精品解析：重庆市第八中学2026届高三下3月月考数学试卷

重庆八中高2026届3月适应性月考（六） 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集为，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在阴影部分区域中任取一个元素，分析与集合、的关系，由此可得出结论. 【详解】在阴影部分区域中任取一个元素，则且，或且， 所以，图中阴影部分可表示为或. 故选：A 2. 设等比数列的前 项和为，若，则（　　） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 【答案】B 【解析】 【详解】因为等比数列的前 项和为， 所以，，，成等比数列， 所以，解得， 又，所以，解得. 3. 已知平面向量为单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积运算以及夹角公式求出，然后根据同角三角函数的关系求出. 【详解】因为为单位向量，且，所以， ，所以， ， ，， . 4. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 ，使，点，点，而且其“欧拉线”与圆相切，则圆E的半径r为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定欧拉线，再利用中点坐标公式和直线垂直性质求出欧拉线方程，最后根据直线与圆相切的性质求出圆的半径. 【详解】由已知，所以 是等腰三角形， 因为等腰三角形三线合一，所以欧拉线为边 的高线. 因为，，所以 的中点坐标为即. 又因为，所以欧拉线的斜率为. 所以欧拉线的直线方程为，即. 又因为该欧拉线与圆相切，所以有 ，即. 5. 具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（ ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得样本中心点，再结合相关系数公式判断即可. 【详解】由题知，， 所以数据的样本中心点为 所以去掉其中样本数据，样本相关系数r不会发生改变. 6. 随着社会经济的高速度发展和科技的不断进步，人类享受到了前所未有的生活便利．但与此同时，人类的生产生活活动也导致垃圾数量快速上升，尤其是难以降解的塑料垃圾，对地球环境造成了不可忽视的影响．已知某种塑料垃圾自然分解率v随时间t（年）的关系近似满足（m，n为常数，且当 t=0 时，v=0），已知两年后，这种塑料垃圾分解率为10%．据此估计约（ ）年后，这种塑料垃圾分解率能达到95%？（参考数据：，） A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出 ， 的值，进而得到塑料垃圾自然分解率 和时间的关系式，再将代入关系式，通过对数运算求出的值. 【详解】已知，当 时， ，所以 . 所以.由已知条件可知，当 时， 所以，所以 所以 当时，代入 和时间的关系式有 两边同时取对数， 化简得， 所以 因为，，所以. 7. 如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ） A. 20种 B. 19种 C. 18种 D. 17种 【答案】D 【解析】 【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解. 【详解】第一行全蓝（蓝蓝蓝）： 第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1(全蓝)+3(1个红)+1(2个不相邻红) 种； 第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）： 第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为(蓝 X Y)， 要求X、Y不都红，共3种合法染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； 第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）： 第二行中间格子不能为红，第二行格式为(X 蓝 Y)， X、Y无相邻限制，共种合法染色； 第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）： 和第一种情况对称，共3种合法染色； 第一行两个红（红蓝红）： 第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为(蓝 X 蓝)， X可红可蓝，共2种合法染色. 所以总染色方法数：种，故选D. 8. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，则边c的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，进而得到，，再利用正弦定理得，再利用三角形恒等变形化简结合二次函数求最值即可． 【详解】，且， ， ，， 由正弦定理得， ， 则当时，边c取得最小值． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用概率的基本性质、条件概率公式及相互独立事件的定义逐项求解判断. 【详解】随机事件A，B，C满足， 对于A，，事件相互独立，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，则，，C正确； 对于D，由，得，则，解得，D正确. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A；先证明平面，结合等体积法计算到平面的距离，由线面夹角的定义可判定B，由勾股定理及圆的周长公式可判定C，由数形结合结合正三角形内切圆的特征计算即可判定D. 【详解】对于A，在正方体中易知且， 所以异面直线与所成的角即或其补角，显然，即A错误； 连接，易知， 又平面，所以 平面， 而平面，所以，同理可知， 即平面，设垂足为E，取的中点 ，连接 ， 则，所以， 连接 ，由勾股定理可知， 对于B，易知与平面所成的角为， 故B正确； 对于C，由三棱锥为正三棱锥可知 为该正三角形的中心， 则 三点共线，， 所以点轨迹为以E为圆心，为半径的圆上，该圆即正三角形的内切圆， 所以点P的运动轨迹长度为，故C正确； 对于D，假设P的轨迹圆与 交于G点，由上可知， 而 到底面 的距离为2，所以到底面 的距离为， 由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是，故D正确. 11. 已知从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，记双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为A，点P是双曲线右支上异于A的动点，以P为切点作C的切线l，过作l的垂线，垂足为H，一条从点发出的光线 经双曲线的右支反射后，反射光线的反向延长线与直线交于点Q，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 切线l平分 B. C. Q点横坐标的取值范围为 D. 若M，N两质点以相同的速度沿不同的方向从同时出发，经双曲线右支反射后，M，N始终同在以为圆心的圆上 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由双曲线光反射性质即可判断；对于B，根据题意，结合双曲线的定义可得；对于C，先确定的轨迹方程，结合点位置可得的范围，再结合为的中点即可求解；对于D，设 行走的路程为 ，根据定义确定即可． 【详解】如图：由双曲线光反射性质可知直线关于切线 对称， 切线l平分，故A正确； ，为的中点，，又为的中点， ，故B错误； ，的轨迹方程为 ， 双曲线渐近线方程为， 联立，解得， 又因为点P是双曲线右支上异于A的动点， 所以，即，， 为的中点，则Q点横坐标的取值范围为，故C正确； 设 行走的路程为 ，经双曲线点处反射后到达点， 则，又， ， 同理可得， 即M，N始终同在以为圆心的圆上，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某中学有2000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布，若，则估计学生数学成绩在120分以上的人数为________． 【答案】300 【解析】 【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为， 所以， 所以, 所以， 所以估计学生数学成绩在120分以上的人数为. 13. 若实数满足，则 的最大值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和基本不等式求解. 【详解】由题可知，，所以同号， 所以当时， 取得最大值，所以以下仅考虑， 因为， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以， 整理得，，解得， 所以 的最大值是2. 故答案为：2. 14. 若关于x的方程至少有2个不同的根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简转化为至少有2个不同的根，再构造函数，结合导函数得出函数单调性，结合得出参数范围. 【详解】因为 不是方程的根， 又，故 ，方程化为， 记，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以原命题等价于在上至少有2个不同的根， 所以或，即或， 令，则， 所以单调递增；单调递减； 且当，当，当， 所以，作出函数的草图： 当时，与有一个交点，与有一个交点，所以或有两个根符合题意； 当时，与有一个交点，与有一个交点，所以或有两个根符合题意； 当时，与有两个交点，与有一个交点，所以或有三个根符合题意； 当时，与有一个交点，与有两个交点，所以或有三个根符合题意； 所以或， 所以实数a的取值范围为. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）若，，求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式计算即可. （2）先利用三角函数图像的平移得出函数解析式，再运用正弦函数图像的性质计算即可. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， ，解得， 即， ， ，则， ，则， ， ， ， ，即， ∴. 【小问2详解】 ， 的图象向右平移个单位后得到的函数为，即， 再向上平移1个单位得到的图象对应函数为， ， 当时，， 令，则， 则 在区间上单调递减，在区间上单调递增，则， ， ， 函数在上的值域为． 16. 已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． （1）求椭圆C和圆M的标准方程； （2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 【答案】（1）椭圆C的标准方程为，圆M的标准方程为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的离心率及点的坐标求出即可得椭圆C标准方程，再写出圆M的标准方程. （2）利用点差法及向量垂直的坐标表示求出. 【小问1详解】 由椭圆的离心率，得，则， 由点在椭圆C上，得，联立解得，， 所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为. 【小问2详解】 设，中点 ， 由 在椭圆上，得， 则， 又，于是， 而，由，得， 由 在圆M上，得，联立解得，， 由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N， 当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意， 所以. 17. 已知，其中 ． （1）若 ，求函数在点处的切线方程； （2）对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、 后可得切线方程； （2）根据的符号得的单调性，再求出在、在上的值域，根据它们的包含关系可求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为 ，， 所以，则 ，， 故点处的切线方程为，即 ． 【小问2详解】 由题意得， 0 0 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 所以的单调增区间是，单调减区间是和． 由，当时， ，当时， ． 因为对于任意的，总存在，使得， 故，所以，所以． 设，，问题转化为． 下面分两种情况讨论： 情形一：当，即时，有，在上单调递减， 故在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，故， 所以，不符合题意； 情形二：当时，，在上单调递减， 故的取值范围，故， 而，在上单调递减，故， 满足，故符合题设要求. 情形三：当，即时，此时， 故此时在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，即， 而，故成立， 综上，a的取值范围为． 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形． （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证明）； （2）若平面三角形ABC为直角三角形， ，设，则： （i）求证： ； （ii）延长与球O交于点D，若直线 ，与平面所成的角分别为，，，S为的中点，T为的中点，设平面 与平面 的夹角为 ，若，求平面 截球O的面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 由余弦定理有， 且，消掉， 有 ． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直得出球面三角形ABC面积为整个球面面积的，再应用球的表面积公式计算求解； （2）（i）应用余弦定理计算证明；（ii）先求出平面与平面 的法向量，应用正弦值得出，最后应用点到平面距离计算得出球O的半径及截面即可. 【小问1详解】 若平面OAB，OAC，OBC两两垂直时， 球面三角形ABC面积为整个球面面积的， 故 ． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由AD是球的直径，则，， 又 ， 平面 ， 所以平面 ，平面 ，则， 而 平面，所以平面． 由直线 与平面所成的角分别为，． 所以，． 由，则，，， ， 由 ，， ， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴， 建立如图3所示的空间直角坐标系． 设 ，，则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为 ，，， 则，取 ，则， ， 所以． 设平面 法向量 ，，， 则，取 ，则 ， ， 所以． 要使，则， 所以， 即 ，解得． 作平行于 交于，显然点到平面 的距离即为到平面 的距离， 到 的垂线设为 ，则 ， 由（2）可得平面 ，而 平面 ，故 而 平面 ，所以 平面 ， 故 的最小值就是点到平面 的距离的最小值， 而当时， 的长度最小，故此时点到平面 的距离的最小， 即此时截面面积最大，即 的坐标为时截面面积最大. 在平面 中，，， 设平面 的法向量为，则。 取，而， 故球心O到平面 距离． 设平面 截球O的半径为r，， 所以截面圆面积为 ． 19. 设有穷数列：，…，满足 且，则称其为“n阶数列”． （1）若“8阶数列”：是递增的等差数列，求； （2）设“n阶数列”满足． （i）记该“n阶数列”的前r项和为．证明：数列不是“n阶数列”； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合等差数列性质得，当 时，当时，再根据求得，代入即可求得； （2）（i）由题存在一个下标使得，进而证明当时，；当时，，进一步即可得与n阶数列的定义矛盾，即可证明结论； （ii）由（i）可知，，，，，，进而结合不等式性质，基本不等式得，即． 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，由，得， 所以． 因为，所以，即当 时，当时， 所以， 即，解得. 因为，即，解得． 【小问2详解】 证明：（i）由题设条件可知不可能全为0，也不可能全同号， 所以存在一个下标使得． 因为数列满足， 所以全为非负数，全为负数， 即，． 令，， 则由题设条件可知，， 所以，． 所以当时，；当时，． 所以，即，矛盾． 所以数列不是“n阶数列”． （ii）证明：因为， 由（i）可知，，即，． ，， 又，， 所以 即．当且仅当 为偶数，，，时取等号． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中高2026届3月适应性月考（六） 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集为，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 设等比数列的前 项和为，若，则（　　） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 3. 已知平面向量为单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，使，点，点，而且其“欧拉线”与圆相切，则圆E的半径r为（ ） A. B. C. D. 5. 具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（ ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A. B. C. D. 6. 随着社会经济的高速度发展和科技的不断进步，人类享受到了前所未有的生活便利．但与此同时，人类的生产生活活动也导致垃圾数量快速上升，尤其是难以降解的塑料垃圾，对地球环境造成了不可忽视的影响．已知某种塑料垃圾自然分解率v随时间t（年）的关系近似满足（m，n为常数，且当 t=0 时，v=0），已知两年后，这种塑料垃圾分解率为10%．据此估计约（ ）年后，这种塑料垃圾分解率能达到95%？（参考数据：，） A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 7. 如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ） A. 20种 B. 19种 C. 18种 D. 17种 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，则边c的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 11. 已知从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，记双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为A，点P是双曲线右支上异于A的动点，以P为切点作C的切线l，过作l的垂线，垂足为H，一条从点发出的光线 经双曲线的右支反射后，反射光线的反向延长线与直线交于点Q，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 切线l平分 B. C. Q点横坐标的取值范围为 D. 若M，N两质点以相同的速度沿不同的方向从同时出发，经双曲线右支反射后，M，N始终同在以为圆心的圆上 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某中学有2000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布，若，则估计学生数学成绩在120分以上的人数为________． 13. 若实数满足，则 的最大值是________． 14. 若关于x的方程至少有2个不同的根，则实数a的取值范围为________． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）若，，求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域． 16. 已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． （1）求椭圆C和圆M的标准方程； （2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 17. 已知，其中 ． （1）若 ，求函数在点处的切线方程； （2）对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形． （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证明）； （2）若平面三角形ABC为直角三角形， ，设，则： （i）求证： ； （ii）延长与球O交于点D，若直线 ，与平面所成的角分别为，，，S为的中点，T为的中点，设平面 与平面 的夹角为 ，若，求平面 截球O的面积的最大值． 19. 设有穷数列：，…，满足 且，则称其为“n阶数列”． （1）若“8阶数列”：是递增的等差数列，求； （2）设“n阶数列”满足． （i）记该“n阶数列”的前r项和为．证明：数列不是“n阶数列”； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $