精品解析：江西省新余市第四中学2025-2026学年九年级上学期第二次段考数学试题

2025-2026学年度上学期初三年级第二次段考 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 和1 B. 和 C. 和 D. 和1 3. 已知的半径为4.5，若点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在内 C. 点P在上 D. 不能确定 4. 在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 6. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位，那么平移后的抛物线表达式是_____． 8. 在平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则_____． 9. 抛物线的顶点坐标是_____． 10. 如图，的半径为10cm，圆心O到的距离．则______cm． 11. 如图，正五边形内接于，点P在劣弧上，连接、，则的度数为____________°． 12. 如图，在等腰直角中，，将等腰直角绕点顺时针旋转得到．连接，当为直角三角形时，则的长度是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分） 13. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且．求m的值． 15. 已知一个扇形的圆心角是，半径是． （1）求这个扇形的面积： （2）若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 16. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》(A)、《算学启蒙》(B)、 《测圆海镜》(C)和《四元玉鉴》(D)是我国古代数学的重要文献． （1）从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为_____； （2）某中学拟从这四部数学名著中选择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容， 请用画树状图法或列表法， 求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中，画出的外心O； （2）在图②中，画出的内心 四、本大题共3小题，每小题8分 18. 如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，．将绕点O逆时针方向旋转后得到． （1）画出． （2）点的坐标为 ． （3）在旋转过程中，点经过的路径为弧，求出弧的长． 19. 2025年全运会已经结束，其吉祥物“喜洋洋”火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出450个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少5个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润为W元． （1）W与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． （2）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W的最大值． 20. 如图，在中，，点D是边上的动点，设，将以点A为中心，逆时针旋转得到，连接，． （1）如图①，当时， ； （2）如图②，当时，求证：． 五、本大题共2小题，每小题9分 21. 定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． （1）该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: （2）若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 22. 如图1，已知为的直径，C为上一点，连接，D为中点，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：为的切线： （2）如图2，连接，过点O作于点F，交于点G，若，，求的长． 六、本大题共12分 23. 二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，点是这个函数图象上的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图，当点在直线下方时，过点作，垂足为，求的最大值； （3）如图，当点在轴上方时，连接，直线是二次函数图象的对称轴，过点作直线，垂足为，以点为圆心作圆，与相切，切点为．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期初三年级第二次段考 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形既有对称轴，也有对称中心，则A既是轴对称图形，也是中心对称图形； 选项B、该图形有对称轴，找不到对称中心，则B是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C、该图形有对称中心，找不到对称轴，则C是中心对称图形，不是轴对称图形； 选项D、该图形有对称轴，找不到对称中心，则D是轴对称图形，不是中心对称图形， 故选：A． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 和1 B. 和 C. 和 D. 和1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数和常数项． 【详解】解：∵ 原方程为， ∴ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为， 故选B 3. 已知的半径为4.5，若点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在内 C. 点P在上 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查点与圆的位置关系，注意：熟记点和圆的位置关系与数量之间的关系是解决问题的关键． 点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内， （即点到圆心的距离，即圆的半径）．据此进行解答即可． 【详解】解：∵的半径为4.5，点P到圆心O的距离为5， 即， 点与的位置关系是点P在外． 故选：A． 4. 在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了频率估计概率的应用． 根据频率估计概率，摸到红球的概率约为，则摸到白球的概率约为，利用白球个数和概率求总球数，进而求红球个数． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率约为， ∴摸到白球的概率约为， ∵白球有12个， ∴总球数约为， ∴红球个数约为 故选：B 5. 抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 6. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据图像开口向下，与轴正半轴有交点，对称轴在轴左侧，在对称轴处取得最大值，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据图像可知，二次函数开口向下，交于轴正半轴， 则、， 根据对称轴得，即， 由于得 则， 因此①②正确； 由图像可知，该二次函数与轴有两个的交点， 令得， 则判别式， 因此③正确； 当时，， 将代入二次函数得， ， 因此④错误； 当时，函数最大值为， 当时，函数值为， 则对于任意，都有，即， 因此⑤正确， 综上所述，正确的有①②③⑤， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位，那么平移后的抛物线表达式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，从而得出平移后抛物线的表达式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 将抛物线 向下平移个单位， 平移后的顶点坐标是， 平移后的抛物线表达式是 ． 故答案为：． 8. 在平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换．根据“若两点关于原点对称，则这两点的横纵坐标均互为相反数”，即可求解． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：0 9. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 根据所给抛物线的解析式即可得解． 【详解】解：由题意得，的顶点坐标为． 故答案为：． 10. 如图，的半径为10cm，圆心O到的距离．则______cm． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，再利用垂径定理得到，从而求出即可． 【详解】解： 在中，由勾股定理得， ， 由垂径定理得，， 故答案为：12． 11. 如图，正五边形内接于，点P在劣弧上，连接、，则的度数为____________°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形与圆，涉及了正多边形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．先由正五边形内接于求出，再利用四边形是的内接四边形得，从而求得的度数． 【详解】解：正五边形内接于， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在等腰直角中，，将等腰直角绕点顺时针旋转得到．连接，当为直角三角形时，则的长度是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，分三种情况讨论：当，当时，当时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，当，过点作于点， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得：， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：； 当时，此时三点共线，如图， 由旋转可知，，， ∴四边形是正方形， ∴； 当时，此时三点共线，如图， 由旋转可知，， ∴， 在中，， ∴， 解得：； 综上可得：的长度是或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分） 13. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． （）根据因式分解法解一元二次方程即可； （）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且．求m的值． 【答案】（1） 证明：判别式为 ， 则无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，熟练掌握利用判别式判断方程解的情况、根与系数的关系是解题的关键． （1）通过计算判别式，方程总有两个不相等的实数根进行证明即可； （2）由韦达定理得，，代入，求出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由韦达定理得，， 由于， 则， 解得， 因此m的值为． 15. 已知一个扇形的圆心角是，半径是． （1）求这个扇形的面积： （2）若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 【答案】（1） （2）这个圆锥的高是 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积、弧长公式和勾股定理等知识，熟练掌握相关公式是关键． （1）利用扇形面积公式计算即可； （2）求出扇形所对的弧长和圆锥底面圆的半径，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 解∵扇形的圆心角为，半径为， ∴． 【小问2详解】 扇形所对的弧长为． 设圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴这个圆锥的高是． 16. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》(A)、《算学启蒙》(B)、 《测圆海镜》(C)和《四元玉鉴》(D)是我国古代数学的重要文献． （1）从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为_____； （2）某中学拟从这四部数学名著中选择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容， 请用画树状图法或列表法， 求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）用简单概率公式进行求解即可； （2）用树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽到《四元玉鉴》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 等可能的结果有12种，其中抽到组合的结果有2种， ∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为． 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中，画出的外心O； （2）在图②中，画出的内心 【答案】（1） 如图①中，点O即为所求； 理由：取格点D，连接交于点O， 根据题意得：四边形是矩形， ∴，点O为的中点， ∴点O为的外心； （2） 如图②中，点P即为所求． 理由：连接，由作法得：平分，点E到的距离为2 ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 设点E到的距离为h， ∵， ∴， 解得：， ∴点E到，的距离相等， ∴点E在的平分线上， ∴点P为，的平分线交点， 即点P为的内心． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）线段的垂直平分线与的交点O即为所求； （2）取格点E，F，作射线交于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、本大题共3小题，每小题8分 18. 如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，．将绕点O逆时针方向旋转后得到． （1）画出． （2）点的坐标为 ． （3）在旋转过程中，点经过的路径为弧，求出弧的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的旋转，弧长公式，勾股定理，解题的关键在于对知识的灵活运用． （）如图，按要求旋转图形即可； （）根据平面直角坐标系写出即可； （）由，则，通过旋转性质得，然后代入弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据平面直角坐标系可得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由旋转得， ∴弧的长为． 19. 2025年全运会已经结束，其吉祥物“喜洋洋”火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出450个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少5个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润为W元． （1）W与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． （2）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W的最大值． 【答案】（1）， （2）该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润最大值为9375元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，准确列出函数解析式是关键． （1）设销售单价为x元，每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润为W元．当销售单价定为40元时，每天可以售出450个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少5个．根据利润等于单个的利润乘以销售量进行解答即可； （2）根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设销售单价为x元，每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润为W元． 根据题意可得， ， ∵单个销售利润不低于10元，且不高于25元． ∴ ∴自变量x的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）得， ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，， ∴当时，元． 答：该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润最大值为9375元． 20. 如图，在中，，点D是边上的动点，设，将以点A为中心，逆时针旋转得到，连接，． （1）如图①，当时， ； （2）如图②，当时，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由题意得，，、， 和是等腰直角三角形， 、 在和中 、 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得，， ，即， ． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到是等边三角形，进而求得； （2）根据题意易证得和是等腰直角三角形，则，进而得到，证得，根据全等三角形的性质证得、，进而证得是直角三角形，利用勾股定理进行证明即可． 【小问1详解】 解：将以点A为中心，逆时针旋转得到， 、， 是等边三角形 故答案为：； 【小问2详解】 略 五、本大题共2小题，每小题9分 21. 定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． （1）该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: （2）若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查“全整根方程”和“全整根方程的最值码”的定义，正确理解新的定义是解题的关键． （1）根据“全整根方程的最值码”的定义进行计算求解即可； （2）先根据“全整根方程的最值码”的定义进行化简计算两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等，将带有的代数式进行化简，再代入所求的代数式计算即可． 【小问1详解】 解： 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知，方程的“最值码”为， 方程的“最值码”为： ， 由于两个方程的“最值码”相等， 则， 整理得：， 因此 = ． 22. 如图1，已知为的直径，C为上一点，连接，D为中点，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：为的切线： （2）如图2，连接，过点O作于点F，交于点G，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，弧，弦，角的关系，三线合一，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据弧，弦，角的关系，得到，三线合一得到，平行线的性质，得到，即可得证； （2）证明为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的长，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∵， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴ ∴， ∴． 六、本大题共12分 23. 二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，点是这个函数图象上的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图，当点在直线下方时，过点作，垂足为，求的最大值； （3）如图，当点在轴上方时，连接，直线是二次函数图象的对称轴，过点作直线，垂足为，以点为圆心作圆，与相切，切点为．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径． 【答案】（1）； （2）的最大值为； （3）的半径是． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，切线的性质，二次函数的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）连接、，过点作轴，交于点，由题意可得点，求出直线对应函数表达式为，设点坐标为，则，则，所以，当时，的最大值为，然后通过，即可求出的最大值； （）设点坐标为，则，设的半径为，则有，又以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，故有，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接、，过点作轴，交于点， 由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则， ∴， ∴， 设点坐标为，则， ∴， 则， 当时，的最大值为， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：设点坐标为，则， 设的半径为， ∵与相切，切点为，二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $