精品解析：江苏南京市鼓楼实验中学 2026-2027学年九年级上学期 10月学情自测数学试题

2026—2027学年初三上学期南京市鼓楼实验10月第一次月考数学 一、选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第三、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限． 2. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法； 通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，对比选项即可确定正确结果． 【详解】解：将常数项移到方程右边得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 方程左边可写成完全平方形式：， 故选：D． 3. 如图，是的外接圆，连接、，若，则（ ）° A. 80 B. 100 C. 140 D. 160 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先根据，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：在优弧中取点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 4. 若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 5. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由题意知，平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 如图，连接交于，则， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 二、填空题（共9小题，满分72分，每小题8分） 7. 当______时，关于x的不等式的解集是． 【答案】1 【解析】 【详解】解：解关于的不等式，得：， ∵关于的不等式的解集是， ∴， ∴解得． 8. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 9. 如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理确定的角度，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 11. 如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意得，，，，求得，，根据计算即可． 【详解】解：∵内接于，为的直径，点B是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 12. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点、、的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为：； ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为：； 代入，得， ∴点， ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为：； 代入，得， ∴点， ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 13. 小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理和已知条件求出的长，利用已知条件，即可求出，求出的值，再根据，求出和的关系，即可知道的值，从而求出的值． 【详解】解：由题意可得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 14. 如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接AE，连接并延长交于点，先利用切线性质得到，结合推出垂直平分，得到，再由判定为等边三角形，求出相关线段长度，接着在中借助勾股定理算出，最后加上半径得到最大值． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是圆的综合填空题，综合考查切线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及圆外一点到圆上点的最值模型，解题关键是掌握圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上半径． 15. 已知，，，，求的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及二次函数的最值，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知m、n是关于x的方程的两个根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵，，且， ∴m、n是关于x的方程的两个根， ∴、， ∴ ∵， ∴当时，取最小值， ∴的最小值． 故答案为6． 16. 若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题（共11小题） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）通过移项，然后配方，再直接开平方即可得到答案； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 两边同加上1，得， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：移项，得， 提取公因式，得， ，． 18. 一次函数y＝k1x+b和反比例函数y＝的图象的相交于A（2，3），B（﹣3，m），与x轴交于点C，连接OA，OB． （1）请直接写出m的值为 　 　，反比例函数y＝的表达式为 　 　； （2）观察图象，请直接写出k1x+b﹣＞0的解集； （3）求△AOB的面积． 【答案】（1）-2；；（2）或； 【解析】 【分析】（1）先把A点坐标代入到反比例函数解析式求出反比例函数解析式，即可求出m的值； （2）观察图像可知，不等式k1x+b﹣＞0的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围，由此求解即可； （3）先求出直线AB的解析式，然后求出C点坐标，再由进行求解即可． 【详解】解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数的函数图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点B（﹣3，m）在反比例函数的图像上， ∴， 故答案为：-2；； （2）观察图像可知，不等式k1x+b﹣＞0的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围， ∴不等式k1x+b﹣＞0的解集为或； （3）把A、B坐标代入到直线AB的解析式中得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为， ∵C是直线AB与x轴的交点， ∴C点坐标为（-1，0）， ∴OC=1， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，图像法解不等式，求三角形面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求函数解析式． 19. 关于 x 的方程 有两个实数根 ． （1）求 k 的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及由一元二次方程根的情况求参数范围、解不等式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解决问题的关键． （1）根据根的判别式得出，求解即可． （2）根据根与系数关系得出，代入，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得：． 【小问2详解】 解：由题意可知，． 因为， 所以， 整理得， 解得：． ， ． 20. 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段．室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间x（分钟）成正比例：燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为，据以上信息解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时与燃烧后y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当每立方米空气中含药量不低于时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】（1）药物燃烧时的解析式为；燃烧后的函数解析式为 （2）对病毒有作用的时间长为分钟 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式和反比例解析式即可； （2）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【小问1详解】 解：设药物燃烧时的解析式为， 由题意可得：， ∴， 设燃烧后的函数解析式为， 由题意可得：， 解得， 即药物燃烧时的解析式为；燃烧后的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴（分钟）， 即对病毒有作用的时间长为分钟． 21. 如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． （1）当时，求的度数． （2）若，且．请用含有α，β的代数式表示的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据外角的性质求出，根据圆内接四边形对角互补求出，最后根据外角可得答案； （2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得，可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 四边形内接于， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 22. 新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． （1）求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； （2）为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 【答案】（1） （2）28元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为，根据题意可得，解方程即可； （2）设每条数据线上涨元，则每周的销量为条，结合总利润等于一条数据线的利润乘销售数量，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为， 由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：该门店这两周该数据线销量的周均增长率为． 【小问2详解】 解：设每条数据线上涨元，则每周的销量为条， 由题意，得， 整理，得， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， ∴． 答：应将零售价定为28元． 23. 问题提出: 平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？ 初步思考 设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O． （1）当C、D在线段AB的同侧时， 如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是 ； 如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB ∠ADB； 如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB ∠ADB．（填“=”、“＞”或“＜”）； 由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件： ． 类比学习 （2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形． 此时有 ， 此时有 ， 此时有 ． 由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件： ． 拓展延伸 （3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上． 求作：CN⊥AB． 作法：①连接CA，CB； ②在上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB； ③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点； ④连接F、E并延长，交直径AB于M； ⑤连接D、M并延长，交⊙O于N．连接CN． 则CN⊥AB． 请按上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论） 【答案】（1）①同弧所对的圆周角相等；②＜；③＞；当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上；（2）④∠ACB＋∠ADB＝180°；⑤∠ACB＋∠ADB＞180°；⑥∠ACB＋∠ADB＜180；当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上；（3）作图见解析，理由见解析． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析： （1）∠ACB=∠ADB的依据是：同弧所对的圆周角相等．利用圆周角定理及三角形的外角性质，即可得到圆外角、圆周角、圆内角三者之间的关系，进而得到四点共圆的判定方法． （2）利用圆周角的度数与所对弧的度数的关系即可得到∠ACB+∠ADB=180°；再结合三角形的外角性质，即可得到点D在圆内、圆外时∠ACB+∠ADB与180°的大小关系，进而得到四点共圆的判定方法． （3）由（2）中的结论可证到：点E、D、B、M在同一个圆上，从而有∠EMD=∠EBD．由∠CND=∠CBD可证到CN∥EM，进而可证到CN⊥AB． 试题解析： （1）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACB=∠ADB． ②如图②，延长BD交⊙O于点E， ∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB ∴∠ACB＜∠ADB． ③如图③，连接AF， ∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB ∴∠ACB＞∠ADB． 故答案为同弧所对的圆周角相等、＜、＞、 当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上． （2）①如图④， ∵与的度数之和等于360°， 且∠ADB的度数等于度数的一半， ∠ACB的度数等于度数的一半， ∴∠ACB+∠ADB=180°． ②如图⑤，延长AD交⊙O于点E，连接BE， ∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB， ∴∠ACB+∠ADB＞180°． ③如图⑥，连接BF ∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB， ∴∠ACB+∠ADB＜180°． 故答案为∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°． 当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上． （3）图⑦即为所求作． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF， ∴根据三角形的三条高交于同一点可得：FM⊥AB． ∴∠EMB=90°． ∴∠EMB+∠EDB=180°． ∴由（2）中的结论可得：点E、D、B、M在同一个圆上，如图⑦所示． ∴∠EMD=∠EBD． ∵∠CND=∠CBD， ∴∠CND=∠EMD． ∴CN∥EM． ∴∠CHB=∠EMB． ∵∠EMB=90°， ∴∠CHB=90°，即CN⊥AB． 考点：圆周角定理，三角形的外角性质， 24. 关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“勾股方程”：_________ （2）求证：关于x的“勾股方程”必有实数根； （3）如图，已知是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾股方程”，求的度数． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 证明：∵关于x的方程是“勾股方程”， ∴且， 当时， ， ∴方程有两个实数根， 当时， 方程，， 该方程有实数根； 综上所述，“勾股方程”必有实数根； （3） 【解析】 【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“勾股方程”； （2）由是“勾股方程”，得到且，时，，方程有两个实数根，时，方程，，方程有实数根，得“勾股方程”必有实数根； （3）作于E，延长交于F，连接，根据垂径定理得，根据勾股定理得，根据“勾股方程”得，得到，推出，推出，根据圆周角定理得． 【小问1详解】 解：根据题意，写出一个“勾股方程”为：（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： 作于E，延长交于F，连接， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∵是“勾股方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查新定义——“勾股方程”．熟练掌握“勾股方程”的定义，一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，是解决问题的关键． 25. 如图1，在矩形中，边长，，其中a、b分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． （1）______； （2）如图2，当点O运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆O与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时t的值； （3）如图3，当半圆O与的边有两个交点时，请直接写出t的取值范围______． 【答案】（1）5 （2） ①与相切， 理由：如图，过点O作，垂足为点E， ∵在矩形中，， ， 是的平分线， ， 是的切线， 即与相切； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出的根，从而可得，的长，再根据矩形的性质，结合勾股定理求得； （2）①运用角平分线性质定理得，可得是圆O的切线； ②利用三角形面积公式，得到关于关于的方程求解，求出，从而可求此时t的值； （3）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：由，即， 解得：，， 边长，，其中a，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 故答案为：5； 【小问2详解】 ①略 ②， ， ， 即， ， ； 【小问3详解】 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， 由知， 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ， 当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点； 连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ， ， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形的性质，勾股定理等知识，解题关键是画出图形，分类讨论． 26. 我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究（1）将反比例函数的图象沿轴向左平移1个单位，可以得到函数的图象如图①，观察图象，以下结论正确的有______（写序号）； ①该函数图象与轴的交点坐标是；②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；③当时，随的增大而减小． （2）在图②中画出函数的图象（无需列表），填空：该图象的对称中心坐标为 ______． 问题解决（3）①若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值； ②在①的条件下，如图③，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴、y轴上，点坐标为，点是中点，连接交于，若函数的图象经过点，取线段的中点，经过点作直线与这个函数图象交于两点，点P横坐标为5，请直接写出四边形的面积为______． 深入思考（4）当时，对于任意正数，方程均无解，直接写出满足的数量关系______． 【答案】（1）①②； （2）作函数图象如下： ； （3）①；②6；（4） 【解析】 【分析】（1）数形结合判断作答即可； （2）由题意知，的图象是由的图象向下平移1个单位得到的，任何作函数图象，确定该图象的对称中心坐标即可； （3）①由函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，计算求解即可；②由题意知，，，同理（1）可知，的对称中心为，当时，，即；待定系数法求直线的解析式为，联立，可求或，即，则的中点，即为对称中心，当时，，即；同理，直线l的解析式为，联立，计算求解，进而可得，与重合，如图③，根据，计算求解即可； （4）由，令，，由当时，对任意正数，方程均无解， 可知函数，的图象无交点，如图④，由题意知，的对称中心为，即图象不经过，由为任意正数，可知当经过点时，两图象无交点，即无解，将代入得，，整理得． 【详解】（1）解：由图象可知，该函数图象与轴的交点坐标是，①正确，故符合要求； 该函数图象是中心对称图形，对称中心是，②正确，故符合要求； 当时，随的增大而减小，③错误，故不符合要求； 故答案为：①②． （2）解：由题意知，的图象是由的图象向下平移1个单位得到的； ∴该图象的对称中心坐标为； （3）①解：∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴， 解得，， ∴的值为； ②解：由题意知，，， 同理（1）可知，的对称中心为， 当时，，即； 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，或， ∴， ∴的中点，即为对称中心， 当时，，即； 同理，直线l的解析式为， 联立， 解得，或， ∴，与重合，如图③， ∵是对称中心， ∴， 故答案为：6； （4）解：， 令，， ∵当时，对任意正数，方程均无解， ∴函数，的图象无交点， 如图④， 由题意知，的对称中心为，即图象不经过， ∵为任意正数， ∴当经过点时，两图象无交点，即无解， 将代入得，，整理得； 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，图象的平移，一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数的图象与性质，图象的平移，一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标与图形是解题的关键． 27. 综合与实践 【问题背景】 第二十二届文博会于2026年5月21日至25日在深圳国际会展中心举办．南外二实美工社团的学生们有幸参与了其中的青少年文创活动，并设计了一款半圆形的摆件作为纪念品赠送给前来参观的人，每件摆件需要用文博会的特制卡纸进行贴面手绘，半圆形卡纸需至少覆盖摆件的半圆形区域（摆件的厚度忽略不计）． 【问题解决】 如图1，原计划用边长为的正方形卡纸，恰好可裁剪出两个直径为的半圆，但实际半圆形摆件的直径为，原裁剪方案作废． 小谷是本次活动组长，他第一时间提出新的裁剪方案：如图2，在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，连接并以为直径画半圆，半圆与、分别相切于点、点． （1）求证：圆心在的角平分线上； （2）请通过计算判断小谷的优化方式是否能够覆盖摆件的半圆形区域； 【实践操作】 原有正方形卡纸的数量仍缺口较大，时间紧迫，从隔壁彩旗制作小组借调了一批文博会的特制三角形卡纸备用，现需要在新的三角形卡纸上裁剪出合适的半圆． （3）如图3，在中，，，．请用无刻度的直尺与圆规在三角形内部设计一个半圆的裁剪方案．并通过计算说明该方案可以覆盖摆件的半圆形区域（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）连接、， ∵半圆与切于，与切于， ∴，， ∵， ∴点到的两边、的距离相等， ∴点在的角平分线上； （2）可以覆盖 （3） 说明：∵，，， ， 作的平分线，交于点，过作于，作于， ∴，，，且在角平分线上，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 以点为圆心，为半径作圆， 此时半圆可以完全在三角形内部， 半圆直径， 可以覆盖摆件． 【解析】 【分析】（1）先根据切线的性质得到，，且、都是半圆半径，即，再利用角平分线的判定定理直接证得点在的角平分线上； （2）承接第（1）问结论，正方形中对角线平分，所以圆心落在对角线上，根据，可得，由平分，，得到是等腰直角三角形，推出，正方形边长为，算出对角线，由列出方程，解出半径，将直径计算结果和摆件需要的直径比较大小即可； （3）先由勾股定理算出直角边的长度；要在三角形内部作半圆，让半圆同时和两条直角边相切，圆心应在的角平分线上，所以第一步作的平分线交于点；过分别作、，由角平分线性质得，四边形为正方形；由，证，写出对应边成比例的式子，代入线段长列方程求出半径，算出半圆直径；对比，验证可以覆盖；作图上，以为圆心、长为半径，在三角形内部画出半圆即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，， 由（1）知在的角平分线上， 平分， ∴点在上， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ∵， 摆件直径， ∴可以覆盖； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是一道结合真实文创活动情境的几何综合探究题，将圆的切线、角平分线、正方形、等腰直角三角形、勾股定理、相似三角形、尺规作图等核心知识点融合在一起，层层递进设置三个小问，侧重考查学生从实际问题中抽象几何模型、逻辑推理与运算求解的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年初三上学期南京市鼓楼实验10月第一次月考数学 一、选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第三、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限 2. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的外接圆，连接、，若，则（ ）° A. 80 B. 100 C. 140 D. 160 4. 若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 6. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共9小题，满分72分，每小题8分） 7. 当______时，关于x的不等式的解集是． 8. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 9. 如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 10. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 11. 如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高_____． 13. 小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 14. 如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 15. 已知，，，，求的最小值是_____． 16. 若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 三、解答题（共11小题） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 一次函数y＝k1x+b和反比例函数y＝的图象的相交于A（2，3），B（﹣3，m），与x轴交于点C，连接OA，OB． （1）请直接写出m的值为 　 　，反比例函数y＝的表达式为 　 　； （2）观察图象，请直接写出k1x+b﹣＞0的解集； （3）求△AOB的面积． 19. 关于 x 的方程 有两个实数根 ． （1）求 k 的取值范围； （2）若，求k的值． 20. 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段．室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间x（分钟）成正比例：燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为，据以上信息解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时与燃烧后y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当每立方米空气中含药量不低于时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 21. 如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． （1）当时，求的度数． （2）若，且．请用含有α，β的代数式表示的大小． 22. 新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． （1）求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； （2）为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 23. 问题提出: 平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？ 初步思考 设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O． （1）当C、D在线段AB的同侧时， 如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是 ； 如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB ∠ADB； 如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB ∠ADB．（填“=”、“＞”或“＜”）； 由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件： ． 类比学习 （2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形． 此时有 ， 此时有 ， 此时有 ． 由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件： ． 拓展延伸 （3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上． 求作：CN⊥AB． 作法：①连接CA，CB； ②在上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB； ③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点； ④连接F、E并延长，交直径AB于M； ⑤连接D、M并延长，交⊙O于N．连接CN． 则CN⊥AB． 请按上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论） 24. 关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“勾股方程”：_________ （2）求证：关于x的“勾股方程”必有实数根； （3）如图，已知是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾股方程”，求的度数． 25. 如图1，在矩形中，边长，，其中a、b分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． （1）______； （2）如图2，当点O运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆O与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时t的值； （3）如图3，当半圆O与的边有两个交点时，请直接写出t的取值范围______． 26. 我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究（1）将反比例函数的图象沿轴向左平移1个单位，可以得到函数的图象如图①，观察图象，以下结论正确的有______（写序号）； ①该函数图象与轴的交点坐标是；②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；③当时，随的增大而减小． （2）在图②中画出函数的图象（无需列表），填空：该图象的对称中心坐标为 ______． 问题解决（3）①若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值； ②在①的条件下，如图③，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴、y轴上，点坐标为，点是中点，连接交于，若函数的图象经过点，取线段的中点，经过点作直线与这个函数图象交于两点，点P横坐标为5，请直接写出四边形的面积为______． 深入思考（4）当时，对于任意正数，方程均无解，直接写出满足的数量关系______． 27. 综合与实践 【问题背景】 第二十二届文博会于2026年5月21日至25日在深圳国际会展中心举办．南外二实美工社团的学生们有幸参与了其中的青少年文创活动，并设计了一款半圆形的摆件作为纪念品赠送给前来参观的人，每件摆件需要用文博会的特制卡纸进行贴面手绘，半圆形卡纸需至少覆盖摆件的半圆形区域（摆件的厚度忽略不计）． 【问题解决】 如图1，原计划用边长为的正方形卡纸，恰好可裁剪出两个直径为的半圆，但实际半圆形摆件的直径为，原裁剪方案作废． 小谷是本次活动组长，他第一时间提出新的裁剪方案：如图2，在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，连接并以为直径画半圆，半圆与、分别相切于点、点． （1）求证：圆心在的角平分线上； （2）请通过计算判断小谷的优化方式是否能够覆盖摆件的半圆形区域； 【实践操作】 原有正方形卡纸的数量仍缺口较大，时间紧迫，从隔壁彩旗制作小组借调了一批文博会的特制三角形卡纸备用，现需要在新的三角形卡纸上裁剪出合适的半圆． （3）如图3，在中，，，．请用无刻度的直尺与圆规在三角形内部设计一个半圆的裁剪方案．并通过计算说明该方案可以覆盖摆件的半圆形区域（不写作法，保留作图痕迹）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $