河北省保定市第三中学2025-2026学年高二上学期创新班12月月考数学试题

保定三中2025一2026学年度第一学期12月月考 2024级创新项目数学试题 考试时问：120分钟分值：150分命题人：王平平审题人：刘少平，朱昱峰 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.已知向量丽=(3,7)，BC=(-23),则-AC=() A.(-35) B.(25) c.(-2-5)D.(2-5) 2.某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解 俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一 个容量为m的样本，已知从B队中抽取了15名学员，则m的值为() A.30 B.25 C.40 b.35 3.如图，A1,A2两类不同的元件并联成一个系统。当A1,A2 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知A1,A2正常工 作的概率分别为0.9,0.8，则系统正常工作的概率为() A A.0.98 B.0.26 C.0.72 D.0.02 4.己知a∈(0，)，2sin2a=cos2a+1,则sina=() A时 B 5 5.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，AE=3ED,则 BE=() A-丽+沉 B.丽+AC c.A丽+Ac D.-丽+4AC 6.有一组样本数据x1,x2,x3,…,x10的平均数为3.方差为3，则x1,x2,3 x10,3的方差为) A.3 B品 c 7.已知P是△ABC所在平面内一点，满足P万+P元+P元=可，若AB1AC,AB=6, 则AE.C币=() A.-12 B.12 C.-18 D.18 8.将函数y=six的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的(@>0) 得到函数y=fF(x)的图象，若y=f(x)在0，上的最大值为台，则满足条件的ω的取 值个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题（本题共3小题，每小题.6分，共18分。在每小愿给出的选项中，有多 项是符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分) 9.若平面向量a,满足d==2,a+=2W3,则() A.d.B=2 B:a与的夹角为 c.a+⊥a- D.a-=2 10.设A,B为两个随机事件，若P(A)=子P(B)=子则下列结论中正确的是() A若AEB,则PMUB)=克 B.若P(AnB)=则A,B相互独立 C.若A与B相互独立，则P(AuB)-号D.若A与B相互独立，则PMn可=日 Il.O为坐标原点，点P(cosa,sina),P2(cosB,-sin),P3(cos(a+),sin(a+ ),A(1,0),则k)1 A.IOPl OP,I B.IAPil IAPzI C.0A.OP=OP1.OP2 D.0.0P=0P0P 三、填空愿（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量a=(1,1),万=(2，x),若11G-4@).则x= l3.已知tana=-2,tan(a+)=?则tanβ的值为_ 14.在集合0,1,2,3)中任取两个数a,b(a<b)构成以原点为起点的向量元=(a,b) 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则 平行四边形面积不超过2的概率为， 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或滴算步骤） 15.(本小题13分)已知向量a=(1,0),万=(m,-1),a-27=(-32). (1)求a+:(2)设向量a,的夹角为8，求cos8的值. 16.(本小题15分)某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践， 对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练学期末，从两个社团各随机抽取100 人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到频率分布直方图。 (1)分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的72%分位数（同一组中数据 用该组区间中点值近似代替)： 级书 ↑组用 (②)若测试成绩在70秒以内 0032.… 0.058 (含70秒)为“体能合格”，从 0.02 0016 两社团“体能合格”成员中按 0.024 000 分层随机抽样选5人分享“科 88士 Y0607000100成销 0 5060708090100成W 创+体能”训练经验，再从这 航慎社 健惧社 5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率. 17.(体小题15分)已知函数fc)=4sin(（x+)sinx。 (1)求f(x)的单调递减区间：(2)当x∈[0，到时，求f(x)的最值. 18.(本小题17分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法 如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序， 经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们 排序，这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别 能力进行评价.现设n=3,分别以a1,a2,a3表示第一次排序时被排为1,2,3 的三种酒在第二次排序时的序号，(a1,a2,a3)=〔1,2,3]，并令X=la1-1+a2- 2引+lag一3引，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述，若两轮测试都有X=0, 则该品酒师被授子“特级品酒师”称号：若两轮测试都有X≤2，且至少有一轮测 试出现X≠0，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. (1)用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的a1,a2,a3排序结果，并求出相应 的X值； a1:a2,a3 X 1,2,3 0 4e0 n (2)没有酒味鉴别能力的品酒师甲今年参加了两轮测试，记事件A=“甲被授予一级 品酒师称号”，求P(A): (3)若没有酒味鉴别能力的品酒师甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互 独立，记事件B=“在这两年中甲至少有一次被授予一级品酒师称号”，求P(B). 19.(本小题17分)如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴0x,0y构成的坐标 系，称为“完美坐标系”.设，e分别为0x,Oy正方向上的单位向量，若向量0下= x+y吧2，则把实数对[x,y叫做向量OP的“完美坐标”. (1)若向量0丽的“完美坐标”为3,4)，求0： (2)已知[x1y1小，[x2,y2分别为向量a,的“完美坐标”， 证明：五.万=12+y1y2+(x12+x2y1): (3)若向量a,b的“完美坐标”分别为[sinx,1],[cosx,1],设函数f(x)=a·b,x∈R, 求f(x)的值域. 24级创新项目12月考数学答案 1.c 2.D 3.A 4.B 5.D 6c【解1始台-3业=3→2K-3=30,所以遇-46-=碧M,c 10 11 7.B【佩机】设D是AB的中点，由P7+P币+P元=0，则P元=-(P☑+P)=-2P而， 所以CP=D,又AB1AC,则AB.CP=号AB.CD=号(CA+0=BlM1: AB2=12.故选：B 8.B【解析】将函数y=sinx的图象向右平移g个单位长度，可得y=sin(x-君)的图象. 6 再将横坐标缩短为原来的(w>0)得到函数y=f(x)=sin(wx-)的图象， xeo,.wx-e-8g列. 当g>即uw>4时，则鸣=1，求得w=5. 当%<即0<仙<4时，由题意可得 sing2=学作出函数y=sin若x-1]与y=号 的图象如图，由图可知，此时函数y=sin(-1与y=的图象有唯一交点，则sin。π=号 有唯一解，综上，w的取值个数为2.故选：B. 9.ACD I0.BD【解析】对于A,若AsB,则P(AUB)=P(B)=,故A错误： 对于B,PU)=,P(B)=异，所以PAP(B®)=音=P(AnB),所以A,B相互独立，B正确： 对于C,A与B相互独立，则入，万也相互独立， 则PMu)=1-Pān)=1-P0)P间=1-(1-)×(1-)=日，故C错误： 对于D,A与B相互独立，则万，百也湘互独立，则P☑n司=P网P回=(1-》×(1-》= 故D正确.故选，BD. 1.ACD【解折】根据题恋，依次分析选项！对于A、OP=OP=1,A正确： 对于B、dl=J(coa-1)2+ln2a=了 2-2c05a, AP2l=√(cosβ-1)2+sin2阝=√2-2cosP.B不： 对于C、OA.OP3=cos(a+B),0P.OP2=cosacosB-sin usin=coHu+),CE%, 对于D、OA.0P2=cosB,OP1.0P3=cosacos(a+B)+sin asin(a+):%(u-(a+ )=cosB,D正确：故选ACD. 12.2 13.3 14量【解折】m可以为0,1).(02.(0,3).(1,2.(1,3.(23，小 中任选两个不共线向，即有以下侪况，(0,1)，(1,2)，(0,1)，(1,3)， (0,1),(23),{(0,2),(1,2)},(0,2),(1,3),(0,2),(2,3).(03),(1,2), {(0,3),(1,3),{(0,3),(2,3),(1,2).(13)小，(1,2)，(2,3)，(1,3)，(2,3)}，共12种况， 当选择(0,1).(1,2)》时，c0s0=2光0=29，故sn0=V1-cos=号， 1X√1+4 此时平行四边形的面积为1×1+4×号=1，满足要求， 同理可得、当选择{(0,1).(1,3)，(0,1).(2,3)】.(0,2).(1,2)，(0,2)，(1,3)， (1,2),(1,3)},{(1,2),(2,3)时，面积不超过2，综上，共7种情况，满足婴求， 故平行四边形面积不超过2的概率为7故选：〔 15解：(1)由a=(1,0),b=(m,-1),可得a-2b=(1,0)-2(m,-1)=(1-2m2)=（-3: 即1-2m=-3,解得m=2, 因为6=(2，-1)，所以a+万=(3，-1)，所以d+=√32+(-1)2=√10： (2)因为a.b=1×2-0×1=2,@=1,l=V5, =品- 所以cos6=a6= 16.解：(1)根据题意，(0.016+0.024+0.032+a+0.008)×10=1,解得a=0.020, (0.002+0.058+0.024+b+0.006)×10=1,解得b=0.010, 则航模社测试的平均成绩x=0.16×55+0.24×65+0.32×75+0.20×85+0.08×95=73, 设建模社测试成纺的72%分位数为x,又[50,60)的须岸为0.02. [60,70)的频率为0.58,70,80)的频串为0.24， 其中0.02+0.58=0.6<0.7,0.02+0.58+0.24=0.84>0.7. 所以x在[70,80)之间，则(x-70)×0.024=0.72-0.02-058=0.12.解得x=75. 所以建模社测试成绩的72%分位数为75. (2)根据题意，航模社“体能合格”的人数为(0.16+0.24)×100=40人， 建模社“体能合格”的人数为(0.02+0.58)×100=60人， 故航模社“体能合格”与建模社“体能合格”的人数之比为40：60=2：3， 则按分层随机抽样从航模社抽取2人，分别为(A1,A2),建模社抽取3人，分别为(B1,B2,B3), 再从这5人中选2人担任经验分享会主持人共有：(A1,A2,(A1.B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10种选择， 其中2人都来自“建模社”有(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)3种选择， 2人都来自“建模社”的概率为品 17.解：(f=4传sinx+cosx)sinx=2sin2x+2V3 sinxcosx=2×1=g2+V3n2z 2 -2sin2x-cos2x)+1=2sin (2x-)+1. 令2km+号≤2x-君s2km+受k∈z),解得m+号sx≤km+君kez), 所以f)的单调递减区间为m+导，km+ke刀. (2)设t=2x-云则y=2sint+1.因为x∈[o,,所以te【-君， 所以sint e【号，，所以f的最小值为1-V3,最大值为3. 18.解：(1)根据题意列举第二次排序时所有可能的a1,a2,a3及相应的X的值列表如下， a1,a2,a3 X 1,2,3 0 1,3,2 2 2,1,3 2 2,3,1 4 3,1,2 3,2,1 4 (2)油(1)可得P(X=0)=言PX=2)=京PX=4)=之》 则P(A)=P(X1=0,X2=2)+P(X1=2,X2=0)+P(X1=2,X2=2) =P(X1=0)·P(X2=2)+P(X1=2)·P(X2=0)+P(X1=2)·P(X2=2) =×写+君×+×= (a)P回)=1-子×写=器 19.解：(1)因为0P的“完美坐标”为3,4，则0丽=3+4， 又因为，e2分别为0x,0y正方向上的单位向量，且夹角为60， 所以Iel=|el=1,e·=1同ecos60°=2 所以0=√3+4=√9g2+24+16@2=、9+24×+16=V37. (2)证明：由(1)知，1©==1，·e2=2》 所以a.b=(x1+y1)·(x2+y2e2) =x1x2+xyei+x2y+yy2ez =x1x2++(2+x2) 即a.万=x1x2+yy2+(x1y2+x2y1) (3)因为向量a,的“完美坐标”分别为six,1】,【cosx,1, 由(2)得f(x)=a.i=sinxcosx+1+(sinx+cosx刘. 令t=six+cosx=V2sin(x+),则sinxcosx=(e2-1), 因为x∈R,所以-V2≤V2sin(x+牙)≤√Z,即-√2≤t≤V2, 令9()=(e2-1)+1+t=c2+t+1)=c+2+,(-V2stsV2), 所以当t=-【-√瓦，V时，9（因取得最小值g(-)= 当t=V2时.9取得最大值gW②=×2+V2+1)=+平， 所以f(的值域为层3。