精品解析：重庆市第八中学校2026届高三12月月考数学试题

重庆市第八中学校2026届高三12月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第25百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 17.5 D. 20 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B和C各需要2人.分配方案数为，甲和乙被分配到同一项目的概率为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线焦点为,是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为（ ） A B. C. D. 8. 为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知最小正周期为，且将函数的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，函数 C. 若是函数的一个对称中心，则 D. 当时，函数在区间上单调递增，则的最大值为 10. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确有（ ） A. 对任意的均有两个零点 B. 若方程有两实根，则 C. 若正实数满足，则 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则_____. 13. 从数字，，，，中不重复地选取组成五位数，若该数满足千位和十位上的数字均比各自相邻数字大（形如“低一高一低一高一低”），则称其为“龙脉数”，则所组成的数为“龙脉数”的概率为_____. 14. 已知数列的前项和为，且满足，则_____. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求A； （2）若，求. 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点在线段上，点N在线段AC上，满足平面. （1）若点M是线段的中点，求线段AN的长度； （2）若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的右顶点为A，过点的直线与双曲线交于两点不在x轴上）.若直线AB和AC分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆被x轴截得的弦长为定值. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：方程有两个根； （3）在（2）的条件下，证明：. 19. 某工厂为监控生产线上的产品质量，设置了（）个等间隔的质量检测时间点，编号从到，相邻时间点间隔为小时.每天质量监控部门会从这个时间点中随机选取若干个时间点（至少选取一个）去进行产品抽检，选取的抽检时间点中最小编号为（最早抽检时间），最大编号为（最晚抽检时间）.称为抽检时间跨度，是抽检方案设计中的关键参数，它反映了抽检在时间轴上的覆盖范围. （1）当时，求； （2）求和； （3）求表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第八中学校2026届高三12月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再利用复数的除法即可求解. 【详解】因，所以可得，所以，故A正确. 故选:A. 2. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，结合补集的定义可得结果. 【详解】因为， 且全集，故. 故选：D. 3. 样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第25百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 17.5 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】先将样本数据按从小到大的顺序排列，再根据百分位数的定义计算. 【详解】根据题意，将样本数据按从小到大顺序排列为13，16，19，20，21，23，24，28， 由于，所以该组数据的第25百分位数为. 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可对化简求得，再利用二倍角的正切公式从而可求解. 【详解】因为， 则， 所以，则， 所以，故A正确. 故选：A. 5. 有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B和C各需要2人.分配方案数为，甲和乙被分配到同一项目的概率为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理和分类计数原理及古典概率计算公式计算即可求解. 【详解】第一步：先从5人中选1人分配到项目A， 第二步：从剩下4人中选2人分配到项目B， 第三步：从剩下2人中选2人分配到项目C， 所以分配方案数为； 其中甲、乙2人分在同一组，则甲乙只能分配到项目B或项目C， 第一种情况，甲、乙在项目B，则从剩下3人中选1人到项目A，剩下2人到项目C，有种方案； 第二种情况，甲、乙在项目C，则从剩下3人中选1人到项目A，剩下2人到项目B，有种方案； 所以甲、乙2人分在同一组共有种分配方案， 设事件“甲和乙被分配到同一项目组”， 所以，即. 故选：B． 6. 已知数列是等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为 ， 两个式子相比，得， 又由于同号，且相加小于0，所以， 故选：C 7. 已知抛物线的焦点为,是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，，由题意可知，利用平面向量坐标的线性运算得出，将点的坐标代入抛物线的方程，得出，考虑，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】易知抛物线的焦点为， 设点，因为在线段上，且满足，则， 设点，可得， 所以，解得，即点， 因为点在抛物线上，所以，所以， 所以，要求最大值，只需考虑， 此时， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故直线斜率的最大值为. 故选：D. 8. 为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中事件的关系，结合独立事件的判定判断各项的正误即可. 【详解】①：由题图知：为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，不正确； ②：由图得，则， 则有，所以图中事件A，B相互独立，正确； ③：设图中的小的长方形的面积为， 由，， 所以，则题图中事件A，B相互独立，正确， 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知最小正周期为，且将函数的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，函数 C. 若是函数的一个对称中心，则 D. 当时，函数在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，即可对A判断求解；根据正弦函数平移可得，结合即可对B判断求解，结合若是函数的一个对称中心由题可对C求解判断；结合可得，再结合正弦型函数的单调区间即可对D求解判断. 【详解】A：由，又，所以，故A选项正确； B：当时，函数，将函数的图象向左平行移动个单位长度，则，故B选项错误； C：将函数的图象向左平行移动个单位长度得到， 若是函数的一个对称中心，则， 因为，所以，故C选项正确； D：当时，，因为函数在区间上单调递增， 所以，即且，解得，故的最大值为，故D选项正确， 故选：ACD． 10. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，可得，根据，代入数据，即可判断A的正误；由，可判断B的正误；根据条件概率公式，代入数据，可判断C的正误；根据概率加法公式，代入计算，可判断D的正误. 【详解】对于A：，所以． 又由，故A正确； 对于B：， 变形可得，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则有， 故，故D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意的均有两个零点 B. 若方程有两实根，则 C. 若正实数满足，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】令，结合指数函数的性质求解判断A，对函数求导，判断函数的区间单调性，进而研究区间的函数值范围，再由根的个数确定参数范围判断B，由，结合函数的区间单调性有，结合基本不等式判断C，令，则，结合对勾函数、指数函数的性质确定符号判断D. 【详解】对于A，，即，A正确； 对于B，，由，故， 所以在和上单调递增， 注意趋近于时，趋近于， 从小于0一侧趋近于0时，趋近于1， 从大于0一侧趋近于0时，趋近于， 趋近于时，趋近于， 故若方程有两实根，，B错误； 对于C，由，又在上单调递增， 如果，则，则矛盾， 故有，故，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，令，则， 由于在上单调递增， 当时，，， 当时，，， 当时，，D错误， 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及向量夹角、垂直的坐标表示得、，即可得. 【详解】由夹角公式， 又， . 故答案为： 13. 从数字，，，，中不重复地选取组成五位数，若该数满足千位和十位上的数字均比各自相邻数字大（形如“低一高一低一高一低”），则称其为“龙脉数”，则所组成的数为“龙脉数”的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意先求出不重复数字的个数有种，符合题意的情况有十位和千位数为，和十位和千位数为，两种情况，分别算出每种的个数，再利用古典概率即可求解. 【详解】由，，，，可构成不重复数字的个数有，记由，，，，可构成不重复的“龙脉数”为事件， 则包含的结果有十位和千位数为，和十位和千位数为，两种情况： ①十位和千位数只能是，的结果有； ②当十位和千位数为，时，分两种情况： 当千位为，十位为，则万位和百位须从，中选取，有种； 当千位为，十位为，则百位和个位须从，中选取，有种； 故共有种； 由古典概率的计算公式可得， 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，且满足，则_____. 【答案】350或357 【解析】 【分析】讨论的奇偶性，结合递推关系求项判断数列的周期性，进而求. 【详解】当为奇数时，，则， 数列的项依次为， 数列是周期为3的数列，所以； 当为偶数时，，则， 数列的项依次为， 数列是首项为8，从第2项起周期为3的数列， 所以 故答案为：350或357 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求A； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式计算可得； （2）利用正弦定理求出，再由诱导公式计算可得. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 又由二倍角公式，得 ， 又， ∴在三角形内，有． 又． 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得：． 又由条件可知代入上式有： ， 或（舍负）．， 由正弦定理得， 故在中， ， 又由（1）可知，，又，， 则，故，则为锐角，， 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点在线段上，点N在线段AC上，满足平面. （1）若点M是线段的中点，求线段AN的长度； （2）若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）过作交于点，连接CE，利用线面平行的性质证得，进而求出长度. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 在三棱柱中，过作交于点，连接CE， 由，得，平面即为平面， 又平面平面，平面平面， 则，由是线段的中点，得是线段的中点，是线段AC的中点， 由平面，平面，得，正方形边长为2， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，当点是线段AC上靠近的三等分点时， 则点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点， 由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 平面ABM的法向量为，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面ABM与平面所成角的余弦值为. 17. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的右顶点为A，过点的直线与双曲线交于两点不在x轴上）.若直线AB和AC分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆被x轴截得的弦长为定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意，设，则，再由点在双曲线上求参数，即可得标准方程； （2）设直线，联立双曲线并应用韦达定理得，再设求坐标，同理求坐标，结合并将韦达公式代入化简，即可证 【小问1详解】 由已知，设，则双曲线， 又点在双曲线上，解得，则， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 设直线， 由，得， 其中且， 所以， 设直线，令，得， 同理可得，故． 记以PQ为直径的圆与轴交于M，N两点，圆心为， 从而， 所以 ， 所以为定值. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：方程有两个根； （3）在（2）的条件下，证明：. 【答案】（1）在上递增，在上递减，在上递增 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求得，再由和求解； （2）令，从而，再结合（1）证明； （3）由，得到，再由在上递增，得到，然后证，，分别令，，利用导数法证明. 【小问1详解】 ， 令，则有或， 当或时，；当时，， 所以在上递增，在上递减，在上递增． 【小问2详解】 证明：令，则． 由（1）可知，在上递增，在上递减，在上递增． 又，故， 由，则存在，有， 故存在两个零点和． 【小问3详解】 证明：由，则有． 又由在上递增， 即证． 先证， 令， ，即证． 令， ，故在上递减． 又，则，得证； 再证， 令， 令，即证， 又，故在上递增， 故，由以上两方面可知，，证毕． 19. 某工厂为监控生产线上的产品质量，设置了（）个等间隔的质量检测时间点，编号从到，相邻时间点间隔为小时.每天质量监控部门会从这个时间点中随机选取若干个时间点（至少选取一个）去进行产品抽检，选取的抽检时间点中最小编号为（最早抽检时间），最大编号为（最晚抽检时间）.称为抽检时间跨度，是抽检方案设计中的关键参数，它反映了抽检在时间轴上的覆盖范围. （1）当时，求； （2）求和； （3）求的表达式. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，则可取，再求出相应的概率，即可列出分布列，即可求解； （2）分别求出时子集数量有个和时，子集数量有个，从而可得；同理可求得，即可求解； （3）由题可求得，再结合错位相减即可求出，由对称性可知，则可求出，即可求解. 【小问1详解】 记个等间隔的质量检测的时间点为，则，每天选若干个时间点进行检测等价于考虑集合的非空子集. （1）当时，， 所有抽检的结果为：共7种情况， 当时，符合的有共种情况，则， 当时，符合的有共种情况，则， 当时，符合的有共种情况，则， 从而的分布为： 1 2 3 因此． 【小问2详解】 所有抽检子集的总数为个， ：表示最小编号不超过，即或． 当时，这要求编号在子集中，且编号不在子集中，这样的子集数量有个，从而有； 当时，这要求编号在子集中，这样的子集数量有个，从而有． 从而有． ：表示最大编号至少有，即或． 当时，这要求编号在子集中，且编号不在子集中，这样的子集数量有个， 从而有； 当时，这要求编号在子集中，这样的子集数量有个，从而有． 从而有． 小问3详解】 ：表示最小编号为，这要求在子集中，不在子集中，这样的子集的个数有个， 因此， 所以． ①-②相减得： 所以， 所以． 由对称性可知， 所以， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $