精品解析：江西省南昌新民外语学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

新民外语学校 2025—2026 学年第一学期第二次月考 高一数学试卷 命题：段莉 审题：高一数学组 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 3. 计算的值为 A. 5 B. 3 C. 2 D. 0 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 8. 若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 当时， D. 的解集为 11. 下列命题中正确的有（ ） A. 若函数满足，则0 B. 函数且的图象恒过定点 C. 函数的单调增区间是 D. 若函数，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设实数满足，则________ ． 13. 已知函数，则_______. 14. 若，其中，则的值域为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）求值：. 16. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数，且满足. （1）求的值； （2）解不等式. 18. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 19. 已知函数 . （1）若，求不等式的解集; （2）若，当，求的最值; （3）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民外语学校 2025—2026 学年第一学期第二次月考 高一数学试卷 命题：段莉 审题：高一数学组 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值 【详解】解：设，则，得， 所以， 所以， 故选：D 2. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，，再根据计算求解． 【详解】由，， 故选：B． 3. 计算的值为 A. 5 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则及性质解答. 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对数函数的真数大于0，然后解不等式得出答案. 【详解】由题意知，，即， 所以或. 故选：C. 5. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，计算函数值即可. 【详解】由题意可知. 故选：B 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数单调性即可比较得出三个数的大小. 【详解】由函数在上为单调递增函数，可知，即； 又函数在上为单调递减函数，可知，即; 所以可得. 故选：D 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式求最小值． 【详解】因为 所以，当且仅当即时等号成立， 故选：D． 8. 若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴在区间的左边，即可得到答案； 【详解】由题意得：， 故选：C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则可判断A；利用对数运算法则可判断CD；利用根式运算法则可判断B. 【详解】选项 A：根据指数幂的运算法则：  ，故A正确； 选项 B：因为 ， 所以，故B不正确； 选项 C： 根据对数加法法则： ，故C正确； 选项 D： 根据对数换底公式： ，故D不正确. 故选：AC 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 当时， D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇函数性质可得，即可判断A；根据奇函数的定义求函数的解析式，即可判断C；作出函数的图象，结合图象判断BD. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，故A正确； 且当时，， 当时，则，可得，故C正确； 所以，作出函数的图象，如图所示： 可知的值域为，故B正确； 的解集为，故D错误； 故选：ABC. 11. 下列命题中正确的有（ ） A. 若函数满足，则0 B. 函数且的图象恒过定点 C. 函数的单调增区间是 D. 若函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出函数图象所过定点判断B；求出指数型复合函数的递增区间判断C；求出解析式判断D. 【详解】对于A，函数中，取，得，A错误； 对于B，当时，，函数的图象恒过定点，B正确； 对于C，函数的定义域为R，函数在上递增，在上递减， 而函数在R上递减，因此原函数在上递减，在上递增，C正确； 对于D，令，则，则， 因此，D正确. 故选： BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设实数满足，则________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用指数式和对数式的互化公式，即可求解. 【详解】因为实数满足，根据指数式与对数式的互化公式，可得. 故答案为：. 13. 已知函数，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，， 所以. 故答案为：2. 14. 若，其中，则的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求出的值域，再求出的值域即可. 【详解】因，且在上单调递增，则， 因在上单调递增，则， 故的值域为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）求值：. 【答案】（1）1；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则计算. （2）利用换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【详解】（1）. （2）. 16. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合一元二次不等式的解集、一元二次方程的根的关系列方程，由此求得的值. （2）对分成可两种情况进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】（1）关于的不等式的解集为， ∴和1是方程的两个实数根，代入得，解得； （2）当时，不等式为，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上知，实数的取值范围是. 17. 已知函数，且满足. （1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据代入解方程即可 （2）由指数函数的单调性可得结论． 【小问1详解】 因为且， 所以 故的值为 【小问2详解】 不等式，即， 因为在上单调递减，所以， 所以不等式解集为. 18. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 【答案】（1）； （2）奇函数，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数的定义列式求出值即得. （2）利用函数奇偶性定义判断并证明. （3）利用指数函数的单调性脱去函数法则“f”，再解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由函数是指数函数，得，解得， 所以函数的表达式为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 函数是定义在R上的奇函数， 由于，所以是奇函数. 【小问3详解】 函数在R上单调递增，不等式， 即，整理得，解得或， 所以原不等式的解集为. 19. 已知函数 . （1）若，求不等式的解集; （2）若，当，求的最值; （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为24； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法，结合一元二次不等式解法求解指数不等式. （2）利用指数函数单调性，结合二次函数的性质求出最值. （3）令，则，依题意可得对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，再由基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 当时，函数， 不等式， 而，则，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当，即时，；当，即时，， 所以函数的最小值为，最大值为24. 【小问3详解】 由，得，令，则，， 不等式， 依题意，对任意，恒成立， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $