精品解析：甘肃省定西市岷县多校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

定西岷县2025-2026学年高三上学期12月联考 （数学）试卷 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知为纯虚数，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知向量，且，则实数k为（ ） A. 2 B. 3 C. －3 D. －2 3. 已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则（ ） A. 的最大值为 1 B. 曲线 关于直线对称 C. 在 上单调递增 D. 在 上有 5 个零点 6. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是等腰直角三角形，斜边长为分别是的中点，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有错选的得 0 分. 9. 记等差数列的公差为，且；记等比数列的公比为，为其前n项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. C. 时， D. 若关于x的方程至少有2个不同的实根，则实数a的取值范围是 11. 已知直线交抛物线于P，Q两点，且，A，B，C是抛物线E上三点，直线AB，AC与圆相切于D，G两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线E的方程为 B. 直线BC与圆M相切 C. 的最大值为1 D. 过点A的直线与圆M交于T，H两点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知矩形，是的中点，则___________． 13. 记为数列的前项和，满足，且，则___________． 14. 函数满足，则的取值集合为___________． 四、解答题:本题共 5 小题， 15 题 13 分， 16、17 题 15 分， 18、19 题 17 分， 共 77 分， 解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的值域. 16. 重庆育才中学在文化节举办了“知识竞答”比赛，满分分，现统计全校参赛学生的成绩，将所得的数据分成 组： ，得到频率分布直方图如下： （1）求的值； （2）以每组数据的中间值为代表，估计本次比赛成绩的平均值； （3）若采用分层按比例抽样的方法，从成绩在 的同学中抽取名同学的成绩进行复盘分析，再从这名同学中不放回抽取份试卷，记成绩在 内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 17. 如图四棱锥， 是平行四边形，， ，为等边三角形,且平面平面，是 边的中点,是侧棱的中点. （1）证明平面 ； （2）求点到平面的距离. 18. 设函数. （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 19. （1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定西岷县2025-2026学年高三上学期12月联考 （数学）试卷 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知为纯虚数，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解即得. 【详解】依题意，，由是纯虚数，得， 所以. 故选：B 2. 已知向量，且，则实数k为（ ） A. 2 B. 3 C. －3 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及垂直的向量坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 又由，可得，解得. 故选：C 3. 已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据圆锥的侧面积公式，求母线长，再求圆锥的高，代入体积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线为，则，则， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：B 4. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 【详解】设，则， 因为，所以，所以. 故选：A. 5. 已知向量，则（ ） A. 的最大值为 1 B. 曲线 关于直线对称 C. 在 上单调递增 D. 在 上有 5 个零点 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：化简，根据解析式判断出最大值；对于B：根据的取值进行判断；对于C：采用换元法判断出单调性；对于D：根据条件解得()，然后根据的范围进行判断即可. 【详解】对于A，因为，所以的最大值为，故A错误； 对于B，因为，所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C，令，则在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，令，则()，则()， 因为，所以，所以共有个零点，故D错误. 故选：C. 6. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【详解】设公比为， 所以， 当且仅当，即3时取等号，此时. 故选：B. 7. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知4是的一个周期，赋值求相应的函数值，可得，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 可得，可知4是的一个周期， 又因为当时，，则，， 对，令，可得， 令，可得； 令，可得； 则，，， 可得，所以. 故选：D. 8. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是等腰直角三角形，斜边长为分别是的中点，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，证得平面，由是等腰直角三角形，且斜边长为，得到，再由正得到边长为2，其外接圆半径为，结合球的截面圆的性质，求得三棱锥的外接球的半径为，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，因为是等腰直角三角形，且斜边为，所以， 又因为分别是的中点，所以， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为直角三角形， 由是等腰直角三角形，且斜边长为，可得， 因为，所以是边长为2的正三角形，其外接圆半径为， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以球的体积为. 故选：A. 二、多项选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有错选的得 0 分. 9. 记等差数列的公差为，且；记等比数列的公比为，为其前n项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列项的关系列出方程，解得首项和公差，判断A、B选项；先验证及是否成立，然后由等比数列前项和公式列出方程组，然后整理得到关于的方程，然后解得，判断C选项；由及计算得到，判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，由题意可得解得故A，B正确； 等比数列的公比为，若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，得，整理得， 解得或（舍去），则，故C错误； 因为，所以，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. C. 时， D. 若关于x的方程至少有2个不同的实根，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：由是偶函数计算即可得；对B：由题意计算可得以为周期，结合时解析式计算即可得；对C：结合A中所得计算即可得；对D：结合函数性质可画出函数图象，结合对数函数性质计算即可得. 【详解】对A：因为是偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确； 对B：由是定义在上的奇函数，则， 又，则， 故，则， 故函数以为周期，则， ， 所以，故B错误； 对C：当时，，又， 则，故C正确； 对D：因为时，，且关于直线对称， 所以根据对称性可以作出上的图象， 又因为是定义在上的奇函数，的周期， 所以作出的图象如图，所以． 要使的图象与的图象至少有2个交点， 则，所以，又，所以，故D错误. 故选：AC． 11. 已知直线交抛物线于P，Q两点，且，A，B，C是抛物线E上三点，直线AB，AC与圆相切于D，G两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线E的方程为 B. 直线BC与圆M相切 C. 的最大值为1 D. 过点A的直线与圆M交于T，H两点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，利用，所以求解；对于B项，设，则，所以直线．同理可得，直线，直线．再由直线与圆相切求解；对于C，设，则进行求解；对于D项，由切割线定理，得进行求解． 【详解】对于A：在中，当时，， 因为，所以， 所以，所以，故A正确； 对于B：设，则， 所以直线． 同理可得，直线， 直线． 因为直线AB，AC与圆M相切， 所以圆心M与AB，AC的距离， 所以， 所以为方程的两根， 所以， 所以圆心M与BC的距离， 所以直线BC与圆M相切，故B正确； 对于C：设，则． 又因为，所以． 又因为， 当且仅当时取等号，所以，故C错误； 对于D：由切割线定理，得， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知矩形，是的中点，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算得到，最后代入数据即可. 【详解】如图所示： ，， 所以， 故答案为：0 13. 记为数列的前项和，满足，且，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用与的关系，代入解方程即可. 【详解】因为，且， 所以当时，， 则，结合，即①； 当时，②； 当时，③； 将③代入②可得，结合代入①可得. 故答案为：2. 14. 函数满足，则的取值集合为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得出或，所以或，进而得出的取值集合. 【详解】因为函数满足， 即， 所以或， 所以或，所以或，， 又，得或， 则的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题:本题共 5 小题， 15 题 13 分， 16、17 题 15 分， 18、19 题 17 分， 共 77 分， 解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合周期可得，在结合可得，即可得函数解析式； （2）以为整体，结合正弦函数的有界性运算求解. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，且， 则，解得，可得， 又因为，即 且，可得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 则，可得，即， 所以函数在区间上的值域为. 16. 重庆育才中学在文化节举办了“知识竞答”比赛，满分分，现统计全校参赛学生的成绩，将所得的数据分成 组： ，得到频率分布直方图如下： （1）求的值； （2）以每组数据的中间值为代表，估计本次比赛成绩的平均值； （3）若采用分层按比例抽样的方法，从成绩在 的同学中抽取名同学的成绩进行复盘分析，再从这名同学中不放回抽取份试卷，记成绩在 内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，期望： 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图，所有组频率和为，求得； （2）确定每组的中间值和频率计算平均值； （3）确定分层抽样的人数，计算区各值的概率列出分布列，计算数学期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图，所有组频率和为，得， 解得； 【小问2详解】 各组中间值分别为，对应频率分别为； 平均数； 【小问3详解】 分层抽样后，，分别抽取人、人、人 随机变量可能取值为、、，概率分别为：； ； ； 所以分布列为： 数学期望为： ； 17. 如图四棱锥， 是平行四边形，， ，为等边三角形,且平面平面，是 边的中点,是侧棱的中点. （1）证明平面 ； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用题设证明四边形是平行四边形，即得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，利用面面垂直证明线面垂直得平面，再证，即可建系，求出相关点的坐标和平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，因点是侧棱的中点，则， 又是 边的中点，且 是平行四边形，则，故， 即四边形是平行四边形，则，因平面 ，平面 ，故平面 . 【小问2详解】 如图，取的中点，连接，因为等边三角形，则， 因平面平面，且平面平面， 平面，则平面， 又，，则，即两两垂直， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因， ，则， 故得. 则 设平面的法向量为， 则，故可取， 则点到平面的距离为. 18. 设函数. （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的值表示出切线方程，代入点可求结果； （2）根据和进行分类讨论，由此确定出单调性； （3）当时，将问题转化为“” ，当时，将问题转化为“” ，然后构造函数并分析新函数的单调性，通过分类讨论并结合新函数的端点值确定出满足要求的的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， ，所以曲线在点处的切线为， 又切线过点，所以，所以. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，由，得；由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，在上单调递增，由知时，， 当时，由（2）知当，即时，对成立， 所以时，存在正实数，使得对，从而化为， 当，即时，由（2）知在上单调递减，， 化为，即， ①时，令，则， 当时，在单调递增，存在正实数，使得对， 当时，由得，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 要存在正实数，使得对，则，所以； ②当时，令， 要存在正实数，使得对， 则存在正实数，使得在上单调递减，即对成立， 当时，，此时单调递增，不符合题意， 当时，由得，从而，所以. 综合①②知，的取值范围为. 19. （1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2） 【解析】 【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果； （2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解. 【详解】（1）略 （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 【点睛】关键点睛： 1.当时，利用，换元放缩； 2.当时，利用，换元放缩. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $