精品解析：江苏省淮阴中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省淮阴中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学 命题人：张克玲 审定人：丁玲玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 2. 若直线是圆的一条对称轴，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 4. 已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为（ ） A. B. C. D. 8 6. 等差数列的前项和为，若，则下列各量的值一定为定值的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若等差数列满足，则（ ） A. B. C. 为单调递减数列 D. 当时，的前项和最大 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 过点作圆的切线有且仅有2条 B. 圆与圆无公共点 C. 点在圆上，点在圆上，则的最大值为12 D. 圆上到直线的距离为2的点恰有3个 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，交于，交于，则（ ） A. B. 以为直径的圆过原点 C. 的最小值为 D. 与的面积之比为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 13. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 14. 已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为___________；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是．求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）的外接圆方程． 16. 已知等比数列的公比，且满足．数列的前项和． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，圆． （1）若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； （2）斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①判断直线与直线的位置关系； ②是否存在点，使得与的面积之比为，若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省淮阴中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学 命题人：张克玲 审定人：丁玲玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：C 3. 设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 【答案】D 【解析】 【详解】 项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D. 4. 已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 5. 等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，进而解得，利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，所以， 由成等比数列，所以，所以， 即，解得或（舍去）， 所以， 所以， 故选：A. 6. 等差数列的前项和为，若，则下列各量的值一定为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出首项和公差，结合题意得到，判断A，C，结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】设首项为，公差为， 因为，所以， 化简得，则，， 对于A，由已知得，则不一定为定值，故A错误， 对于B，由等差数列的求和公式得 ，则一定为定值，故B正确， 对于C，由已知得，则不一定为定值，故C错误， 对于D，由等差数列的求和公式得 ，则不一定为定值，故D错误. 故选：B 7. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由抛物线的定义可得，得，代入抛物线方程求出纵坐标即可得到点的坐标. 【详解】抛物线的焦点为,准线方程为， ； 因为点到的焦点的距离为5，所以由抛物线的定义得，得； 又因为为抛物线上一点，所以，所以， 所以点的坐标为； 故选：A 8. 已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出点的轨迹方程，确定点的轨迹是圆，再结合椭圆的性质，求出圆心到椭圆上的点的最大距离，即可得到的最大值. 【详解】设点，由题意可知. 因为，所以， 将式子展开可得， 即，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 设椭圆上动点，则有，即. 点到圆心的距离 . 对于二次函数，其图象开口向下，对称轴， 所以当时，取到最大值，， 所以. 因为的最大值为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径， 所以的最大值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若等差数列满足，则（ ） A. B. C. 为单调递减数列 D. 当时，的前项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB：根据题意结合等差数列的性质可得，；对于C：可得，即可得判断单调性；对于D：根据数列的符号分析的最值即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，即，故A正确； 又因为，即，故B错误； 则，可知为单调递减数列，故C正确； 可知当时，；当时，； 所以当时，的前项和最大，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 过点作圆的切线有且仅有2条 B. 圆与圆无公共点 C. 点在圆上，点在圆上，则的最大值为12 D. 圆上到直线的距离为2的点恰有3个 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆、的圆心及半径，再结合圆的性质逐项判断即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，点在圆外，过点作圆的切线有且仅有2条，A正确； 对于B，，即，圆与圆相交，有2个公共点，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，点到直线的距离， 则与直线平行且距离为2的两条平行线中，一条过圆的圆心，另一条与圆相切， 因此圆上到直线的距离为2的点恰有3个，D正确. 故选：ACD 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，交于，交于，则（ ） A. B. 以为直径的圆过原点 C. 的最小值为 D. 与的面积之比为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】设过的直线为，联立抛物线方程，由韦达定理可判断A，利用判断B，利用两点间距离公式及二次函数配方求最值判断C， 设直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理可得点坐标与点坐标的关系，求直线与轴交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可判断D. 【详解】如图， 设过的直线为，联立， 消元可得，则，故A正确； 因为， ， 所以以为直径的圆过原点，故B正确； 因为， ，故当时，有最小值，即的最小值为，故C错误； 由抛物线可知，设直线的方程为， ，联立，消元可得， 所以，即，， 同理可得，，设与轴交点为，则， 即，可得，可得， 解得，所以， ，所以，为定值，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求直线的方程是，即. 故答案为：. 13. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式和椭圆的定义求得正确答案. 【详解】由椭圆的定义及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 由于，所以，长轴长. 故答案为： 14. 已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为___________；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：可用、表示出直线的斜率，结合渐近线斜率与双曲线交点个数计算即可得； 空二：利用内切圆圆心与三角形角平分线的关系可得，则可得为的中点，再利用双曲线定义计算与勾股定理及离心率定义计算即可得. 【详解】空一：设向渐近线作垂线，垂足为H， 则， 由与渐近线平行的直线与双曲线最多一个交点， 而直线与双曲线左右支各有一交点，故， 则，故； 空二：设的内心为，则， 故内心在以为直径的圆上，连接，又， 则，设， 则，所以， 而， 所以，所以，即， 又，所以，即H为的中点， 又，，所以，则， 由双曲线定义可得，所以， 在中，， 所以，即， 所以离心率. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是．求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）的外接圆方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求边的中点为，结合直线的两点式方程运算求解； （2）设的外接圆方程为，代入点运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则边的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 设的外接圆方程为， 将代入可得， 解得， 所以的外接圆方程为. 16. 已知等比数列的公比，且满足．数列的前项和． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）数列的通项公式为，的通项公式为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程组，求解方程组得到首项和公比的值，进而得到的通项公式，利用与的关系求出的通项公式； （2）先求出的表达式，然后利用错位相减法求出数列的前项和. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列的通项公式，已知，可得， 解得或，又因为，所以，代入，所以，故， 又已知数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，符合上式，∴． 因此数列的通项公式为，的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，,所以令 所以，① 两边同乘以得： ，② 由①②，将两式错位相减得： 解得， 因此数列的前项和. 17. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）①利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； ②根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、两点间距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为点到直线的距离与它到点的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以的方程为； 【小问2详解】 ①， 因为直线与交于点， 所以， 因此的取值范围为； ②设， 在中，令，得，即 ， 由①可得，， 即， 因此. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，圆． （1）若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； （2）斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1）①或；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先对的斜率进行分类讨论，再结合勾股定理与点到直线的距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程，②作出符合题意的图形，利用圆与圆的位置关系得到三点共线，进而确定，再代入求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）结合题意转化为点到直线距离问题，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【小问1详解】 对于①：当时，， 将圆化为标准方程，可得， 可得，，由题意得过点， 当的斜率不存在时，的方程为，令，解得或， 则弦长为2，与题意不符，故排除， 当的斜率存在时，设的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，且弦长为， 则由勾股定理得， 由点到直线的距离公式得， 得到，解得或， 则直线的方程为或. 对于②：如图，作出符合题意的图形，设， 因为圆与轴相切，所以， 因为圆与圆外切于点，所以三点共线， 可得，即，圆的方程为， 将代入，可得，解得， 则圆的方程为. 【小问2详解】 因为斜率为的直线过点， 所以直线的方程为，即， 因为圆与圆有公共点，所以， 设点到直线的距离为， 因为在直线上存在点，所以， 由，则，解得， 则实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①判断直线与直线的位置关系； ②是否存在点，使得与的面积之比为，若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①平行；②存在，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率的意义求出即得. （2）①由（1）求出椭圆顶点坐标，设出点的坐标，并求出直线方程，进而求出交点的坐标，再求出直线的斜率即可判断；②由①的结论，结合面积关系求出长，进而求出点的坐标，再求出直线交点坐标即得. 【小问1详解】 由椭圆的上下顶点间距离为4，得， 由的离心率为，得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①直线与直线平行，理由如下： 由（1）得，设点， 则，直线方程为，直线的方程为， 直线方程为，直线方程为， 设，由消去得，， 设，由得点， ， 因此，直线的斜率， 而点不在直线上，所以. ②由①知，，显然边上的高等于边上的高， 若存在点，使得与的面积之比为，则， 而点，因此，解得， 当时，点，则，解得，符合题意； 当时，点，则，解得，不符合题意， 所以存在点，使得与的面积之比为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $