精品解析：安徽省安庆市潜山市部分校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

潜山部分学校联考2025－2026学年上学期八年级12月月考试卷 数　学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知x轴上一点P，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（ ） A. B. C. 或者 D. 或者 2. 如图，把放在平面直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是　　 A. 每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱 B. 每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C. 每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱 D. 每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱 4. 若一次函数的图像经过一、二、四象限，则一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 一名考生前往考场，5分钟走了总路程的，估计不能准时达到考场，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1，出租车匀速），则他达到考场所花的时间比一直步行提前了（ ） A. 18分钟 B. 20分钟 C. 24分钟 D. 28分钟 6. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，AB、CD、EF两两相交于点P、M、N，连接AC、BE、DF，则图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（ ） A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 8. 如图，点在上，于点，于点，，其中，则下列结论中错误是（ ）． A. B. C. D. 9. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，已知A（2，3），B（0，2），在x轴上找一点C，使得|AC﹣BC|的值最大，则此时点C的坐标为__． 12. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是_________． 13. 如图，若AB=AC，BD=CD，∠A=80°，∠BDC=120°，则∠B=______°. 14. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°，则底角∠B的大小为____． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知y与x成正比例，且时， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a． 16. 如图，中，，交于点O，，，求的度数． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在直角坐标系中，A，B，C，D各点的坐标分别为(−7，7)，(−7，1)，(−3，1)，(−1，4). (1)在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1(不写作法)； (2)写出点A1和C1的坐标； (3)求四边形A1B1C1D1的面积. 18. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点. （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2） 请根据图象直接写出时的取值范围. 19. 如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA. （1）求证:∠EAC=∠B； （2）若∠B=50°，∠CAD:∠E=1:3，求∠E的度数. 20. 中，是它的角平分线，D是的中点，，，垂足分别为E、F．求证：． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． （1）求证：． （2）求的长． 22. 某体育用品商店试销一款成本为60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，且获利不得高于．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）试确定y与x之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润W元，试写出利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ 23. 已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点， （1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潜山部分学校联考2025－2026学年上学期八年级12月月考试卷 数　学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知x轴上一点P，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（ ） A. B. C. 或者 D. 或者 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，在x轴上的点纵坐标为0，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：∵x轴上一点P，到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标的绝对值为3，纵坐标为0， ∴点P的坐标为或， 故选：C． 2. 如图，把放在平面直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为平行四边形的面积． 先求出，，求出点横坐标为10，求出，根据平行四边形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示． ∵点A、B的坐标分别为， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵平移后的点（即点）在直线上， ∴，解得． 即． ∴． ∴． 即线段扫过的面积为72． 故选：C． 3. 某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是　　 A. 每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱 B. 每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C. 每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱 D. 每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱 【答案】D 【解析】 【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确； B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确； C、利用待定系数法求出：当x≥25时，yA与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=35时yA的值，将其与50比较后即可得出结论C正确； D、利用待定系数法求出：当x≥50时，yB与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=70时yB的值，将其与120比较后即可得出结论D错误． 综上即可得出结论． 【详解】A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确； B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确； C、设当x≥25时，yA=kx+b， 将（25，30）、（55，120）代入yA=kx+b，得： ，解得：， ∴yA=3x-45（x≥25）， 当x=35时，yA=3x-45=60＞50， ∴每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确； D、设当x≥50时，yB=mx+n， 将（50，50）、（55，65）代入yB=mx+n，得： ， 解得：， ∴yB=3x-100（x≥50）， 当x=70时，yB=3x-100=110＜120， ∴结论D错误． 故选D． 【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 4. 若一次函数的图像经过一、二、四象限，则一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图像经过一、二、四象限，可得，进而判断一次函数的图像即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过一、二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图像经过二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图像性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图像有四种情况： ①当，，函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，，函数的图像经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限． 5. 一名考生前往考场，5分钟走了总路程的，估计不能准时达到考场，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1，出租车匀速），则他达到考场所花的时间比一直步行提前了（ ） A. 18分钟 B. 20分钟 C. 24分钟 D. 28分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．先求出步行的速度，从而可得一直步行到达考场所需时间，再求出出租车的速度，从而可得他到达考场所花的时间，由此即可得． 【详解】解：一直步行到达考场所需时间为（分钟）， 他到达考场所花的时间为（分钟）， 则他到达考场所花的时间比一直步行提前的时间为（分钟）， 故选：B． 6. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论（2）正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论（1）正确； 如图，过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论（4）错误； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论（3）正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 7. 如图，AB、CD、EF两两相交于点P、M、N，连接AC、BE、DF，则图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（ ） A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得∠A+∠C=180°-∠MNP，∠B+∠E=180°-∠MPN，∠D+∠F=180°-PMN，∠MNP+∠MPN+∠PMN=180°，进而可得答案． 【详解】∵∠A+∠C=180°-∠MNP，∠B+∠E=180°-∠MPN，∠D+∠F=180°-PMN，∠MNP+∠MPN+∠PMN=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°×3-（∠MNP+∠MPN+∠PMN）=540°-180°=360°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 8. 如图，点在上，于点，于点，，其中，则下列结论中错误是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵△ABP≌△PCD， ∴∠APB=∠D，AP=PD，AB=PC，∠A=∠CPD， ∴∠A+∠CPD=90°是错误的， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边和对应角相等是解题的关键． 9. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，已知A（2，3），B（0，2），在x轴上找一点C，使得|AC﹣BC|的值最大，则此时点C的坐标为__． 【答案】（﹣4，0） 【解析】 【分析】连接AB交x轴于点C，此时＝AB值最大，求出直线AB的解析式，令y＝0，即可找到点C坐标． 【详解】解：如图所示，连接AB交x轴于点C，此时＝AB值最大，即点C为所求的点． 设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入点A（2，3），B（0，2）， 得，解得：． 故直线AB解析式为y＝x+2．令y＝x+2中y＝0，则得x＝﹣4，故点C坐标为（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，0）． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数图象的解析式，结合图形，明确直线AB与x轴的交点C是使＝AB值最大的点是解题的关键． 12. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的综合，解题的关键是根据一次函数的性质，求出点的坐标，再根据变形为，，变形为，可得点即为方程组的解． 【详解】∵直线与交于点，由函数图象可得，点的横坐标为， ∴点， ∵变形为，，变形为， ∴直线与的交点，就是方程组的解， ∴方程组的解为：． 故答案为：． 13. 如图，若AB=AC，BD=CD，∠A=80°，∠BDC=120°，则∠B=______°. 【答案】20° 【解析】 【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC和∠DBC的度数，即可得答案. 【详解】连接BC， ∵AB=AC，∠A=80°， ∴∠ABC=∠ACB=50°， ∵BD=CD，∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=50°-30°=20°， 故答案为20° 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键. 14. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°，则底角∠B的大小为____． 【答案】68°或22° 【解析】 【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答． 【详解】（1）当AB的中垂线MN与AC相交时， ∵∠AMD=90°， ∴∠A=90°-46°=44°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C==68°； （2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时， ∴∠DAB=90°-46°=44°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=∠DAB=22°． 故答案为68°或22°． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，此类题需要注意的是要分两种情况解答，考生在考虑问题时要全面． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知y与x成正比例，且时， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，将，代入，求出k值即可； （2）将代入（1）中函数关系式中，即可求出a值． 【小问1详解】 解：∵y与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵点在函数关系式为的图象上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正比例函数解析式，正比例函数图象上的点，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 16. 如图，中，，交于点O，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，利用三角形内角和是180度，，求出的度数，根据给出的，，求出的度数，再用180度减去这个度数就是的度数． 【详解】解：， ， ，， ， ． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在直角坐标系中，A，B，C，D各点的坐标分别为(−7，7)，(−7，1)，(−3，1)，(−1，4). (1)在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1(不写作法)； (2)写出点A1和C1的坐标； (3)求四边形A1B1C1D1的面积. 【答案】 （1）四边形的各顶点坐标为，画出四边形如右图所示. （2）点的坐标为(7,7)，点的坐标为(3,1)；（3）24 【解析】 【分析】（1）分别得到4个顶点关于y轴的对称点，再按原图的顺序连接即可；（2）依据各点所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标；（3）把所求四边形的面积分割为矩形的面积减去2个直角三角形的面积计算即可． 【详解】⑴. 略 ⑵. 由（1）可知，点的坐标为(7,7)，点的坐标为(3,1)； ⑶. 如图所示，把四边形割成一个直角三角形和一个直角梯形，此时四边形的面积就等于割成的两个图形的面积之和. ∴四边形 ＝ 三角形 ＋ 梯形 ＝. 【点睛】本题考查了作图——轴对称的变换，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 18. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点. （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2） 请根据图象直接写出时的取值范围. 【答案】反比例函数的解析式为y2=．一次函数的解析式为y=x﹣1．（2）x＜﹣2或0＜x＜4． 【解析】 【详解】【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k2的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式； （2）根据两函数图象的上下位置关系，找出y1＜y2时x的取值范围． 【详解】（1）∵反比例函数y2=（k2≠0）的图象过点A（4，1）， ∴k2=4×1=4， ∴反比例函数的解析式为y2=， ∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上， ∴n=4÷（﹣2）=﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）， 将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b， ，解得：， ∴一次函数的解析式为y=x﹣1； （2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方， ∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式y1＜y2的解集． 19. 如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA. （1）求证:∠EAC=∠B； （2）若∠B=50°，∠CAD:∠E=1:3，求∠E的度数. 【答案】 （1）相等.理由如下： ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD                                                                          又∠EAD＝∠EDA ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD ＝∠EDA－∠BAD ＝∠B                                                                            （2）48° 【解析】 【分析】（1）先根据AD平分∠BAC得出∠BAD=∠CAD，再由∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠EDA=∠B+∠BAD，∠EAD=∠EDA即可得出结论； （2）∠BAD=∠DAC=x°，则∠E=3x°，由（1）得∠EAC=∠B=40°，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：（1） 略 （2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3 x°， 由（1）有：∠EAC＝∠B＝50° ∴∠EAD＝∠EDA＝（x＋50）° 在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180° ∴3 x＋2（x＋50）＝180 解得：x＝16 ∴∠E＝48° 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 20. 中，是它的角平分线，D是的中点，，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】 证明：∵平分，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】略 21. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 的垂直平分线是， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质是关键． （1）根据等腰三角形的两底角相等，可求得，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而，即可求得答案； （2）根据直角三角形的性质，可得，结合，，可得，解方程即得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 即， ， ， ， ． 22. 某体育用品商店试销一款成本为60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，且获利不得高于．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）试确定y与x之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润W元，试写出利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2），销售单价定为87元时，商店可获得最大利润，最大利润是891元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据利润=（售价－成本）×销售量列出函数关系式，并配方成顶点式即可得解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 则， 解这个方程得：， ， 【小问2详解】 由题意可得：， 即， ， 成本为每个60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，即售价不低于：（元），且获利不得高于，即售价不高于（元）， ， ，且二次项系数， 当时，W随x的增大而增大， 时，W有最大值，其最大值， 所以当销售单价定为87元时，商店可获得最大利润，最大利润是891元． 23. 已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点， （1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】 （1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=AD．∴∠B=∠DAC=45°   又BE=AF， ∴△BDE≌△ADF（SAS）． ∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°． ∴△DEF为等腰直角三角形． （2）△DEF为等腰直角三角形． 证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD，∵AB=AC， ∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一）， ∴∠DAC=∠ABD=45°． ∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE， ∴△DAF≌△DBE（SAS）．∴FD=ED，∠FDA=∠EDB． ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°． ∴△DEF仍为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； （2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等． 【详解】略 【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $