精品解析：福建省厦门市思明区厦门外国语学校2025-2026学年上学期九年级 数学12月月考卷

厦门外国语学校2025—2026学年九年级12月份 巩固专项练习数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷共8页，共25题． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．作图题可直接用2B铅笔画． 一．选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一，如图是一位民间艺人的四幅作品，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．本题考查了中心对称图形绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵不中心对称图形， ∴不符合题意； ∵不是中心对称图形， ∴不符合题意； ∵不是中心称图形， ∴不符合题意； ∵是中心对称图形， ∴符合题意； 故选D． 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 负数大于正数 B. 在一副象棋中摸出棋子“炮” C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，正确掌握分类是解题的关键． 【详解】A. 负数大于正数是不可能事件，不符合题意； B. 在一副象棋中摸出棋子“炮”是随机事件，符合题意； C. 直角三角形的两个锐角互余是必然事件，不符合题意； D. 三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，不符合题意； 故选B． 3. 已知半径为5，平面内有一点P，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，点与圆的位置关系由点到圆心的距离d和半径r决定：时点在圆内，时点在圆上，时点在圆外．根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径，， ∴， ∴点P在内． 故选：A 4. 随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解增长率的计算，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，则2023年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年国产新能源汽车出口量为，即达到了210万辆，由此列式即可． 【详解】解：设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆， ∴， 故选：B ． 5. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（　　） A. 57° B. 52° C. 38° D. 26° 【答案】B 【解析】 【分析】由AB是圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数． 【详解】 连接AC， AB为⊙O的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定，难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解题的关键． 6. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设，对于所在的曲线，；对于所在的曲线，；数形结合得到矩形的面积，即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，即可得到答案．熟记反比例函数的几何意义，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，设， 对于所在的曲线，；对于所在的曲线，； 矩形的面积， 即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值， 故选：B． 7. 如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角函数等. 连接，过作交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得，结合三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作交于点， 正八边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 解得：， 的半径为； 故选：B． 8. 已知点在第一象限，与反比例函数的图象有四个交点分别是，它们的横坐标分别是，下列各角可以是直角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象点坐标特征，画出示意图，根据反比例函数图象的性质解答即可． 【详解】解：， 反比例函数图象为第一，三象限， ， 两点为圆与双曲线在第一象限的交点，且点A在点B的左侧，两点为圆与双曲线在第三象限的交点，且点D在点C的左侧， 点，且点P在第一象限， ∴点在直线的第一象限的图象上， 如图，连接， 当轴，且轴时，即， ， 故选：D． 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 9. 二次函数的对称轴为直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式． 二次函数为顶点形式，可直接写出对称轴． 【详解】解：由二次函数顶点式的对称轴为直线， 可知二次函数的对称轴为直线． 故答案为：． 10. 反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据反比例函数的增减性，求参数的范围，根据题意，易得，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴双曲线过一，三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（A、分别与、对应），则的度数为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕点逆时针旋转得到，得，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， 则， 故答案为：． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 13. 如图，分别与相切于两点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理、四边形内角和以及圆周角定理，连接，根据切线的性质定理可知，利用内角和为直接计算即可． 【详解】解：连接， 分别与相切于两点， ， ， 是四边形， 内角和为， ， ， 分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点，且与边交于点．若点的坐标为，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由D的坐标，可求出菱形的边长，进而求出B，A的坐标，则可以确定反比例函数的关系式． 【详解】O点的坐标为（0，0），D点的坐标为（3,4） 在菱形OBCD中，OB=OD=5 B点的坐标为（5，0） A为BD的中点， A点的坐标为（4，2） 把（4，2）代入中，得，解得k=8 故答案为8． 【点睛】考查反比例函数的图形和性质，一次函数以及菱形的性质等知识，根据点的坐标求出反比例函数的关系式是解决问题的关键． 15. 《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．”即：弓形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦长为，矢长为，用弧田术计算其面积，与实际的误差为________．（，取古圆周率3） 【答案】1.2 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积公式，勾股定理的应用和解直角三角形，根据已知求得弧田术弓形面积，再结合题意得到，和，利用勾股定理求得r，根据求得，利用扇形面积和三角形面积公式即可求得实际面积，作差即可． 【详解】解：根据已知弧田术得， 弓形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2 ； 如图， ∵弦长为，矢长为， ∴，，， 则，即，解得， ∵， ∴， 那么，弓形面积 ， 则与实际的误差为， 故答案为：1.2． 16. 已知直线与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点．若，且则b的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，轴，与交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A点坐标为，B点坐标为，易得为等腰直角三角形，则，所以，且为等腰直角三角形，则，设F点横坐标为t，代入，则纵坐标是，则F的坐标是，E点坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，这样可确定F点坐标为，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，由，即可求得b的取值范围． 【详解】解：作轴，轴，与交于D，如图， ∵直线与x轴，y轴交于A，B两点， ∴A点坐标为，B点坐标为，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 设F点横坐标为t，代入，则纵坐标是，则F的坐标是：，E点坐标为， ∴， 解得：， ∴F点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 【答案】x1＝1+，x2＝1﹣ 【解析】 【分析】用配方法解，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5， 配方，得（x﹣1）2＝5， ∴x＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】首先把除法转化为乘法，进行分式的化简，再代入x的值求出结果． 【详解】解：原式= = ， 当x=时， 原式= ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的步骤是先化简、再代入求值． 19. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中的______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】（1），33 （2） （3）560个 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． 【小问3详解】 解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 20. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到（点B的对应点记为E），且点E在边上，连接． （1）请补全图形（要求尺规作图）； （2）求证：． 【答案】（1） 补全图形如图； （2） 证明：由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）以A为圆心，长为半径，交于点E，分别以点A为圆心，长为半径画弧，以E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、，则即为所求； （2）根据旋转角相等可得，再根据等腰三角形顶角相等，则底角相等，可得，据此得证． 【小问1详解】 作法提示：以A为圆心，长为半径，交于点E， 分别以点A为圆心，长为半径画弧，以E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D， 连接、、，则即为所求． 【小问2详解】 略 21. 某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． （1）求双曲线的函数解析式： （2）已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 【答案】（1） （2）2024年该公司不可能收回研发成本． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意，建立正确的函数关系式是解本题的关键． （1）设双曲线的解析式为，代入点即可解答； （2）求解当时，线段为，再分两种情况求解销售利润的最大值，再进行比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设双曲线的解析式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 可得， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， 当时，设线段为， ∴， 解得：， ∴线段为， 设销售利润为万元，则 当时， ， 当时，最大利润为（万元）， 当时， ， 对称轴为直线， ∴当时，最大利润为（万元）， ∵， ∴2024年该公司不可能收回研发成本． 22. “集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，为正整数）中的元素满足，则称为“平衡集合”． （1）是否存在实数，使得集合为“平衡集合”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，请用反证法证明：、至少有一个大于2． 【答案】（1）存在， （2） 证明：，是平衡集合，且、为不同正数， ． ． ． ． 又设，， ． 又且， 且，此时．等号成立当且仅当，即，这与是两个不同的正数矛盾． 、至少有一个大于2． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、反证法、规律型：数字的变化类，解题时要熟练掌握并能灵活运用新定义进行计算是关键． （1）依据题意，由求解后再结合 “平衡集合”的定义可以判断得解； （2）依据题意，，是平衡集合，且、为不同正数，则，可得，故，又设，，则，从而若且，则且，此时．等号成立当且仅当，即，这与不同矛盾，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：存在， 由题意得： 即， 解得或． 当时，集合为不满足集合元素的互异性，舍去． 当时，， 此时集合为，满足“平衡集合”的定义． 综上，存在实数，使得集合为“平衡集合”． 【小问2详解】 略 23. 实践课上，同学们利用量角器、三角尺进行实践操作，其中，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图①，小明将三角尺放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为． 问题1：求点对应的刻度． 问题2；将三角尺绕点顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图②，小华把斜边的三角尺叠放在量角器上，且，点，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点的对应刻度为，与外弧交于点． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 【答案】问题1：； 问题2：将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切，理由如下： 过点O作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴O到的距离小于圆的半径， ∴将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切； 问题3：． 【解析】 【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，求扇形弧长等．作出辅助线，结合图形求解是解题关键． 问题1：连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 问题2：过点O作于点E，然后由正弦函数得出，即可判断； 问题3：连接，设与交于点F，根据平行线的性质得出，再由等边三角形的判定和性质得出，然后利用解三角形求解即可 【详解】解：问题1：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 问题2：略； 问题3：连接，设与交于点F，如图所示： ∵点A的对应刻度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：． 24. 已知抛物线的顶点为P，与y轴交于点A，与直线交于点B． （1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为． ①求抛物线的解析式； ②若当时，的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围； （2）若点P在第一象限，且，过点P作轴于D，将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）四边形是矩形 如图2，由，可得． ∵抛物线的顶点坐标为， ∴． ∴．                     ∴抛物线． 可得直线的解折式为．                     ∵点B是抛物线与直线的图象的交点， 令． 解得． 可得点B的坐标为．                     由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解折式为． 将点的坐标代入，得． 则平移后的抛物线解析式为． 令，即． 解得． 依题意，点C的坐标为．                       则． 则． 又∵， ∴四边形是平行四边形．           ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式求出系数b，再将B点的坐标代入解析式中求出系数c即可求出抛物线的解析式； ②根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，得出抛物线的最小值为2，再根据点B的坐标为，在抛物线上找到B点关于对称轴的对称点,m的取值范围就在与P点的横坐标之间； （2）根据抛物线的图象可求出A、P、D的坐标，利用抛物线与直线相交求出B点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，再求出C点坐标，接着求出BC的长度，从而得出四边形OABC是平行四边形，再根据得出四边形OABC是矩形． 【小问1详解】 解：①∵抛物线的顶点P的横坐标为1， ∴， 解得：． ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴抛物线的解析式为； ②由知，． ∴点关于对称轴的对称点的坐标为，如图1， ∵当时，的最小值为2，最大值为6， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，与几何图形相结合的综合题，有较大难度，解题的关键在于熟悉一次函数与二次函数图象的性质，并能利用待定系数法求解析式，建立方程求交点坐标，同时注重点的坐标与线段长的互相转化． 25. 如图，内接于，连接并延长交于点，． （1）如图1，设，连接，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，连接，设， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作，交的延长线于点， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由等边对等角以及三角形内角和定理可得，，再根据圆周角定理可得，然后再根据三角形外角的性质求解即可； （2）如图2，连接，设，由等边对等角以及圆周角定理可得、，即；再证明，然后利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据垂径定理以及等腰三角形的性质可得，即，最后证明并利用全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：连接，由（2）可得：，，即；由角平分线的定义可得，由圆周角定理可得，利用角的和差可得，则是等腰直角三角形，即；再结合已知条件可得，如图：连接，设，则半径，最后在运用勾股定理列方程求得a的值，进而求得圆的半径． 【小问1详解】 解：如图1∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接， 由（2）可得：，， ∴， ∵作的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图：连接，设，则半径， 在中，， ∴，解得：或（不合题意舍去）， ∴的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2025—2026学年九年级12月份 巩固专项练习数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷共8页，共25题． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．作图题可直接用2B铅笔画． 一．选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一，如图是一位民间艺人的四幅作品，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 负数大于正数 B. 在一副象棋中摸出棋子“炮” C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 三角形任意两边之和大于第三边 3. 已知半径为5，平面内有一点P，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法判断 4. 随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（　　） A. 57° B. 52° C. 38° D. 26° 6. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 7. 如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 已知点在第一象限，与反比例函数的图象有四个交点分别是，它们的横坐标分别是，下列各角可以是直角的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 9. 二次函数的对称轴为直线______． 10. 反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围__________． 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（A、分别与、对应），则的度数为___________度． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 13. 如图，分别与相切于两点，，则______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点，且与边交于点．若点的坐标为，则的值为______． 15. 《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．”即：弓形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦长为，矢长为，用弧田术计算其面积，与实际的误差为________．（，取古圆周率3） 16. 已知直线与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点．若，且则b的取值范围是_______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中的______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 20. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到（点B的对应点记为E），且点E在边上，连接． （1）请补全图形（要求尺规作图）； （2）求证：． 21. 某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． （1）求双曲线的函数解析式： （2）已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 22. “集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，为正整数）中的元素满足，则称为“平衡集合”． （1）是否存在实数，使得集合为“平衡集合”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，请用反证法证明：、至少有一个大于2． 23. 实践课上，同学们利用量角器、三角尺进行实践操作，其中，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图①，小明将三角尺放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为． 问题1：求点对应的刻度． 问题2；将三角尺绕点顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图②，小华把斜边的三角尺叠放在量角器上，且，点，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点的对应刻度为，与外弧交于点． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 24. 已知抛物线的顶点为P，与y轴交于点A，与直线交于点B． （1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为． ①求抛物线的解析式； ②若当时，的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围； （2）若点P在第一象限，且，过点P作轴于D，将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形的形状，并说明理由． 25. 如图，内接于，连接并延长交于点，． （1）如图1，设，连接，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $