精品解析：陕西省咸阳市礼泉县第一中学2025-2026学年高一上学期月考（二）数学试题

礼泉一中2025-2026学年上学期高一年级月考（二） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，则（ ）． A. B. C. D. 2. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. ，且 3. 函数的零点所在区间为：（　　） A. （1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3） 4. 若（）与（）互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 方程有个不同的实数根 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数且的图象必经过点__________. 13. 不等式的解集为__________. 14. 函数的单调递增区间为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1） （2） 16. 已知 （1）求函数的定义域. （2）判断函数的奇偶性，并加以证明. 17. 已知函数（，且）. （1）若函数的图象过点，求的值. （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 18. 已知函数 （1）若的定义域为，求实数的取值范围. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围. 19. 已知函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且 （1）求函数，的解析式. （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明. （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 礼泉一中2025-2026学年上学期高一年级月考（二） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数定义域和指数函数值域求法即可得出结果. 【详解】根据对数函数定义域可得， 由指数函数的值域可得， 所以. 故选：B. 2. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义得到不等式组解得. 【详解】 解得，即且. 故选：D 3. 函数的零点所在区间为：（　　） A. （1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3） 【答案】C 【解析】 【详解】根据条件得 ． 所以，因此函数的零点所在的区间为．选C． 4. 若（）与（）互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】因为（）与（）互为相反数， 所以，所以. 故选：C. 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质确定a,b,c的范围即可比较其大小关系. 【详解】由题意可知：，则：. 故选C. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 7. 如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可. 【详解】因为图像过，所以由，所以，故原题中函数关系为 对于①：，所以每个月的增长率为1，故①正确； 对于②：当时，，故②正确； 对于③：第二个月比第一个月增加 第三个月比第二个月增加，故③错误； 对于④：由题，所以，所以，故④正确； 故选：C 8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件有，利用对数的运算性质得到，即可求解. 【详解】由题知，则， 又，所以，所以， 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AC选项，不满足偶函数；BD满足偶函数，且根据解析式得到函数在. 单调递增. 【详解】A选项，，故不是偶函数，A错误； B选项，定义域为R，且，故为偶函数，且在单调递增，满足要求，B正确； C选项，定义域为R，且，故为奇函数，不合要求，C错误； D选项，定义域为R，且，故为偶函数，且当时，单调递增，满足要求，D正确. 故选：BD 10. 已知，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先由得出，再分类讨论和的取值范围，根据指数函数和幂函数的图像即可得出答案． 【详解】因为，即， 所以， 当时，则， 指数函数在上单调递减，且过点； 对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像， 则在上单调递减且过点，故A符合题意； 当时，， 同理可得，指数函数在上单调递增，且过点， 在上单调递增且过点，故B符合题意； 故选：AB． 11. 已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 方程有个不同的实数根 【答案】ABC 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据图象，得出的范围；利用对称性以及对数的运算性质得出且；结合且，将变形为，利用函数的单调性即可得出的取值范围；令，则，解出的根，根据直线与函数的图象的交点，即可得出方程根的个数. 【详解】函数与直线的图象，如下图所示： 因为直线与函数的图象相交于四个不同的点，所以，则A正确； 因为二次函数的图象关于直线对称，则， ，则B正确； 设，因为，所以， 令，则，， 设， 因为，，所以，即函数在上单调递增， 故，即，则C正确； 令，则. 由得，则方程的解为、、、. 当时，由于，则直线与函数的图象相交一点 当时，由于，则直线与函数的图象相交一点 当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的四点 当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的两点 则方程有个不同的实数根，则D错误； 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数且的图象必经过点__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以数且的图象必经过点. 故答案为：. 13. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化为同底数，如化为，再由指数函数是增函数可得． 【详解】原不等式可化为，因为函数是上的增函数，所以，解得，故所求不等式的解集为． 故答案为． 【点睛】本题考查解指数不等式，解题时先把不等式化为形式，然后利用函数（且）的单调性求解． 14. 函数的单调递增区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，在定义域内求出的单调区间，然后根据复合函数的性质得出的增区间． 【详解】由函数，得，得或. 令，则，在上单调递增，在上单调递减， 又由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1） （2） 【答案】（1）8 ；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算性质化简即可得出答案 （2）利用指数运算性质化简即可得到答案. 【详解】原式 ； 原式 16. 已知 （1）求函数的定义域. （2）判断函数的奇偶性，并加以证明. 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据对数函数定义域的要求解出定义域即可； （2）奇偶性的证明首先定义域对称，再求解，得，所以为偶函数； 【小问1详解】 由得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为 又 所以函数为偶函数. 17. 已知函数（，且）. （1）若函数的图象过点，求的值. （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入求出b的值； （2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值. 【小问1详解】 ，解得. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减， 此时，， 所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增， 此时，， 所以，解得：或0（舍去）. 综上：或. 18. 已知函数 （1）若的定义域为，求实数的取值范围. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意转化为不等式恒成立问题，根据判别式计算求解即可； （2）根据对数型函数的值域特点，根据一元二次方程根的判别式求解即可. 【小问1详解】 要使的定义域为，则对任意实数x都有恒成立． 由二次函数图象可知 解得. 故所求a的取值范围为. 【小问2详解】 要使的值域为，则有的值域必须包含． 由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x轴有公共点， ∴ 即或. 故所求a的取值范围为. 19. 已知函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且 （1）求函数，的解析式. （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明. （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， ； （2）函数在上的单调递增，证明如下： 取任意，且， 则 ； 当时，，，所以，即； 因此在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶函数的定义化简得，结合已知条件解方程得到结果； （2）通过定义法的步骤证明函数的单调性即可； （3）换元建立不等式后结合对勾函数单调性得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为①，则， 又为上的偶函数，为上的奇函数，则有②， 由①-②得到，所以 由①+②得到，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对任意的，恒成立， 即恒成立， 设，时，， 则，所以恒成立， 所以恒成立， 又因为，单调递减，所以， 所以； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $