精品解析：天津市第三中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

天津市第三中学2025~2026学年度第一学期 高一年级阶段性检测试卷 数学 （2025.12） 试卷命题人：高一数学全体教师 试卷审核人：集备组长 第I卷 选择题 一、单选题（共9题，每题3分，共27分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊角三角函数值即可求解. 【详解】. 2. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据幂函数单调性分析判断. 【详解】因为，且， 对于选项ABC：例如，满足， 但无意义，故A错误； 且，即，故B错误； ，故C错误； 对于选项D：因为在定义域内单调递增，可知，故D正确； 故选：D. 3. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式判断出函数奇偶性可得结论. 【详解】易知，即或； 即函数定义域为，显然定义域关于原点对称；可排除B，C； 且满足，即为偶函数，图像关于轴对称，排除D； 故选：A 4. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，由，得， 显然能推出，而不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数及单调性列出满足的条件求解即可. 【详解】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以，解得， 故选：A 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理求解即可. 【详解】因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 7. 已知偶函数在单调递减，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性得，，利用对数的运算得到，结合题设条件，即可求解. 【详解】因为，，， 又偶函数在单调递减， 所以， 即. 故选：C. 8. 已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】设扇形的半径为，扇形的圆心角为150°，即 所以弧长为，则 这个扇形的面积为 故选：B 9. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知函数与的图象恰有两个不同的交点，作出函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】若关于的方程恰有两个不同实根， 则函数与的图象恰有两个不同的交点， 作出的图象如图： 当时，，所以， 当时，， 当时，， 当时，，此时最大值为， 由图知：当或时函数与的图象恰有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 第II卷 非选择题（共10题，共73分） 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知角以坐标原点为顶点、x轴的非负半轴为始边，为角终边上一点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义求出正余弦即可得解. 【详解】由三角函数定义可知，， 所以. 故答案为： 11. 函数 的定义域是___________ . 【答案】 【解析】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 12. 已知函数若，则 m 的值为________ 【答案】0或2 【解析】 【分析】分和讨论，代入解析式运算求解. 【详解】当时，由，得，解得，符合题意， 当时，由，得，解得，符合题意， 综上，或. 故答案为：或2. 13. 计算: (式中字母均为正数)=_____________. 【答案】 【解析】 【分析】将根式化为分数指数幂，然后由指数幂的运算性质可得. 【详解】 . 故答案为： 14. 若实数、满足，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】先将化为对数式，再利用换底公式和对数的运算性质求值. 【详解】因为，所以. 所以. 所以. 故答案为：. 15. 已知函数且）的图象恒过定点，且满足，则的最小值_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据指数函数图像过定点的知识，求得的值，进而求得的值，再根据均值不等式即可求出. 【详解】当时，函数， 故函数且）的图象恒过定点， ，， ， 根据均值不等式可得，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 三、解答题（共4道题，共49分） 16. 化简求值： （1）已知，求和的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1） 当在第四象限时，，； 当在第一象限时，，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，讨论所在象限，分别求解即可； （2）根据弦化切即可求解. 【小问1详解】 由于，所以在一、四象限， 在第四象限时，，； 在第一象限时，，. 【小问2详解】 依题意，， 所以. 17. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）0 （2）83 （3） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值运算求解即可； （2）（3）根据指数幂运算、对数的运算性质以及对数的定义运算求解. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 原式. 18. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）若，解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合函数单调性建立方程，解得的值； （2）由的范围知道函数的单调性，从而建立不等式组解得的范围. 【小问1详解】 因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即或， 解得或. 【小问2详解】 由题意得函数是上的减函数， 所以，即， 综上可得：当时，不等式解集为. 19. 已知函数． （1）试判断的奇偶性并证明； （2）求证：函数在上是减函数； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明： 函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2） 证明：， 设，由， 因为，所以，所以， 因此，所以， 故函数在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的，不等式恒成立， 又为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第三中学2025~2026学年度第一学期 高一年级阶段性检测试卷 数学 （2025.12） 试卷命题人：高一数学全体教师 试卷审核人：集备组长 第I卷 选择题 一、单选题（共9题，每题3分，共27分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 4. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数在单调递减，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共10题，共73分） 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知角以坐标原点为顶点、x轴的非负半轴为始边，为角终边上一点，则______. 11. 函数 的定义域是___________ . 12. 已知函数若，则 m 的值为________ 13. 计算: (式中字母均为正数)=_____________. 14. 若实数、满足，则__________. 15. 已知函数且）的图象恒过定点，且满足，则的最小值_________. 三、解答题（共4道题，共49分） 16. 化简求值： （1）已知，求和的值； （2）已知，求的值. 17. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 18. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）若，解关于的不等式. 19. 已知函数． （1）试判断的奇偶性并证明； （2）求证：函数在上是减函数； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $