精品解析：广西壮族自治区崇左市 扶绥县同正学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

扶绥县同正学校八年级数学上册月考卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑） 1. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的定义和因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，因式分解的方法有：十字相乘法，提公因式法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ． ，原因式分解错误，故该选项不符合题意； ．，因式分解正确，故该选项符合题意； ．，不是因式分解，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到的长度的最小值是解题的关键．由垂直平分，得到点关于直线对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论． 【详解】∵，D是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， 如图，当P为与的交点时，取最小值， 此时， ∴的最小值为， 故选：B． 3. 老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，则的长不可能是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】如图1所示，延长到E使得，利用倍长中线模型证明得到，再用三角形三边的关系可得，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴B，C，D不符合题意，A符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键． 4. 若，，则的值为（ ） A. 9 B. C. 18 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知公式的变形应用．根据完全平方公式进行变形即可求解． 【详解】∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 5. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再利用三角形的面积公式可得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，点为边的中点，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为， 故选：C． 6. 如图，，点P是内的一个定点，，点C、D分别是、上的动点，连结、、，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质以及周长最小时点C、D的确定方法是解题的关键，作出图形更形象直观． 作点P关于、的对称点、，连接分别与、相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点C、D，周长的最小值等于，根据轴对称的性质可得，，，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得． 【详解】解：作点P关于、的对称点、，连接，分别与、的交点即为C、D，连接， ∴周长， 当四点共线时，周长的最小值， 由轴对称的性质，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长的最小值． 故选：C． 7. 如图，是正方形的一条对称轴，点是直线的上的一个动点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】这是一个很明显将军饮马模型的最短路问题，根据模型先找D关于直线MN的对称点，发现对称点与A重合，然后连接AC与对称轴的交点P，满足PC+PD的值最小，此时可以知道，∠PCD=45° 【详解】∵是正方形的一条对称轴，∴ D关于直线MN对称的点为A，连接AC交MN于P点，此时PM+PN的值最小，∵△ACD为等腰直角三角形，∴∠PCD=45°. 【点睛】本题主要考查将军饮马模型的最短路问题，利用模型找到满足PM+PN的值最小时，P的位置是本题的关键 8. 题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 甲、乙的答案合在一起才完整 B. 乙、丙的答案合在一起才完整 C. 只有乙的答案正确 D. 三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 9. 计算的正确结果是（其中为整数）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用负数的奇偶次幂的性质，将表达式化简后计算． 【详解】解∶∵为偶数，为奇数， ∴= =， 且=， ∴原式= = = =， 故选∶B． 10. 如图，在中，，，CD平分，，则图中共有等腰三角形（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，求出，求出，根据平行线的性质得出，，，推出，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴、、、、都是等腰三角形，共5个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，根据题意求出，，是解题的关键． 11. 如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，两点之间的距离可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称性，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性和三角形存在性是解题的关键． 连接，，根据对称性，得到，利用三角形三边关系定理计算选择即可． 【详解】解：如图，连接，，根据对称性可得：， 由条件可知 在中，∵最大， ∴ 即，选项中只有B选项符合条件． 故选：B． 12. 如图，已知：在 和 ，点 ，，， 在同一直线上，在给出的下列条件中，① ，② ，③ ，④，选出三个条件可以证明 的有（ ）组． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定；根据已知得出，根据平行线的性质得出，进而根据全等三角形的判定定理分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∵ ∴若①②③为条件，不能证明， 若①②④为条件，能证明， 若①③④为条件，不能证明， 若②③④为条件，能证明． 故选：C． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分．） 13. 如图，在四边形中，，，M，N分别是边， 上的动点，当的周长最小时，的大小是________° 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和，四边形的内角和，解题的关键是根据轴对称的性质确定点M和点N的位置． 作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接，分别交于点N，交于点M，连接；点，点，点M，点N四点共线时，的周长最小，先根据四边形的内角和求出，再根据三角形的性质求出，最后根据轴对称的性质求出，即可进行解答． 【详解】解：作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接，分别交于点N，交于点M，连接； ∵点C和点关于的对称，点C和点关于的对称， ∴， 的周长= ∴点，点，点M，点N四点共线时，的周长最小， ∵在四边形中， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在y轴上运动，当的值最小时，点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数的性质、轴对称的性质、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由题意可得两点关于轴对称，连接，与轴的交点即为点，即此时的值最小，待定系数法求出直线的解析式，令，即可求出点的坐标； 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 两点关于轴对称， 如图，连接，与轴的交点即为点，即此时的值最小，   直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为， 故答案为：； 15. 如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于_______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】先在中，运用三角形内角和定理，求得，再根据图形翻折的性质，求得，最后在中，运用三角形内角和定理，求得． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及图形翻折的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 16. 计算： （1）已知，则__________． （2）若，则__________． 【答案】（1）2025 （2） 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． 【小问1详解】 解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解； （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： . 【小问3详解】 解： . 18. 如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 【答案】，；，， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键．根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案． 【详解】解：以为角的三角形有，， 以为边的三角形有，，． 19. 如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】 证明：， ，即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】略 20. 已知：如图，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，F、G分别是 OA、OB 上的点，且 PF=PG，DF=EG． 求证：OC 是∠AOB 的平分线． 【答案】 证明：在 Rt△PFD 和 Rt△PGE 中， ， ∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）， ∴PD=PE， ∵P 是 OC 上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC 是∠AOB 的平分线． 【解析】 【分析】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质、全等三角形的判定及性质，解题关键是由三角形全等得到线段相等，从而证明OC 是∠AOB 的平分线． 21. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平行线的性质和等腰三角形的判定，利用等角转化得到等腰三角形是解题的关键． 首先利用角平分线的定义和平行线的性质，即可得到中的两个底角相等，再利用等角对等边即可得到是等腰三角形． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 22. 如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：． 【答案】 证明：是等边三角形，是中线， ．（等腰三角形三线合一）． 又， ． 又， ． ． ． 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． 【详解】略 23. 阅读材料：小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数． 小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些烦琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始同，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说同，只需用：中的一次项系数1乘中的常数项3，再用：中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数，可以先用：的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用：的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18；最后将12，16，18相加，得到一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： （1）计算所得多项式的一次项系数为______ （2）计算所得多项式的一次项系数为______ （3）若计算所得多项式的一次项系数为0，求a的值． （4）若是的一个因式，求的平方根． 【答案】（1）19 （2）29 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查用已知的解法求多项式乘多项式中的各次项系数和解一元一次方程， 根据已知方法分别找到各多项式对应的1次项系数和常数项求解即可； 根据题干给定的延续方法，分别找到各多项式对应的1次项系数和常数项求解即可； 根据题干给定的延续方法，分别找到各多项式对应的1次项系数和常数项求的带有字母a的代数式，结合所得多项式的一次项系数为0即可解得a； 根据题干给定的方法，首先可知的4次项系数为1，常数项为2，的2次项系数为1，常数项为1，依据多项式相乘可设另一个因式为，结合题干的3次项系数为0，2次项和1次项系数对应相等列等式求解得到a和b即可求得答案． 【小问1详解】 解：的一次项系数，先用：中的一次项系数2乘中的常数项5， 再用：中的常数项3乘中的一次项系数3，两个积相加， 即一次项系数为19， 故答案为：19； 【小问2详解】 所得多项式的一次项系数，先用：的一次项系数1，的常数项5，的常数项，相乘得到； 再用：的一次项系数3，的常数项2，的常数项，相乘得到； 然后用的一次项系数4，的常数项2，的常数项5，相乘得到40；最后将，，40相加， 得到一次项系数为， 故答案为：29； 【小问3详解】 所得多项式的一次项系数，先用：的一次项系数1，的常数项a，的常数项，相乘得到； 再用：的一次项系数，的常数项2，的常数项，相乘得到； 然后用的一次项系数2，的常数项2，的常数项a，相乘得到； 最后将，，相加，得到一次项系数为， 解得． 【小问4详解】 ∵的4次项系数为1，常数项为2，的2次项系数为1，常数项为1， ∴可设另一个因式为， ∴， 由题干得3次项系数为0，2次项和1次项系数对应相等得， 解得， 则， 那么，的平方根为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扶绥县同正学校八年级数学上册月考卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑） 1. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 3. 老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，则的长不可能是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 若，，则的值为（ ） A. 9 B. C. 18 D. 5. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 如图，，点P是内的一个定点，，点C、D分别是、上的动点，连结、、，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是正方形的一条对称轴，点是直线的上的一个动点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 8. 题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 甲、乙的答案合在一起才完整 B. 乙、丙的答案合在一起才完整 C. 只有乙的答案正确 D. 三人的答案合在一起才完整 9. 计算的正确结果是（其中为整数）（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，CD平分，，则图中共有等腰三角形（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 11. 如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，两点之间的距离可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 7 12. 如图，已知：在 和 ，点 ，，， 在同一直线上，在给出的下列条件中，① ，② ，③ ，④，选出三个条件可以证明 的有（ ）组． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分．） 13. 如图，在四边形中，，，M，N分别是边， 上的动点，当的周长最小时，的大小是________° 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在y轴上运动，当的值最小时，点D的坐标为________． 15. 如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于_______． 16. 计算： （1）已知，则__________． （2）若，则__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 19. 如图，在和中，，，． 求证：． 20. 已知：如图，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，F、G分别是 OA、OB 上的点，且 PF=PG，DF=EG． 求证：OC 是∠AOB 的平分线． 21. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G，求证：是等腰三角形． 22. 如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：． 23. 阅读材料：小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数． 小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些烦琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始同，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说同，只需用：中的一次项系数1乘中的常数项3，再用：中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数，可以先用：的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用：的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18；最后将12，16，18相加，得到一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： （1）计算所得多项式的一次项系数为______ （2）计算所得多项式的一次项系数为______ （3）若计算所得多项式的一次项系数为0，求a的值． （4）若是的一个因式，求的平方根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $