精品解析：天津外国语大学附属滨海外国语学校2025-2026学年上学期第二次月考九年级学数学试题

天津外国语大学附属滨海外国语学校 2025-2026学年第一学期九年级数学学科练习 （时间：100分钟 分值：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每题只有一项是符合题目要求） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，有最大值是 3. 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 7. 如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的坐标为（　　） A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4） 8. 如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的内接正六边形的边长为3，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，若，则（ ） A. 27 B. 18 C. 9 D. 3 11. 如图所示，将绕点顺时针旋转，使点落在边上点处，此时，点的对应点正好落在边的延长线上，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 12. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面的距离为； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若点与点关于原点对称，则____________． 14. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是______． 15. 已知圆锥的底面积为16cm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__cm2． 16. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是_____． 17. 已知半圆O的直径长为4，点A为中点，P为上任意一点，与相交于点D． （1）_______（度）； （2）的最小值为_______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，均在格点上． （1）线段的长等于________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________________________． 三、解答题（共7小题，共66分，解答题应写出解答过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 21. 在中，弦CD与直径AB相交于点P，． （1）如图1，若，求和的大小； （2）如图2，若，过点D作的切线，与AB的延长线相交于点E，求的大小． 22. 已知内接于，为的直径，过点作的垂线，与相交于点，与过点的的切线相交于点. (Ⅰ)如图①，若，求的大小； (Ⅱ)如图②，若，，求的长. 23. 如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． （1）t为何值时，？ （2）t为何值时，的长度为？ （3）设五边形的面积为，当t为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？ 24. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，，，，并将会绕点O顺时针旋转． （Ⅰ）当旋转至如图①的位置时，，求此时点C的坐标； （Ⅱ）如图②，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时，求的长； （Ⅲ）当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外国语大学附属滨海外国语学校 2025-2026学年第一学期九年级数学学科练习 （时间：100分钟 分值：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每题只有一项是符合题目要求） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，有最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴由知抛物线开口向上， 故选项错误； ∵顶点坐标是， 故选项正确； ∵对称轴是直线， 故选项错误； ∵当时，取得最小值2，无最大值， 故选项错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，学会将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式是解题的关键． 3. 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 4. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 6. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 7. 如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的坐标为（　　） A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4） 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案． 【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′， ∴点P在A′C′上的对应点P′的坐标为：（4，3）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键． 8. 如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 9. 如图，的内接正六边形的边长为3，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及正六边形性质、等腰三角形判定与性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 先由正六边形的性质得到，，再由等腰三角形性质得到，，在中，利用含的直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在正六边形中，，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线及角平分线， ，， 在中，，，则， 由勾股定理可得， ， 故选：C． 10. 如图，在平行四边形中，，若，则（ ） A. 27 B. 18 C. 9 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查学生对相似三角形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识点的理解与掌握．解决本题的关键是掌握相似三角形面积比是相似比的平方． 根据是平行四边形，推出，相似比等于．由相似三角形面积比是相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：， ， 是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 11. 如图所示，将绕点顺时针旋转，使点落在边上点处，此时，点的对应点正好落在边的延长线上，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质逐一分析可判断A，B，D，再设，可得到与题干矛盾的结论，从而可判断C，从而可得结论． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，使点落在边上点处，此时，点的对应点正好落在边的延长线上， ∴，，，故A不符合题意； ∴， ∵， ∴，故B不符合题意； 由旋转可得：，而， ∴， ∴平分，故D不符合题意； 若设， 则， 而， ∴， ∴，与题干不符，故C符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用旋转的性质解题是关键． 12. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面的距离为； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可得出抛物线解析式，进而逐项判断即可． 【详解】①由题可知，，则①错误； ②对称轴为y轴，交y轴于点，设函数解析式为，将点代入解析式得，解得， 池底所在抛物线解析式为，则②正确； ③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面的距离为，则③错误； ④设原宽度为时最深处到水面的距离为，宽度减少为原来的一半时距离为，故④正确， 所以①、③错误，②、④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法出解析式． 第Ⅱ卷 非选择题（共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 14. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式． 故答案为：7． 15. 已知圆锥的底面积为16cm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】利用圆面积公式求出半径，再利用扇形的面积公式即可解决问题. 【详解】设底面圆的半径为rcm． 由题意：π⋅r2＝16π， ∴r＝4（负根已经舍弃）， ∴圆锥的侧面积=⋅2π⋅4⋅6＝24π(cm2)， 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积计算公式. 16. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题． 【详解】解：∵∠BCD=30°， ∴∠BOD=60°， ∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 17. 已知半圆O的直径长为4，点A为中点，P为上任意一点，与相交于点D． （1）_______（度）； （2）的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由点A为中点，得到，再由圆周角定理及其推论可得是等腰直角三角形，从而确定，最后，根据四边形是圆的内接四边形求解即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合已知条件得到是等腰直角三角形，即，由瓜豆原理，利用全等三角形的判定与性质确定点D在以为圆心，为半径的圆上运动，且，如图所示，结合点到圆周上动点距离最值求法与勾股定理即可得到答案． 【详解】解：（1）点A为中点， ，则， 半圆O的直径， ， 即是等腰直角三角形， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ； （2）由（1）知，是等腰直角三角形， 半圆O的直径， ，则， ， 是等腰直角三角形，即， ， P在上运动过程中始终保持， 连接，将绕着点A顺时针旋转到，连接，如图所示， ， ， ， 在和中， ， ， ， 半圆O的直径长为4，点A为中点， ，， 根据题意，D是动点，P在上运动，则以O为旋转中心，旋转的角度是， 点D在以为圆心，为半径的圆上运动，旋转的角度是，即，连接，如图所示， 四边形，且边长为2， ， 由点到圆周上动点距离关系可知，当、D、C三点共线时，可取到最小值， 在中，， 的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形性质、瓜豆原理、点到圆周上动点距离最值、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，均在格点上． （1）线段的长等于________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________________________． 【答案】 ①. ②. 分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，最后连接、交于点，点即为所求 【解析】 【分析】本题考查了作图，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用直径所对的圆周角是直角，分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，得到，最后连接、交于点，点即为所求． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，最后连接、交于点，点即为所求． 三、解答题（共7小题，共66分，解答题应写出解答过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）移项，然后直接开平方法解方程即可； （2）根据因式分解法求解方程即可． 【小问1详解】 解：， 即， 开平方得， 解得； 【小问2详解】 解：， 即， 或， 解得． 20. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1）的取值范围为： （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，则，即，利用因式分解法解得，，然后由（1）中的的取值范围即可得到的值， 【小问1详解】 解：关于x的方程有两个实数根， ，即，解得， 的取值范围为：； 【小问2详解】 解：方程有两个实数根，， ，， ， ，即， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键． 21. 在中，弦CD与直径AB相交于点P，． （1）如图1，若，求和的大小； （2）如图2，若，过点D作的切线，与AB的延长线相交于点E，求的大小． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等求得，进而根据三角形的外角性质可得；由直径所对的圆周角等于90度，根据，即可求得； （2）连接，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，进而求得，根据切线的性质以及直角三角形的两个锐角互余即可求得． 【详解】（1）如图1， ,， ， ， ， AB是直径， ， ； （2）连接，如图， ,， ， ， ， ， 是的切线，， ， ． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，切线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 22. 已知内接于，为的直径，过点作的垂线，与相交于点，与过点的的切线相交于点. (Ⅰ)如图①，若，求的大小； (Ⅱ)如图②，若，，求的长. 【答案】(Ⅰ)∠D=46°；(Ⅱ)CD=. 【解析】 【分析】(Ⅰ)如图①，连接OC，根据等腰三角形的性质可求出∠BOC的度数，根据切线的性质及直角三角形两锐角互余的关系可得∠D=∠BOC，即可得答案；(Ⅱ)如图②，连接OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA，∠EOC=∠OCE，由三角形外角性质可得∠BOC=∠OAC+∠OCA，即可得出∠DOB=3∠DOC=90°，可得∠DOC=30°，利用∠DOC的正切函数求出CD的长即可. 【详解】(Ⅰ)如图①，连接OC， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=67°， ∴∠BOC=46°， ∵C为切点，OC为半径， ∴OC⊥CD， ∴∠DOC+∠D=90°， ∵DO⊥AB， ∴∠DOC+∠BOC=90°， ∴∠D=∠BOC=46°， (Ⅱ)如图②，连接OC， ∵C为切点，OC为半径， ∴OC⊥CD， ∵OA=OC，OE=EC， ∴∠OAC=∠OCA，∠EOC=∠OCE， ∴∠OAC=∠OCA=∠OCE=∠EOC， ∵∠BOC=∠OAC+∠OCE， ∴∠BOD=∠BOC+∠DOC=3∠DOC=90°， ∴∠DOC=30°， ∵AB=2， ∴OC=OA=OB=1 ∴CD=OCtan30°=. 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及锐角三角函数的定义，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中，正弦是角的对边与斜边的比值，余弦是角的邻边与斜边的比值，正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握性质及定义是解题关键. 23. 如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． （1）t为何值时，？ （2）t为何值时，的长度为？ （3）设五边形的面积为，当t为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？ 【答案】（1）当时，． （2）当或时，的长度为． （3）当秒时，五边形的面积最小，最小面积为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点问题，三角形的面积二次函数的性质等，解题的关键是根据题意列函数关系式． （1）根据题意得，，则，当时，点在的中垂线上，进而列方程求解即可； （2）根据矩形的性质可得，根据勾股定理得出，，求解即可得出答案； （3）根据题意可得当五边形的面积为时，，再利用函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴，， 则， 当时， 故， 解得：， 故当时，． 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，且，，， 即， 解得：，． ∴当或时，的长度为． 【小问3详解】 ∵五边形的面积四边形的面积， 故当五边形的面积为时； ∴， ∵，有最小值， ∴当， 最小值为：， ∴当秒时，五边形的面积最小，最小面积为． 24. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，，，，并将会绕点O顺时针旋转． （Ⅰ）当旋转至如图①的位置时，，求此时点C的坐标； （Ⅱ）如图②，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时，求的长； （Ⅲ）当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点C的坐标为；（Ⅱ）；（Ⅲ）6 【解析】 【分析】（1）作轴于点E，根据含30°的直角三角形性质可解得CE、OE的长度，进而得到C点坐标； （Ⅱ）作于F，易证，得到AC=BD，再在利用三角函数性质得到OF长度，进而得到AC长度 （Ⅲ）先确定点C、D两点是以O为圆心，半径为OD=OC=4的圆上运动，当BC⊥OC，即BC与圆O相切时，∠OBC最大，作CE⊥y轴于E点，DF⊥x轴于F点，利用等面积法求得CE，再证△OFD≌△OEC，进而求得面积． 【详解】（Ⅰ）作轴于点E， ∵绕O点顺时针旋转， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （Ⅱ）作于F， ∵， ∴， 即 ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （Ⅲ）点C、D两点是以O为圆心，半径为OD=OC=4的圆上运动， 当BC⊥OC，即BC与圆O相切时，∠OBC最大，作CE⊥y轴于E点，DF⊥x轴于F点 ∵OB=5，OC=4 ∴由勾股定理BC=3 ∵S△BCD=BC·CO=OB·CE ∴CE= ∵∠COF+∠FOD=∠COD=90°，∠COF+∠COE=90° ∴∠FOD=∠COE 又∵∠OFD=∠OEC，OD=OC ∴△OFD≌△OEC ∴DF=CE= ∴S△OAD= 当C处于如图C’位置，同理可得面积也为6 ∴当∠OBC度数最大时，△OAD的面积为6． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转以及圆的切线的性质，第三问能够确定C、D两点的运动路径是解题关键． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 【答案】（1）①；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； ②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标． （2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线与x轴交于点，， ，解得：， 该抛物线的解析式为； ②抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， ，， ， ，， 如图，过点作轴，则， ， ， ， 点D的坐标为． 【小问2详解】 解：， 抛物线，对称轴为直线， 令，则， ， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 即当点在上时，有最小值为， 的最小值为， ， 在中，，， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即a的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $