湖北省黄冈市团风县2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．5，6，11 B．3，4，5 C．4，4，10 D．1，1，2 2．习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，为了安全建筑工地的塔吊上部设计成三角形结构，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 4．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（　　） A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB D．DC＝BE 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D，CD＝2，则BC的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为23，BE＝3，则△ABD的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，△ACD的周长为22cm，则下列说法正确的是（　　） A．△ABC的周长为50cm B．AB﹣AC＝6cm C．AD＝6cm D．BC＝6cm 8．【双剑合璧】两位侠客施展“全等剑阵”△ABC≌△DEF，则剑光总长（CF）为八尺，剑光重叠处（BE）长四尺．问独属一位侠客的剑光（CE）长几何？（　　） A．4尺 B．3尺 C．2尺 D．3.5尺 9．在△ABC中，若∠BAC＝76°，∠ACB＝62°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（　　） A．∠BAQ＝38° B．∠EQF＝20° C．BE＝CE D．ED⊥BC 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（　　） A．2 B．4或6 C．6 D．2或6 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　 ．（只需写出一个） 12．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，n）与点B（m，5）关于x轴对称，则mn的值为 　 　 ． 13．已知m，n为等腰△ABC的边长，且满足|m﹣5|+（n﹣11）2＝0，则△ABC的周长是 　 　 ． 14．如图，∠AOB＝80°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点B，连接CE，∠DCE的度数为 　 　 ． 15．如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得为定值a，则k＝　 　 ；a＝　 　 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，若∠ADE＝80°，∠EAC＝36°，求∠B的度数． 17．（7分）如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA． 18．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出B1的坐标； （2）在x轴上画出点P，使PB+PC最小（保留作图痕迹，不写作法）． 19．（7分）如图，在△ABC中，BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明AD平分∠BAC． 20．（8分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE， （1）求证：DE∥AC； （2）若DE＝EF，试判断△AEF的形状，并说明理由． 21．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证： （1）AB＝BC+AD． （2）AE平分∠BAD． 22．（9分）如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD． （1）求∠E的度数； （2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点； （3）若MC＝1，求BE的长． 23．（10分）平面直角坐标系xOy中，A（0，a），B（b，0）分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，C在第二象限，满足：AC＝AB，∠BAC＝90°．已知． （1）求A，B的坐标； （2）求点C的坐标； （3）已知D是x轴的正半轴上一点，OD＞OB，E在第一象限，AE＝AD，∠EAD＝90°，连接CE交y轴于点P，求证：PC＝PE． 24．（13分）【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究． 【探索】（1）如图1，在△ABE和△DCE中，点E为AC与BD的交点． ①若∠A+∠B＝100°，则∠C+∠D＝　 　 ； ②若∠B＝∠C，则∠A与∠D之间的数量关系是　 　 ； 【应用】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D是BC边上一点，将△ABD沿AD折叠至△ADE，AB的对应边AE与BC交于点F，当△ADF为等腰三角形时，求∠CDE的度数； （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AD＝2，E是△ABC外一点且满足∠EDC＝∠EBC，BA＝BE，.记BD＝x，y＝S△ABD﹣S△BDE，请用含x代数式表示出y；并求出当y＝8时，x的值． 2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D B D B C B D 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．5，6，11 B．3，4，5 C．4，4，10 D．1，1，2 【分析】根据三角形三边关系解答即可． 【解答】解：A、5+6＝11，故不能构成三角形．不符合题意； B、3+4＞5，故能构成三角形，符合题意； C、4+4＜10，故不能构成三角形，不符合题意； D、1+1＝2，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 2．习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键． 3．如图，为了安全建筑工地的塔吊上部设计成三角形结构，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 【分析】利用三角形的稳定性进行解答即可． 【解答】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 4．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（　　） A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB D．DC＝BE 【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB＝AC，∠A＝∠A；要判定两三角形全等只需条件：一组对应角相等，或AD＝AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的． 【解答】解：A、当∠B＝∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确； B、当AD＝AE时，符合SAS的判定条件，故B正确； C、当∠ADC＝∠AEB时，符合AAS的判定条件，故C正确； D、当DC＝BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故D错误； 故选：D． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定方法，需注意的是SSA和AAA不能作为判定两个三角形全等的依据． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D，CD＝2，则BC的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】根据AB＝AC得到∠B＝∠C，再根据题意可得AD＝CD，最后根据含30°的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝90°﹣∠B＝60°， ∵∠ADB是△ACD的一个外角， ∴∠DAC+∠C＝60°， ∵∠C＝30°， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴AD＝CD＝2， 在含30°的Rt△BAD中，BD＝2AD＝4， ∴BC＝BD+DC＝2+4＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了含30°的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解决问题的关键． 6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为23，BE＝3，则△ABD的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【分析】由线段垂直平分线的性质可得BC＝2BE＝6，BD＝CD，再由△ABC的周长为23，求出AB+AC＝17，由此即可得解． 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴BC＝2BE＝6，BD＝CD， ∵△ABC的周长为23， ∴AB+BC+AC＝23， ∴AB+AC＝17， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝17， 故选：D． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，△ACD的周长为22cm，则下列说法正确的是（　　） A．△ABC的周长为50cm B．AB﹣AC＝6cm C．AD＝6cm D．BC＝6cm 【分析】根据三角形中线的定义可知BD＝CD，然后分别表示出△ABD和△ACD的周长，通过两者相减得出AB﹣AC的值，进而对各选项进行判断． 【解答】解：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD． △ABD的周长为AB+BD+AD＝28（cm），△ACD的周长为AC+CD+AD＝22（cm）． 用△ABD的周长减去△ACD的周长可得： （AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝28﹣22＝6（cm）， 所以AB﹣AC＝6cm，B选项正确，符合题意． 对于A选项，仅根据现有条件无法求出△ABC的周长，所以此选项错误，不符合题意； 对于C选项，无法求出AD的长度，所以此选项错误，不符合题意； 对于D选项，无法求出BC的长度，所以此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是利用中线性质得出BD＝CD，再结合两个三角形周长的关系进行推导． 8．【双剑合璧】两位侠客施展“全等剑阵”△ABC≌△DEF，则剑光总长（CF）为八尺，剑光重叠处（BE）长四尺．问独属一位侠客的剑光（CE）长几何？（　　） A．4尺 B．3尺 C．2尺 D．3.5尺 【分析】先根据全等三角形的性质可得BC＝EF，则可得CE＝BF，再根据线段和差求解即可得． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BC﹣BE＝EF﹣BE，即CE＝BF， ∵CF＝8尺，BE＝4尺， ∴CE+BF＝CF﹣BE＝4尺， ∴CE+CE＝4尺， ∴CE＝2尺， 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 9．在△ABC中，若∠BAC＝76°，∠ACB＝62°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（　　） A．∠BAQ＝38° B．∠EQF＝20° C．BE＝CE D．ED⊥BC 【分析】由图知，AQ平分∠BAC，MN垂直平分BC，运用角平分线的定义，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：由题意知，AQ平分∠BAC，MN垂直平分BC， ∴∠BAQ＝∠CAF＝∠BAC＝×76°＝38°，BE＝CE，∠QEF＝90°， ∵∠AFC＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣38°﹣62°＝80°， ∴∠EFQ＝∠AFC＝80°， ∴∠EQF＝90°﹣80°＝10°， 故A、C、D不符合题意，B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，关键是掌握用尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（　　） A．2 B．4或6 C．6 D．2或6 【分析】当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，由全等三角形的性质求出其解即可． 【解答】解：∵△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE． 如图，当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE， ∵CE＝t，BD＝6﹣2t， ∴6﹣2t＝t， ∴t＝2． 如图，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE， ∵CE＝t，BD＝2t﹣6， ∴t＝2t﹣6， ∴t＝6． 综上所述，当t＝2或6时，△ABD≌△ACE， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时分类讨论是重点也是难点． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是CA＝FD ．（只需写出一个） 【分析】可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加． 【解答】解：添加CA＝FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF． 故答案可为CA＝FD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一． 12．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，n）与点B（m，5）关于x轴对称，则mn的值为 　10　 ． 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出m，n的值，进而得出答案． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣2，n）与点B（m，5）关于x轴对称， ∴m＝﹣2，n＝﹣5， ∴mn＝（﹣2）×（﹣5）＝10． 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 13．已知m，n为等腰△ABC的边长，且满足|m﹣5|+（n﹣11）2＝0，则△ABC的周长是 　27　 ． 【分析】由非负数的性质求出m＝5，n＝11；分两种情况，由三角形三边关系定理，得到等腰三角形的腰长是11，即可得到答案． 【解答】解：∵|m﹣5|+（n﹣11）2＝0， ∴m﹣5＝0，n﹣11＝0， ∴m＝5，n＝11， 当等腰三角形的腰长是5时， 5+5＜11，不满足三角形三边关系定理； 当等腰三角形的腰长是11时， 11+5＞11，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长＝11+11+5＝27． 故答案为：27． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，非负数的性质：偶次方、绝对值，关键是要分两种情况讨论，掌握非负数的性质． 14．如图，∠AOB＝80°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点B，连接CE，∠DCE的度数为 　40°　 ． 【分析】由作图可知，CO＝CD，DC＝DE，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：由作图可知，CO＝CD，DC＝DE． ∵CO＝CD， ∴∠ODC＝∠COD＝80°， ∴∠DCE+∠CED＝∠ODC＝80°， ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠CED＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，由作图得出CO＝CD，DC＝DE是解题的关键． 15．如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得为定值a，则k＝　　 ；a＝　1　 ． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．在BC上截取CG＝CF，连接FG，通过证明△DFG≌△EFC，可得DG＝EC，即可求解． 【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，在BC上截取CG＝CF，连接FG， ∴∠ACB＝60°， ∴△FCG是等边三角形， ∴∠GFC＝60°，FG＝CF， ∵△DFE是等边三角形， ∴FD＝FE，∠DFE＝60°， ∴∠DFG＝∠EFC， 在△DFG与△EFC中， ， ∴△DFG≌△EFC（SAS）， ∴DG＝EC， ∴CF+EC＝CD， ∵F是AC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，a＝1； 故答案为：，1． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造△CFE≌△MFD是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，若∠ADE＝80°，∠EAC＝36°，求∠B的度数． 【分析】根据已知条件易求∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求得∠CAD的度数，因AD平分∠BAC，根据角平分线的定义即可求得∠BAD的度数，最后根据三角形外角的性质即可求得∠B的度数． 【解答】解：∵AE⊥BC于E，∠EAC＝36°， ∴∠C＝90°﹣36°＝54°， ∵∠ADE＝80°， ∴∠CAD＝180°﹣80°﹣54°＝46°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝46°， ∵∠ADE是△ABD的外角， ∴∠B＝80°﹣46°＝34°． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键． 17．（7分）如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA． 【分析】根据SSS推出△ADB和△BCA全等，再根据全等三角形的性质得出即可． 【解答】证明：在△ADB和△BCA中， ， ∴△ADB≌△BCA（SSS）， ∴∠ADB＝∠BCA． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定的运用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 18．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出B1的坐标； （2）在x轴上画出点P，使PB+PC最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】（1）作出△ABC各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据B1的位置可写出坐标； （2）作点B关于x轴的对称点B′，连接B′C交x轴于点P，由BP+PC＝B′P+PC≥B′C，可得点P即为所求． 【解答】解：（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图， B1的坐标为（﹣1，2）； （2）作点B关于x轴的对称点B′，连接B′C交x轴于点P，如图，点P即为所求． 【点评】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 19．（7分）如图，在△ABC中，BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明AD平分∠BAC． 【分析】证明Rt△EBD和Rt△CFD（HL），可得DE＝DF，然后利用角平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在Rt△EBD和Rt△CFD中， ， ∴Rt△EBD和Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC． 【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质． 20．（8分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE， （1）求证：DE∥AC； （2）若DE＝EF，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AE＝ED，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证DE∥AC，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得∠AOE＝∠AOF＝90°，然后利用ASA证明△AEO≌△AFO，从而可得AE＝AF，再根据等量代换可得AE＝EF＝AF，即可解答． 【解答】（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）解：△AEF是等边三角形， 理由：∵EF是AD的垂直平分线， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， ∵AO＝AO，∠EAD＝∠CAD， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴AE＝AF， ∵AE＝DE，DE＝EF， ∴AE＝EF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 21．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证： （1）AB＝BC+AD． （2）AE平分∠BAD． 【分析】（1）由AD∥BC，得∠D＝∠ECF．由∠AED与∠FEC是对顶角，得∠AED＝∠FEC．由E为CD的中点，得DE＝CE，从而证得△AED≌△FEC，那么AD＝CF，AE＝FE．欲证AB＝BC+AD，需证AB＝BC+CF，即证AB＝BF． （2）欲证AE平分∠BAD，即证∠BAE＝∠DAE．由（1）得△AEB≌△FEB，△AED≌△FEC，得∠BAE＝∠F，∠DAE＝∠F，那么∠BAE＝∠DAE． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF． ∵∠AED与∠FEC是对顶角， ∴∠AED＝∠FEC． ∵E为CD的中点， ∴DE＝CE． 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（ASA）． ∴AD＝CF，AE＝FE． ∵BE⊥AE于点E， ∴∠AEB＝90°，∠FEB＝90°． ∴∠AEB＝∠FEB． 在△AEB和△FEB中， ， ∴△AEB≌△FEB（SAS）． ∴AB＝BF． ∴AB＝BC+CF． ∴AB＝BC+AD． （2）由（1）得：△AEB≌△FEB，△AED≌△FEC． ∴∠BAE＝∠F，∠DAE＝∠F． ∴∠BAE＝∠DAE． ∴AE平分∠BAD． 【点评】本题主要考查平行线的性质、对顶角、线段中点的性质、全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、线段中点的性质、全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义是解决本题的关键． 22．（9分）如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD． （1）求∠E的度数； （2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点； （3）若MC＝1，求BE的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°，因为∠ACB＝∠E+∠CDE，即可解答； （2）要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证； （3）根据含30°的直角三角形的性质得到CE＝CD＝4，然后根据BE＝2EM即可得到结果． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， 又∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠E＝∠ACB＝30°； （2）证明：连接BD， ∵AB＝AC＝BC，D是AC的中点， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴DB＝DE， 又∵DM⊥BE， ∴M是BE的中点； （3）解：∵DM⊥BE，∠ACB＝60°， ∴∠MDC＝30°， ∴DC＝2MC＝2， ∴CE＝CD＝2， ∴BE＝2ME＝2×（1+2）＝6． 【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键． 23．（10分）平面直角坐标系xOy中，A（0，a），B（b，0）分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，C在第二象限，满足：AC＝AB，∠BAC＝90°．已知． （1）求A，B的坐标； （2）求点C的坐标； （3）已知D是x轴的正半轴上一点，OD＞OB，E在第一象限，AE＝AD，∠EAD＝90°，连接CE交y轴于点P，求证：PC＝PE． 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）过点C作CF⊥y轴于F，证明△ACF≌△BAO，得出CF＝OA＝4，AF＝OB＝2，根据点C在第二象限，求出C（﹣4，6）即可； （3）过点E作EG⊥y轴于G，证明△AOD≌△EGA，得出GE＝OA＝4，证明△FPC≌△GPE，得出PC＝PE即可． 【解答】解：（1）A（0，a），B（b，0）分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，C在第二象限，由题意可得： ∴， ∴， ∴A（0，4），B（﹣2，0）． （2）过点C作CF⊥y轴于F， ∴∠CFA＝∠AOB＝90°， ∴∠CAF+∠ACF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAF+∠BAO＝90°， ∴∠ACF＝∠BAO， 在△ACF和△BAO中， ， ∴△ACF≌△BAO（AAS）， ∴CF＝OA＝4，AF＝OB＝2， ∴C（﹣4，6）． （3）过点E作EG⊥y轴于G， ∵∠EAD＝90°， ∴∠DAO+∠GAE＝90°， ∵∠AEG+∠GAE＝90°， ∴∠DAO＝∠AEG， 在△AOD和△EGA中， ， ∴△AOD≌△EGA（AAS）， ∴GE＝OA＝4， ∵CF＝OA， ∴CF＝GE， ∵∠PGE＝∠PFC＝90°． 在△FPC和△GPE中， ， ∴△FPC≌△GPE（AAS）． ∴PC＝PE． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 24．（13分）【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究． 【探索】（1）如图1，在△ABE和△DCE中，点E为AC与BD的交点． ①若∠A+∠B＝100°，则∠C+∠D＝　100°　 ； ②若∠B＝∠C，则∠A与∠D之间的数量关系是　∠A＝∠D ； 【应用】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D是BC边上一点，将△ABD沿AD折叠至△ADE，AB的对应边AE与BC交于点F，当△ADF为等腰三角形时，求∠CDE的度数； （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AD＝2，E是△ABC外一点且满足∠EDC＝∠EBC，BA＝BE，.记BD＝x，y＝S△ABD﹣S△BDE，请用含x代数式表示出y；并求出当y＝8时，x的值． 【分析】（1）①求出∠DEC＝∠AEB＝80°，得∠C+∠D＝100°；②根据∠AEB＝∠DEC，∠B＝∠C，得∠A＝∠D； （2）设∠BAD＝x，则∠DAF＝x，∠FAC＝120°﹣2x．∠ADF＝30°+x，∠AFD＝150°﹣2x．当∠ADF＝∠AFD时，30°+x＝150°﹣2x，解得x＝40°，得∠CDE＝40°；当∠DAF＝∠AFD时，x＝150°﹣2x，解得x＝50°，得∠CDE＝20°； （3）由题意可得：，在 BD 上截取 BM＝DE，证明∠E＝∠C，∠ABD＝∠C，得∠ABD＝∠E，可得△ABM≌△BED（SAS），得，得． 【解答】解：（1）①∵在△ABE中，∠A+∠B＝100°，∠A+∠B+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠B）＝80°， ∴∠DEC＝∠AEB＝80°， 在△DCE中，∠C+∠D＝180°﹣∠DEC＝100°， 故答案为：100°； ②在△ABE中，∠A+∠B+∠AEB＝180°；在△DCE中，∠C+∠D+∠DEC＝180°，且∠AEB＝∠DEC，∠B＝∠C， ∴∠A＝∠D， 故答案为：∠A＝∠D； （2）∵AB＝AC，∠B＝30°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 设∠BAD＝x，则∠DAF＝x，∠ADF＝∠B+∠BAF＝30°+x， ∴∠FAC＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣2x， ∴∠AFD＝∠C+∠CAF＝30°+（120°﹣2x）＝150°﹣2x， ∵△ADF为等腰三角形，且∠ADF＞∠BAD＝∠DAF， 分两种情况讨论： 当∠ADF＝∠AFD时， 依题意得：30°+x＝150°﹣2x， 解得：x＝40°， ∴∠ADE＝180°﹣∠E﹣∠DAE＝110°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°， ∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝40°； 当∠DAF＝∠AFD时， 依题意得：x＝150°﹣2x， 解得：x＝50°， ∴∠ADE＝180°﹣∠E﹣∠DAE＝100°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°， ∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝20°． ∴∠CDE的度数为20°或40°； （3）∵BD⊥AC，AD＝2，BD＝x， ∴， 如图3，在BD上截取BM＝DE， ∵∠EDC＝∠CBE， 结合（1）可得：∠E＝∠C， ∵∠ABD+∠CBD＝∠C+∠CBD＝90°， ∴∠ABD＝∠C＝∠E， 在△ABM和△BED中， ， ∴△ABM≌△BED（SAS）， ∴BM＝ED， ∵， ∴， ∴， ∴， y＝8时，得：， 解得：x＝14． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $