式求期望，化简得到结果； （3）先写出期望表达式，再构造对称和式，结合函数单调性放缩证明不等式. 【小问1详解】 表示最大标号为，等价于所有抽取结果都不超过，且至少有一次等于， 则两次都不超过2； 两次都不超过2两次都不超过1. 【小问2详解】 ①最终标号不大于等价于次抽取的所有结果都不大于，每次抽到不大于的概率为， 因此. ②由于， 随机变量的期望得 . 【小问3详解】 ， 则随机变量的期望为 . 设，， 当时，，等号成立； 当时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 设， 又因为， 所以，所以． 综上所述，. 19. 已知平面直角坐标系中，为：上的动点，.线段的中垂线与直线的交点为R，记点R的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）设，点为E上一点，构造点列：对，点关于x轴的对称点为点，过作斜率为k的直线，与E的另一交点为（若只有一个交点，记为）. ①试判断以和为邻边的平行四边形顶点是否恒在直线上?若是，求出的方程（用表示）；若不是，请说明理由. ②求证：当，且时，数列满足：对，. 【答案】（1）； （2）①是，；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出曲线E的方程. （2）①求出直线的方程与曲线E的方程联立，求出点的坐标即可；②由①的信息探求数列的性质，结合已知得，再利用不等式的性质及等比数列前项和公式推理得证. 【小问1详解】 点在上，连接，由R在线段的中垂线上，得， 则，因此动点R的轨迹是以C，A为焦点，长轴长为4的椭圆， 即长半轴长，半焦距，则知半轴长， 所以曲线E的方程为. 【小问2详解】 ①依题意，，，，， 设直线，即的方程为，由消去， 得，则， 即，， 因此，而， 则，在中，， 即，直线斜率恒为， 所以点恒在直线：上. ②由①知，，当时，， 当时，，则， 由在椭圆上，令，对，， ，，， 由，得，则，， 则，对，， 因此，， 由，得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $