精品解析：青海省西宁市城北区朝阳学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

朝阳学校2025--2026学年第一学期 九年级期中调研测试卷-数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A是中心对称图形，故正确； B.不是中心对称图形，故错误； C.不是中心对称图形，故错误； D.不是中心对称图形，故错误； 故选A． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】A、当时，故本选项错误，不符合题意； B、由原方程化简得到，不是一元二次方程，不符合题意； C、未知数最高次数是3，故本选项错误，不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 3. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据抛物线图像的性质，得抛物线的对称轴，以及当和时，抛物线y值相等，均为；再根据在对称轴右侧，y随x的增大而增大；结合，即可得到答案． 【详解】∵抛物线的对称轴为： ∴当和时，抛物线y值相等，均为 ∵ ∴抛物线的开口朝上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大 ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线的知识；解题的关键是熟练掌握抛物线图像的性质，从而完成求解． 4. 平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA'，则点的坐标是( ) A. （，3） B. （，4） C. （3，） D. （4，） 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点A的对应点A'，可得所求点的坐标． 【详解】作AB⊥x轴于B点，A′B′⊥y轴于B′点．如图所示． ∵A（4，3），∴OB=4，AB=3． ∴OB′=4，A′B′=3． ∵A′在第四象限， ∴A′（3，－4）． 故选C． 【点睛】考查由图形旋转得到相应坐标；根据旋转中心，旋转方向及角度得到相应图形是解决本题的关键． 5. 抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式是（　　） A. y＝（x+2）2+4 B. y＝（x+2）2﹣4 C. y＝（x﹣2）2+4 D. y＝（x﹣2）2﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵抛物线y＝x2＋1的顶点为（0，1）， ∴抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线顶点坐标为（−2，−4）， ∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝（x＋2）2−4． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 7. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题已知了 、 的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 =速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：设秒后，的面积等于， 依题意得：， ∴， ∴，， 当时，，即不合题意，舍去． 所以10秒后，的面积等于． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的关键是准确表示出AP、PC、BQ、CQ关于时间x的代数式，再根据等量关系列出方程来求解． 8. 如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是根据图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数符号及函数值的变化． 由开口方向得的符号，由对称轴位置得的符号，由与轴交点得的符号，判断abc的符号；代入、得对应函数值，判断②③；根据二次函数的最值性质，判断④． 【详解】解：由图象知：图象开口向上，故；对称轴是直线，故，；与轴交于负半轴，故． ① ，，，则，正确； ② 当时，，由图象知时，，错误； ③ 当时，，由图象知时，，正确； ④当时，是最小值，故对任意，，即，正确． 综上，①③④正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______. 【答案】-5 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】∵函数y=（m－3）是二次函数， ∴m2+2m-13=2且m-3≠0 解得：m=-5. 考点：二次函数的定义． 10. 一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长．则等腰三角形的周长为______ 【答案】或 【解析】 【分析】运用因式分解法求一元二次方程的根，再根据等腰三角形的性质判定边长大小，最后计算周长． 【详解】解： 因式分解得，， ∴当时，；当时，； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如果抛物线的对称轴为y轴，那么实数b的值等于____________________ 【答案】0 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴是y轴，可知对称轴为，利用对称轴可求b的值. 【详解】由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，即直线，b=0. 故答案为0 【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键. 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意可得到，，进而求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：0． 13. 将化成的形式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键． 首先提取二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及对称轴、开口方向对函数值取值范围的影响是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再分别计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， 抛物线开口向上，对称轴在范围内， 当时，的最小值为，且， 的取值范围为． 故答案为：． 15. 如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，在中，，半径， ∴，，， ∴， 故答案是：． 16. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，再由勾股定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意求出的坐标，发现4次一循环，那么得到点的坐标与点的坐标一样，即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得，，即， ∵取点B关于原点的对称点C， ∴， ∵点C绕原点顺时针旋转得到点 ∴， 同理，由题意得，， 由旋转得：， 过点分别作轴的垂线，垂足为点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上操作可求：，，， 发现4次一循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标一样为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律探索，旋转的性质，点的平移，全等三角形的判定与性质等知识点，找出点的变化规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共8题，共76分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） , （2） , 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法． （1）用公式法，先确定系数再代入求根公式； （2）用因式分解法，先整理方程再分解因式求解． 【小问1详解】 解：对于， ，，， ， ， 即，． 【小问2详解】 解：整理，得， 因式分解得， 即， 解得，． 20. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再整理，最后将代入整理后的方程求解即可． 【详解】（1）证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系，得． ， ，即，解得． 21. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：（不需要作图过程） （1）画出以点为旋转中心，沿逆时针方向旋转90°后的图形； （2）以原点为对称中心，画出关于点的中心对称图形； （3）若在轴上存在点，使得最小，则点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转变换、中心对称变换及最短路径问题，解题的关键是掌握旋转变换的坐标规律、中心对称的坐标特征及“两点之间线段最短”的性质． （1）以点为旋转中心，将、沿逆时针方向旋转，确定、的位置，连接得； （2）根据中心对称点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），求出、、关于原点的对称点，连接得； （3）作关于轴的对称点，连接该点与，其与轴的交点即为 【小问1详解】 解：以为旋转中心，将、逆时针旋转，确定、，连接、、，即得（见下图）． 小问2详解】 解：点、、关于原点的对称点分别为、、，连接得（见上图）． 【小问3详解】 解：由网格得，，作关于轴的对称点，连接与x轴相交于点P（见下图），点P即为所求． 设直线的解析式为， 代入、得：， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， 即点P的坐标为． 故答案为：． 22. 如图，已知抛物线经过三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、抛物线中三角形的面积计算等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将分别代入得到方程组求解即可； （2）如图，过点D作y轴的平行线，交于M，根据解答即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 将分别代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：如图：过点D作轴交于M， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线解析式， ∴对称轴为直线，． ∴， ∴， ∴． 23. 如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO=∠BCD． （2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径． 【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为26cm． 【解析】 【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，根据垂径定理的即可求得CE＝ED，，然后由圆周角定理与等腰三角形的性质，即可证得：∠ACO＝∠BCD． （2）设⊙O的半径为Rcm，得到OE=OB-EB=R-8，根据垂径定理得到CE=CD=24=12，利用在RtCEO中，由勾股定理列出方程，故可求解． 【详解】证明：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E， ∴CE=ED，， ∴BCD=BAC ∵OA=OC， ∴OAC=OCA， ∴ACO=BCD （2）设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=R-8， CE=CD=24=12 在RtCEO中，由勾股定理可得 OC=OE+CE R= (R8) +12 解得：R=13， ∴2R=213=26 答：⊙O的直径为26cm． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 24. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论． 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【解析】 【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）当y=0时，0=﹣x2+x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN， =××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=， ∴E（2，1）． 【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 26. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）四边形为平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到； （2）证明，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 朝阳学校2025--2026学年第一学期 九年级期中调研测试卷-数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA'，则点的坐标是( ) A. （，3） B. （，4） C. （3，） D. （4，） 5. 抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式是（　　） A. y＝（x+2）2+4 B. y＝（x+2）2﹣4 C. y＝（x﹣2）2+4 D. y＝（x﹣2）2﹣4 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______. 10. 一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长．则等腰三角形的周长为______ 11. 如果抛物线的对称轴为y轴，那么实数b的值等于____________________ 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 13. 将化成的形式为_________． 14. 已知二次函数，当时，的取值范围为________________． 15. 如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为________． 16. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则长度为____． 17. 如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 18. 在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共8题，共76分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 21. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：（不需要作图过程） （1）画出以点为旋转中心，沿逆时针方向旋转90°后图形； （2）以原点为对称中心，画出关于点的中心对称图形； （3）若在轴上存在点，使得最小，则点的坐标为 ． 22. 如图，已知抛物线经过三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线顶点为，求的面积． 23. 如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO=∠BCD． （2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径． 24. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值多少？ 25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 26. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $