精品解析：福建省华安县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年(上)学华安一中第二次月考 高二数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，且，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 5. 已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆上的点P到直线的距离最短时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆与圆恰有三条公切线，则的值不可以是（ ） A. B. C. D. 8. 各项均为0或1的数列称为数列．把数列(，，)中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列，记的前n项和为，则（ ） A. 20 B. 15 C. 12 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点且斜率为的直线与曲线交于不同的，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 面积的最大值为2 D. 当面积取最大值时， 10. 设等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点．若圆过三点，则正确的有（ ） A. 圆的圆心到轴的距离是2 B. 当时，圆的圆心的纵坐标的取值范围是 C. 圆直径的最小值是4 D. 圆恒过点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等比数列的前项和，且，，则_________． 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则整数的值是________． 14. 已知点，，点为直线上动点，当最大时，点的坐标为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，，其垂心为（提示：三角形垂心为其三条高的交点）． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 16. 已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 17. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 19. 已知O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，点是椭圆外一点，直线l过椭圆C的右焦点F，且椭圆C交于A，B两点． （1）求点P的轨迹方程； （2）当时，求证：； （3）连接OQ，若l过点P且垂直于直线OQ，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年(上)学华安一中第二次月考 高二数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两点式斜率公式求出直线斜率，然后求出倾斜角即可. 【详解】因为点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，由得 即直线的倾斜角为. 故选：B 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先反证法说明对于任意的都成立，再将两边同除得，从而得到是首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式求出，解出，利用求出. 【详解】假设，，， ，为常数列，，， 这与相矛盾，故假设不成立，故对于任意的都成立， ，， ，是首项为，公差为的等差数列， ，，. 故选：C. 3. 已知直线，，且，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由知，，解得. 故选：A． 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列下标和的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知，，解得． 故选：C． 5. 已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两个圆的方程相减，即可得到答案. 【详解】由题意得圆方程可化为， 将圆方程和圆方程相减， 即可得经过两圆交点的直线方程为. 故选：D. 6. 椭圆上的点P到直线的距离最短时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由点到直线距离公式及三角恒等变换，三角函数图象性质求出距离最小值，进而得到点P的坐标. 【详解】设，， 则点P到已知直线的距离为， 因为，所以， ， 故当，即时，d取到最小值，即此时点P的坐标为． 故选：A． 7. 若圆与圆恰有三条公切线，则的值不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系得出，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】由化为可知：，半径， 由化为可知：，半径， 又因为两圆恰有三条公切线，所以两个圆外切，所以，即， 所以，所以. 故选：D 8. 各项均为0或1的数列称为数列．把数列(，，)中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列，记的前n项和为，则（ ） A. 20 B. 15 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得数列中奇数项为偶数，偶数项为奇数，所以，，故15. 【详解】由及为偶数知，与奇偶相同， 所以数列中奇数项为偶数，偶数项为奇数， 所以，，故15， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点且斜率为的直线与曲线交于不同的，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 面积的最大值为2 D. 当面积取最大值时， 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得曲线，是以原点为圆心，2为半径的半圆，作出示意图，数形结合逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】由，则，，即， 所以曲线是以原点为圆心，2为半径的半圆， 直线的方程为，即，它们相交于两点，如图所示： 选项A，由圆心到直线距离，得，又由图可知， 所以，故选项A错误； 选项B，显然当直线过圆心时，最大为直径4，所以，故选项B正确； 选项C，由，所以当△面积取最大值时， ，即，故选项C正确； 选项D，当面积取最大值时，， 所以圆心到直线距离，所以， 因为，所以，选项D错误. 故选：BC. 10. 设等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可求得结果． 【详解】对于A，由题意，得，则，所以，所以，故A正确； 对于C，由题意，得，则，所以，故C正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于D，由知，等差数列单调递增，所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点．若圆过三点，则正确的有（ ） A. 圆的圆心到轴的距离是2 B. 当时，圆的圆心的纵坐标的取值范围是 C. 圆直径的最小值是4 D. 圆恒过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性可判断A；由二次函数的性质可得，根据题意得，求得的范围判断B；将代入可求得直径的最小值判断C；将代入圆的方程求得定点坐标判断D. 【详解】选项A，不妨设在轴上，因为二次函数的图像关于直线对称， 所以两点关于直线对称，则圆心在直线上， 所以圆的圆心到轴的距离是2，故选项A正确； 选项B，因为二次函数的图像交轴于两点，所以，所以， 因为二次函数的图像交轴于点，所以0， 所以的取值范围是．令，得． 设圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程得，则． 当时，得，所以，即，故选项B错误； 选项C，将代入， 得， 当且仅当时，等号成立，所以，则圆直径的最小值是4，故选项C正确； 选项D，将代入圆的方程得， 当时，或4，则圆过定点和，故选项D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等比数列的前项和，且，，则_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【详解】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则整数的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程建立不等式，解得整数的值. 【详解】，解得，又因为k为整数，所以． 故答案为：4. 14. 已知点，，点为直线上动点，当最大时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】当或时，结合图形求出，当且时，利用正切的两角差公式求出的最大值，结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】以为直径的圆方程为， 因为原点到直线的距离，所以圆与直线相离， 所以， 设，因为点为直线上，所以， 1）当时，，此时； 2）当时，，此时； 3）当且时， 因为，所以， 记直线的斜率分别为， 则， 所以 ， 当时，； 当时， 若，则，， 当且仅当时等号成立，故 若，则，，当且仅当时等号成立. 综上，的最大值为2， 因为单调递增，所以，此时取得最大值，点坐标为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，，其垂心为（提示：三角形垂心为其三条高的交点）． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，结合两点式斜率公式，利用垂直关系列方程组求解即可； （2）先利用两点式求得直线BC的方程，然后利用点到线的距离公式求得到边的距离，利用两点距离公式求得，代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 设顶点，因为，所以， 所以，解得， 所以顶点； 【小问2详解】 边所在直线方程为，即， 所以到边的距离， 又因为， 所以△的面积． 16. 已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的圆心为，利用题意写出，解出，即可得到答案； （2）根据弦长公式，可得，再分直线斜率不存在和存在两种情况求解即可． 【小问1详解】 设圆的圆心为，则圆的方程为， ，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）知圆心，，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以当直线斜率不存在时，，此时不符合题意； 当直线斜率存在时，设，即， 此时， 整理得，解得或， 所以直线的方程为或． 17. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由和的关系，通过作差得到，进而得到即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 因为 ①， 所以当时，，解得， 当时， ②， ①②得，， 所以， 即， 又因为为正项数列，所以，即， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以的前n项和 18. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）需要先求出圆心坐标和半径.可通过设圆心坐标，利用圆上点到圆心距离等于半径列方程求解. （2）判断两圆的位置关系，求出两圆的公切线，结合图形，得到满足条件的切线斜率. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为，半径为. 因为圆过点和，根据圆的标准方程. 对于点有，即 ①. 对于点有，即 ②. 将②代入①可得：. 展开得. 移项化简得，即，解得. 把代入②得. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线. 圆心到切线（即）的距离（∗）， 圆心到切线（即）的距离（∗∗）， 两个式子比，得到由 .化简得到， 则或者.即或者. 当时，代入方程（∗），得到，两边平方整理得，解得或. 当时，代入方程（∗），同样得到，解得. 由于且由图知道，因此，. 故满足题意的的斜率为. 19. 已知O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，点是椭圆外一点，直线l过椭圆C的右焦点F，且椭圆C交于A，B两点． （1）求点P的轨迹方程； （2）当时，求证：； （3）连接OQ，若l过点P且垂直于直线OQ，求的值． 【答案】（1） （2） 若l与x轴垂直，则，. 若l与x轴不垂直，设直线方程为， 联立得， 所以， 因为． 所以QA，QB的倾斜角互补，即， 综上所述． （3） 【解析】 【分析】（1）设P点坐标为，M点坐标为，由得到，代入椭圆方程即可求解； （2）设直线方程为，联立椭圆方程，由韦达定理结合斜率公式即可求证； （3）设，得到，由向量数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 设P点坐标为，M点坐标为，则，又，所以，即， 又因为点在椭圆上，所以，把代入上述方程，整理得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知设，则，. 由，所以由，得．. 即， 此时，， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $